Liệu một máy không bao giờ dừng lại luôn luôn lặp?

Một máy Turing trở về trạng thái đã gặp trước đó với đầu đọc / ghi của nó trên cùng một ô của cùng một băng chính xác sẽ bị bắt trong một vòng lặp. Một cái máy như vậy không dừng lại.

Ai đó có thể đưa ra một ví dụ về một máy không bao giờ dừng mà không lặp?

Xem xét TM luôn di chuyển đầu băng sang phải và in biểu tượng băng không trống đặc biệt ở mỗi bước. Điều này có nghĩa là TM không bao giờ dừng lại, vì nó luôn di chuyển sang phải và không bao giờ lặp lại trạng thái, vì sau khi k bước, đầu băng nằm trên ô thứ k của máy. Do đó, mỗi cấu hình của máy khác với tất cả các cấu hình khác và máy luôn lặp.

Chúng tôi cũng có thể cho thấy sự tồn tại của những cỗ máy như vậy. Giả sử cho mâu thuẫn rằng mọi TM không bao giờ dừng lại cuối cùng lặp lại. Điều này có nghĩa là nếu bạn bắt đầu TM trên chuỗi , một trong những điều sau đây sẽ xảy ra:$M$$w$

1. $M$ dừng lại, hoặc
2. $M$ lặp lại một cấu hình.

Trong trường hợp này, vấn đề tạm dừng sẽ có thể quyết định như sau. Cho TM và chuỗi , mô phỏng trên , tại mỗi điểm viết ra nội dung của băng, trạng thái hiện tại và vị trí băng hiện tại. Nếu cấu hình này là một bản sao, đầu ra "không dừng lại." Mặt khác, nếu dừng trên , đầu ra "dừng". Vì một trong những điều này được đảm bảo sẽ xảy ra cuối cùng, quá trình này luôn chấm dứt, vì vậy chúng tôi sẽ có một thuật toán cho vấn đề tạm dừng, mà chúng tôi biết là không tồn tại.w M w M $M$$w$$M$$w$$M$$w$

Hi vọng điêu nay co ich!

Một máy Turing tính toán tất cả các vị trí thập phân của số thập phân (hoặc bất kỳ phân số không kết thúc nào khác, trong bất kỳ cơ sở nào) không bao giờ dừng lại và có thể được viết để ghi trên mỗi ô chỉ một số lần hữu hạn. Tất nhiên, thực tế là không có sự chuyển đổi sang trạng thái tạm dừng sẽ là một tặng cho chết, nhưng ít nhất đó là một ví dụ tự nhiên.

Một trường hợp thú vị hơn (nhưng cũng mơ hồ) sẽ là một máy Turing, tính toán lặp lại hàm Collatz trên đầu vào của nó, chấm dứt khi và chỉ khi nó có được số nguyên 1. Giả thuyết Collatz nổi tiếng

$$f(n) = \begin{cases} 3n+1 , & \text{if $n$ is odd}; \\ n/2, & \text{if $n$ is even}, \end{cases}$$ là cho bất kỳ đầu vào, thủ tục này cuối cùng dừng lại. Nhưng nó không được biết liệu đây là trường hợp. Nó có thể thất bại trong hai cách khác nhau, về nguyên tắc: hoặc nó có thể tìm thấy một chuỗi các số nguyên mà chạy vòng quanh (tương ứng với sự tồn tại của một số nguyên n sao cho đối với một số số tác phẩm, trong đó n  1); hoặc có thể có các chuỗi số nguyên n , f (n) , f (f (n))$f \circ f \circ \cdots f(n) = n$, ... mà bất thường chuyển hướng đến vô tận. Nếu bất kỳ chuỗi nào thuộc loại thứ hai tồn tại, điều này có nghĩa là máy Turing mà tôi đã mô tả ở trên sẽ không lặp lại, vì băng sẽ liên tục được thay đổi thành số lớn hơn và lớn hơn.

Xem xét bất kỳ máy Turing không dừng nào không bao giờ di chuyển đầu đọc / ghi sang trái.

Nếu điều này là đúng, thì vấn đề tạm dừng sẽ là quyết định. Bạn sẽ chỉ ghi lại từng cặp (băng, trạng thái) được nhìn thấy khi thực hiện máy Turing và máy sẽ tạm dừng (trong trường hợp đó rõ ràng là dừng) hoặc bạn thấy một cặp mà bạn đã thấy trước đó, trong trường hợp đó là máy không dừng lại.

Vì vấn đề tạm dừng là không thể giải quyết được, điều này không thể đúng. (Xem các ví dụ khác cho các ví dụ truy cập.)