Tại sao quỹ đạo hình elip thay vì hình tròn?

Tại sao các hành tinh quay xung quanh một ngôi sao theo quỹ đạo hình elip cụ thể với ngôi sao tại một trong số đó? Tại sao quỹ đạo không phải là một vòng tròn?

Giả sử hành tinh có khối lượng không đáng kể so với ngôi sao, cả hai đều đối xứng hình cầu (vì vậy định luật hấp dẫn của Newton vẫn giữ, nhưng dù sao thì điều này thường xảy ra với một xấp xỉ rất tốt) và rằng không có bất kỳ lực nào ngoài lực hấp dẫn giữa chúng . Nếu điều kiện đầu tiên không giữ được, thì gia tốc của mỗi thứ sẽ hướng tới barycenter của hệ thống, như thể barycenter đang thu hút chúng một lực hấp dẫn với khối lượng giảm nhất định, vì vậy vấn đề này tương đương về mặt toán học.

Lấy ngôi sao để có nguồn gốc. Theo luật hấp dẫn của Newton, lực là $\mathbf{F} = -\frac{m\mu}{r^3}\mathbf{r}$, trong đólà vectơ của hành tinh,là khối lượng của nó vàlà thông số hấp dẫn tiêu chuẩn của ngôi sao. m μ = G $\mathbf{r}$$m$$\mu = GM$

Luật bảo tồn

Vì lực hoàn toàn là hướng tâm , động lượng góc được bảo toàn: Nếu vận tốc ban đầu là khác không và ngôi sao ở gốc , sau đó xét về vị trí và vận tốc ban đầu, quỹ đạo phải được giới hạn trong mặt phẳng của tất cả các điểm có vectơ từ gốc tọa độ satisifyL = r × p ˙ L = $(\mathbf{F}\parallel\mathbf{r})$$\mathbf{L} = \mathbf{r}\times\mathbf{p}$xL⋅x=

$$\dot{\mathbf{L}} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\mathbf{r}\times\mathbf{p}\right) = m(\dot{\mathbf{r}}\times \dot{\mathbf{r}}) + \mathbf{r}\times\mathbf{F} = \mathbf{0}\text{.}$$ $\mathbf{x}$$\mathbf{L}\cdot\mathbf{x} = 0$. Nếu vận tốc ban đầu bằng không, thì chuyển động hoàn toàn là hướng tâm và chúng ta có thể lấy bất kỳ một trong vô số các mặt phẳng có chứa barycenter và vị trí ban đầu.

Tổng năng lượng quỹ đạo được cung cấp bởi trong đó phần đầu tiên là động năng và thuật ngữ thứ hai là năng lượng hấp dẫn của hành tinh. Bảo tồn của nó, cũng như thực tế là nó gọi năng lượng tiềm năng chính xác, có thể được chứng minh bằng định lý cơ bản của phép tính cho tích phân đường.

$$\mathcal{E} = \frac{p^2}{2m} - \frac{m\mu}{r}\text{,}$$

Xác định vectơ Laplace-Runge-Lenz là Nó cũng được bảo tồn: ˙

$$\mathbf{A} = \mathbf{p}\times\mathbf{L} - \frac{m^2\mu}{r}\mathbf{r}\text{.}$$ $$\begin{eqnarray*} \dot{\mathbf{A}} &=& \mathbf{F}\times\mathbf{L} + \mathbf{p}\times\dot{\mathbf{L}} - \frac{m\mu}{r}\mathbf{p} + \frac{m\mu}{r^3}(\mathbf{p}\cdot\mathbf{r})\mathbf{r}\\ &=& -\frac{m\mu}{r^3}\underbrace{\left(\mathbf{r}\times(\mathbf{r}\times\mathbf{p})\right)}_{(\mathbf{r}\cdot\mathbf{p})\mathbf{r} - r^2\mathbf{p}} - \frac{m\mu}{r}\mathbf{p} + \frac{m\mu}{r^3}(\mathbf{p}\cdot\mathbf{r})\mathbf{r}\\ &=& \mathbf{0}\text{.} \end{eqnarray*}$$

Cuối cùng, chúng ta cũng lấy , có cùng đơn vị với và vì , nó nằm dọc theo mặt phẳng quỹ đạo. Vì nó là một vectơ được bảo toàn theo tỷ lệ vô hướng được bảo toàn, nên dễ dàng chứng minh rằng cũng được bảo tồn, miễn là .r L ⋅ f = 0 f E ≠ $\mathbf{f} = \mathbf{A}/(m\mathcal{E})$$\mathbf{r}$$\mathbf{L}\cdot\mathbf{f} = 0$$\mathbf{f}$$\mathcal{E}\neq 0$

Đơn giản hóa

Bằng cách sử dụng sản phẩm ba vectơ, chúng ta có thể viết bình phương chuẩn rất dễ quây ra: trong đó được sử dụng xuyên suốt để chuyển đổi giữa các thuật ngữ động học và tiềm năng.E2| f-r| 2=(E+m

$$\begin{eqnarray*} \frac{1}{m}\mathbf{A} &=& \frac{1}{m}\left[p^2\mathbf{r}-(\mathbf{p}\cdot\mathbf{r})\mathbf{p}\right] -\frac{m\mu}{r}\mathbf{r}\\ &=& \left(\mathcal{E}+\frac{p^2}{2m}\right)\mathbf{r} - \frac{1}{m}\left(\mathbf{p}\cdot\mathbf{r}\right)\mathbf{p}\\ \mathcal{E}(\mathbf{f}-\mathbf{r}) &=& \left(\frac{p^2}{2m}\right)\mathbf{r} - \frac{1}{m}\left(\mathbf{p}\cdot\mathbf{r}\right)\mathbf{p}\text{,} \end{eqnarray*}$$ $$\mathcal{E}^2|\mathbf{f}-\mathbf{r}|^2 = \left(\mathcal{E} + \frac{m\mu}{r}\right)^2r^2\text{,}$$ $\mathcal{E}$

Tại sao lại là Ellipses?

Vì là năng lượng liên quan đến vô cực, để có quỹ đạo bị ràng buộc, chúng ta cần . Do đó, từ phần trước, và do đó định nghĩa một hình elip với foci và trục chính .E < 0 | f - r | = - E - 1 ( E r + m μ ) | f - r | + | r | = - m $\mathcal{E}$$\mathcal{E}<0$$|\mathbf{f}-\mathbf{r}| = -\mathcal{E}^{-1}\left(\mathcal{E}r + m\mu\right)$0

$$|\mathbf{f}-\mathbf{r}| + |\mathbf{r}| = -\frac{m\mu}{\mathcal{E}}\text{,}$$ $\mathbf{0},\,\mathbf{f}$$2a=-m\mu/\mathcal{E}$

Tại sao không phải là vòng tròn?

Vòng tròn là trường hợp đặc biệt trong đó các tiêu điểm là cùng một điểm, , có thể được gọi là Nói cách khác, quỹ đạo tròn đòi hỏi năng lượng quỹ đạo là âm của động năng. Điều này là có thể, nhưng gần như chắc chắn không giữ chính xác. Vì mọi giá trị của đều được phép cho các quỹ đạo bị ràng buộc, nên có nhiều cách khác để có quỹ đạo hình elip. (Mặc dù một số trong số chúng thực sự sẽ sụp đổ vì ngôi sao và hành tinh có kích thước dương.)$\mathbf{f} = \mathbf{0}$

$$\mathcal{E} = -\frac{1}{2}\frac{m\mu}{r} = -\frac{p^2}{2m}\text{.}$$ $\mathcal{E}<0$

Lưu ý rằng quỹ đạo hyperbol có và chúng ta vẫn có thể tìm thấy các tiêu điểm bằng phương pháp trên, mặc dù cẩn thận với các dấu hiệu. Đối với , tiêu điểm thứ hai không được xác định vì đây là quỹ đạo parabol và parabolas chỉ có một tiêu điểm trong khoảng cách hữu hạn từ tâm.$\mathcal{E}>0$$\mathcal{E}=0$$\mathbf{f}$

Ngoài ra, vectơ lệch tâm là một lựa chọn thay thế cho vectơ LRL; như tên cho thấy, độ lớn của nó là độ lệch tâm quỹ đạo.$\mathbf{e} = \mathbf{A}/(m^2\mu)$

Điều quan trọng là một hành tinh có quỹ đạo tròn, hình tròn, xét cho cùng, là một hình elip trong đó cả hai tiêu điểm ở cùng một vị trí; điều này được gọi là có độ lệch tâm bằng 0 . Độ lệch tâm được định nghĩa theo cách sau: trong đó là apoapsis (điểm xa nhất trong quỹ đạo từ tâm khối lượng) và là periapsis (khoảng cách gần nhất). Chỉ cần xây dựng một số trực giác ở đây, nếu apoapsis gấp đôi khoảng cách của periapsis, độ lệch tâm sẽ là .

$$e = \frac{r_{a} - r_{p}}{r_{a} + r_{p}}$$ $r_{a}$$r_{p}$$e=0.333$

Từ tất cả các hành tinh của hệ mặt trời, sao Kim , với độ lệch tâm 0,007 có quỹ đạo tròn nhất.

$\dot{r}$$\dot{\phi}$

$$v^2 = \dot{r}^2 + r^2\dot{\phi}^2\text{.}$$ trong khung ăn mòn cân bằng chính xác lực hấp dẫn - ít hơn hoặc ít hơn một chút, sự mất cân bằng sẽ thay đổi tốc độ hướng tâm, làm hỏng vòng tròn.

Do thực tế là vận tốc thay đổi vì nhiều lý do, không có gì lạ khi chỉ có một số quỹ đạo kết thúc thành hình tròn và xem xét quỹ đạo thực tế thay đổi theo thời gian , chúng ta biết rằng chúng không thể tồn tại lâu như vậy.

Nếu bạn đang tìm kiếm một bằng chứng toán học, liên kết này chia sẻ một số chi tiết về nó .

Dưới đây là hình ảnh cho thấy độ lệch tâm của một số cơ thể trong hệ mặt trời được trích xuất từ đây :

Tôi luôn thích câu trả lời cố gắng tránh bất kỳ công thức nào và trả lời tranh luận thay thế. Liên quan đến một phần của câu hỏi tại sao không phải tất cả các quỹ đạo đều có hình tròn, một cuộc tranh luận sẽ như thế này:

Hãy xem xét một ngôi sao đứng yên và một hành tinh di chuyển. Đối với mỗi xung hành tinh có thể có, một đường cong cho chuyển động tiếp theo của nó có thể được dự đoán. Nếu xung này được định hướng chính xác trực giao với đường thẳng từ ngôi sao đến hành tinh và nếu vận tốc có số lượng chính xác , thì đường cong chuyển động này có thể là một vòng tròn chính xác.

Nhưng với mỗi độ lệch của một xung chính xác này, đường cong kết quả có thể là một vòng tròn:

• Nếu tốc độ quá thấp, hành tinh sẽ rơi về phía ngôi sao (trong trường hợp cực đoan của xung bằng 0, cú ngã này sẽ nằm trên một đường thẳng).
• Nếu tốc độ quá cao, hành tinh sẽ đạt được khoảng cách từ ngôi sao (tương tự như súng cao su).
• Nếu xung không trực tiếp trực tiếp với đường thẳng tới ngôi sao, chuyển động đầu tiên sẽ di chuyển về phía hoặc từ ngôi sao, do đó, đường cong sẽ không phải là một vòng tròn.

Vì vậy, người ta có thể đơn giản tranh luận, một vòng tròn là một trường hợp rất đặc biệt cho đường cong mà một hành tinh có thể đi xung quanh một ngôi sao.