Cần tính toán chu kỳ Eclipse

Tôi đang viết một tác phẩm hư cấu về một thế giới nơi:

Độ dài của một năm là 335 ngày. Thế giới có hai Moons. Mặt trăng A lớn hơn và xa hơn với quỹ đạo mặt trăng 78 ngày. Mặt trăng B nhỏ hơn và gần hơn với quỹ đạo 31 ngày.

1. Bao lâu thì cả hai mặt trăng sẽ đầy cùng một lúc, chồng chéo lên nhau như một mắt bò?
2. Làm thế nào thường xuyên nhật thực xảy ra cho Mặt trăng A?
3. Làm thế nào thường xuyên nhật thực xảy ra cho Mặt trăng b?
4. Làm thế nào thường xuyên cả hai nhật thực cùng một lúc?

Đây là một tác phẩm hư cấu, vì vậy tự do có thể được thực hiện. Tôi chỉ muốn nó gần gũi.

Thành thật mà nói, bốn cơ thể không định kỳ xếp hàng, ngay cả khi các quỹ đạo là phẳng, trừ khi có một bội số chung. Bởi vì tất cả các chu kỳ của bạn đều là số nguyên , nhưng hãy lưu ý rằng sự sắp xếp kép của bạn, như nhật thực kép hoặc nguyệt thực kép không phải là định kỳ nếu một trong các chu kỳ không tuân theo chính xác hệ số nguyên đó. (vì vậy, nó không giữ được 31,01 ngày, chẳng hạn. Cách bạn xử lý quazi-period được nói đến ở đây ).

1. Bao lâu thì cả hai mặt trăng sẽ đầy cùng một lúc, chồng chéo lên nhau như một mắt bò?

Nói chung là không định kỳ, nhưng chỉ có thể xảy ra ở thời kỳ đồng bộ của hai mặt trăng, đó là:

.

$\frac{2418}{47}$cho hai mặt trăng. Tuy nhiên, điều đó cũng phải xảy ra khi cả hai cùng nằm trên một đường thẳng với Mặt trời, nói cách khác là Thời kỳ đồng bộ tương đối giữa một trong các mặt trăng và mặt trời, và cả thời gian đồng bộ của mặt trăng đều phân chia thời gian yêu cầu. Đối với mặt trăng bên trong và Mặt trời, thời kỳ đồng bộ là$\frac{10385}{304}$. Vì 47 không có bất kỳ yếu tố chung nào với 304, nên bội số chung đầu tiên xuất hiện tại.

$$\frac{10385}{304} \cdot \frac{2418}{47} = \frac{12555465}{7144}$$ hoặc 1757.484 ngày. (@Jonathan nhận được 2418, vì mô hình của anh ta coi Mặt trời ở trạng thái tĩnh trên bầu trời, nhưng thực tế nó chỉ xoay quanh một lần một năm.) Khoảng thời gian chính xác cũng có giá trị cho câu hỏi 4 của bạn .

2. Làm thế nào thường xuyên nhật thực xảy ra cho Mặt trăng A?

Ở đây, câu trả lời là thời kỳ đồng bộ của Mặt trời và mặt trăng, đã được tuyên bố là $\frac{10385}{304}$, hoặc 34.161 ngày. Đó là một chút dài hơn một chút so với thời kỳ quỹ đạo của Mặt trăng, bởi vì hành tinh đã di chuyển một chút trong quỹ đạo của nó, thay đổi một chút vị trí của Mặt trời trên bầu trời.

3. Làm thế nào thường xuyên xảy ra nhật thực cho Mặt trăng B?

Thời kỳ đồng bộ ở đây cũng vậy, $\frac{26130}{257}$ = 101.673 ngày.

Đây là nỗ lực của tôi, giả sử các quỹ đạo là hình tròn và dọc theo cùng một mặt phẳng . Mặt khác, các phép tính trở nên phức tạp hơn và các biến đó sẽ phải được chỉ định. Kích thước của hành tinh và kích thước của các mặt trăng cũng sẽ ảnh hưởng đến tính toán (ví dụ: chúng có thể không bao giờ nhật thực hoàn toàn nếu hành tinh này khá nhỏ / dày đặc). Cũng lưu ý rằng Mặt trăng A có thể nhật thực Mặt trăng B và Mặt trăng B có thể nhật thực Mặt trăng A tùy thuộc vào kích thước của chúng. Tôi không xem xét điều này trong tính toán của mình (tôi chỉ xem xét hành tinh làm lu mờ chúng).

1. Làm thế nào thường xuyên cả hai mặt trăng sẽ đầy đủ cùng một lúc, chồng chéo lên nhau như một mắt bò?

Không bao gồm quỹ đạo của các hành tinh, 31 là số nguyên tố và 78 phân chia thành các yếu tố 2, 7, 7. Vì không có mẫu số chung, nên nó không xuất hiện những thứ này sẽ đồng bộ hóa thường xuyên hơn 78 * 31 = 2418 ngày

2. Làm thế nào thường xảy ra nhật thực xảy ra cho Mặt trăng A?

Khoảng 78 ngày (+ - khoảng 78/335 ngày do hành tinh quay quanh mặt trời)

3. Làm thế nào thường xảy ra nguyệt thực cho Mặt trăng b?

Khoảng 31 ngày (+ - khoảng 31/335 ngày do hành tinh quay quanh mặt trời)

4. Làm thế nào thường xuyên cả hai nhật thực cùng một lúc?

Câu trả lời tương tự như số 1, mà tôi tính toán vào 2418 ngày

Tôi hoan nghênh việc tinh chỉnh / hiệu chỉnh các tính toán của tôi, đây là một "nỗ lực thô bạo".

LƯU Ý: Tôi đang sử dụng khung tham chiếu "địa tâm", trong đó cả mặt trăng và mặt trời quay quanh hành tinh và đang tạo ra một hệ tọa độ xy tùy ý.

Chúng tôi lưu ý từ câu trả lời của @ Hohmannfan rằng (trả lời các câu hỏi của bạn không theo thứ tự cho đơn giản):

• Mặt trăng B sẽ che khuất mặt trời mỗi $\frac{10385}{304}$(~ 34,16) ngày. Trong khoảng thời gian này, mặt trời hoàn thành$\frac{31}{304}$thứ quỹ đạo và Mặt trăng B hoàn thành $1\frac{31}{304}$ quỹ đạo, vỗ mặt trời một lần.

• Mặt trăng A sẽ che khuất mặt trời mỗi $\frac{26130}{257}$(~ 101,67) ngày. Mặt trời sẽ hoàn thành$\frac{78}{257}$ của một quỹ đạo và Mặt trăng A sẽ hoàn thành nó bằng cách hoàn thành $1\frac{78}{257}$ quỹ đạo.

• Mặt trăng B sẽ chồng lên Mặt trăng A mỗi lần $\frac{2418}{47}$ (~ 51,44) ngày, trong đó Mặt trăng A sẽ hoàn thành $\frac{31}{47}$ của một quỹ đạo và Mặt trăng B sẽ hoàn thành nó bằng cách hoàn thành $1\frac{31}{47}$ quỹ đạo.

Tuy nhiên, như @Hohmannfan lưu ý, không có gì đảm bảo rằng các mặt trăng sẽ đầy khi chúng trùng nhau.

Cũng không có gì đảm bảo rằng hai mặt trăng sẽ luôn che khuất mặt trời cùng một lúc, mặc dù chúng sẽ tự ý tiến gần đến mức làm như vậy:

bên trong $\frac{2418}{47}$ ngày giữa hai mặt trăng chồng chéo nhau, mặt trời di chuyển $\frac{2418}{47} \times \frac{1}{335}$ của một quỹ đạo.

Như trên, các mặt trăng đã nâng cao $\frac{31}{47}$ của một quỹ đạo.

Như vậy, so với mặt trời, các mặt trăng đã tiến lên $\frac{31}{47} - \frac{2418}{47} \times \frac{1}{335}$ hoặc là $\frac{7967}{15745}$ của một quỹ đạo (con số này gần đáng ngạc nhiên $\frac{1}{2}$ nhưng đó chỉ là sự trùng hợp).

Điều này xảy ra giữa mọi cặp chồng chéo, vì vậy khoảng cách góc của mặt trời (trên quỹ đạo) từ các mặt trăng chồng chéo là $\frac{7967 n}{15745}+r$ Ở đâu $r$ là khoảng cách góc tại một sự chồng chéo cụ thể và $n$ là bất kỳ số nguyên nào.

Đối với các mặt trăng chồng chéo để che khuất mặt trời $\frac{7967 n}{15745}+r$ phải là số nguyên. Nếu$r$ là phi lý, điều này không bao giờ có thể xảy ra.

Tuy nhiên, khoảng cách góc có thể nhỏ tùy ý, thậm chí đến mức mà một người quan sát sẽ không nhận ra nhật thực kép không hoàn hảo 100%.

Bằng một lập luận tương tự, bạn có thể hiển thị hai mặt trăng đầy đủ sẽ tự ý gần với sự chồng chéo.

NGAY BÂY GIỜ , nếu chúng ta đưa ra giả định đơn giản hóa rằng cả hai mặt trăng đang che khuất mặt trời vào năm 0 (có lẽ các linh mục thiên văn học của bạn đã quyết định sự xuất hiện bất thường này là thời điểm tốt để bắt đầu đánh số năm và tin rằng số không (không phải là một) năm), chúng ta có thể thực hiện một số tính toán khác.

Kể từ khi các mặt trăng xếp hàng $\frac{2418}{47}$ ngày và mặt trời và mặt trăng B xếp hàng $\frac{10385}{304}$ngày, cả ba sẽ xếp hàng (để tạo ra nhật thực kép của mặt trời) trên bội số chung ít nhất của các số này, hoặc là 810.030 ngày (chính xác là 2418 năm của bạn và lưu ý rằng 2418 là sản phẩm của hai quỹ đạo mặt trăng tính theo ngày). Vào thời gian này:

• Mặt trăng A sẽ hoàn thành chính xác 10.385 quỹ đạo.

• Mặt trăng B sẽ hoàn thành chính xác 26.130 quỹ đạo.

• Như trên, mặt trời sẽ hoàn thành chính xác 2.418 quỹ đạo.

Hóa ra, không bao giờ có thể có một đôi mắt trăng tròn hoàn hảo:

• Mặt trăng B sẽ đầy đủ vào ngày $\frac{10385}{608}$ (~ 17,08), tại thời điểm đó nó sẽ hoàn thành $\frac{335}{608}$ của một quỹ đạo và mặt trời sẽ hoàn thành $\frac{31}{608}$của một quỹ đạo, vì vậy Mặt trăng B sẽ có được một nửa quỹ đạo trên mặt trời, cần thiết cho trăng tròn. Sau đó, mặt trăng sẽ đầy$\frac{10385}{304}$ ngày, khoảng thời gian mặt trời hoàn thành $\frac{31}{304}$ quỹ đạo và Mặt trăng B để hoàn thành $1\frac{31}{304}$ quỹ đạo.

• Theo cách tính tương tự, Mặt trăng A sẽ đầy đủ vào ngày $\frac{13065}{257}$ (~ 50,84) và mọi $\frac{26130}{257}$ những ngày sau đó

• Để tìm ra khi cả hai cùng lúc đầy đủ, chúng tôi giải phương trình Diophantine tuyến tính này:

$\frac{10385 n}{304}+\frac{10385}{608}=\frac{26130 m}{257}+\frac{13065}{257}$

Trong đó n và m là số nguyên. Điều này giảm xuống:

$n\to \frac{47424 m+15745}{15934}$

Không may, $47424 m$ luôn luôn là như vậy, vì vậy $47424 m+15745$luôn luôn là số lẻ Kể từ mẫu số ($15934$) là chẵn, bạn đang chia một số lẻ cho một số chẵn và kết quả không bao giờ có thể là một số nguyên.

Tuy nhiên, điều này không nói lên toàn bộ câu chuyện. Ví dụ: nếu chúng ta tính toán các vị trí trong ngày$\frac{34987576465283}{92766720}$ (~ 377156.55), chúng tôi tìm thấy:

• Mặt trăng B ở 122,5656 độ.

• Mặt trăng A ở 122,5581 độ, chỉ cách ~ 27 cung.

• Mặt trời ở mức 302,5658 độ, 179,9998 độ so với mặt trăng B và 179,9924 độ so với mặt trăng A (~ 28 cung giây từ sự đối lập).

Nói cách khác, nó khá gần với trăng tròn kép, mặc dù nó không chính xác.

Trong một tĩnh mạch tương tự, mặc dù nhật thực kép chỉ xảy ra một lần sau mỗi 810.030 ngày, có một số cuộc gọi gần:

$\begin{array}{cc} \text{Day} & \text{Sep (')} \\ -810030.00000 & 0.00 \\ -754313.10860 & 0.91 \\ -698596.21710 & 1.82 \\ -642879.32570 & 2.73 \\ -587162.43420 & 3.64 \\ -531445.54280 & 4.55 \\ -475728.65130 & 5.47 \\ -445735.13160 & 7.29 \\ -420011.75990 & 6.38 \\ -390018.24010 & 6.38 \\ -364294.86840 & 7.29 \\ -334301.34870 & 5.47 \\ -278584.45720 & 4.55 \\ -222867.56580 & 3.64 \\ -167150.67430 & 2.73 \\ -111433.78290 & 1.82 \\ -55716.89145 & 0.91 \\ 0.00000 & 0.00 \\ 55716.89145 & 0.91 \\ 111433.78290 & 1.82 \\ 167150.67430 & 2.73 \\ 222867.56580 & 3.64 \\ 278584.45720 & 4.55 \\ 334301.34870 & 5.47 \\ 364294.86840 & 7.29 \\ 390018.24010 & 6.38 \\ 420011.75990 & 6.38 \\ 445735.13160 & 7.29 \\ 475728.65130 & 5.47 \\ 531445.54280 & 4.55 \\ 587162.43420 & 3.64 \\ 642879.32570 & 2.73 \\ 698596.21710 & 1.82 \\ 754313.10860 & 0.91 \\ 810030.00000 & 0.00 \\ \end{array}$

Bảng trên liệt kê tất cả các nhật thực gần trong vòng 7,5 phút của cung, trong đó ngày là số ngày từ năm 0 (bao gồm cả ngày trước năm 0) và sep là khoảng cách tối đa (tính bằng phút cung) của bất kỳ hai Mặt trăng A nào , Mặt trăng B, và mặt trời. Lưu ý rằng ngày$0$ và $\pm 810030$ là nhật thực hoàn hảo, như mong đợi.

Tương tự như vậy, gần nhất chúng ta có được gấp đôi mặt trăng đầy đủ là bên dưới. Trong trường hợp này, sep là (tính bằng phút của cung) tối đa là:

• khoảng cách góc của Mặt trăng A từ sự đối lập

• khoảng cách góc của Mặt trăng B từ sự đối lập

• khoảng cách góc giữa Mặt trăng A và Mặt trăng B

$\begin{array}{cc} \text{Day} & \text{Sep (')} \\ -797168.29790 & 10.29 \\ -767174.80850 & 8.92 \\ -711457.91490 & 7.55 \\ -655741.02130 & 6.17 \\ -600024.12770 & 4.80 \\ -544307.23400 & 3.43 \\ -488590.34040 & 2.06 \\ -432873.44680 & 0.69 \\ -377156.55320 & 0.69 \\ -321439.65960 & 2.06 \\ -265722.76600 & 3.43 \\ -210005.87230 & 4.80 \\ -154288.97870 & 6.17 \\ -98572.08511 & 7.55 \\ -42855.19149 & 8.92 \\ -12861.70213 & 10.29 \\ 12861.70213 & 10.29 \\ 42855.19149 & 8.92 \\ 98572.08511 & 7.55 \\ 154288.97870 & 6.17 \\ 210005.87230 & 4.80 \\ 265722.76600 & 3.43 \\ 321439.65960 & 2.06 \\ 377156.55320 & 0.69 \\ 432873.44680 & 0.69 \\ 488590.34040 & 2.06 \\ 544307.23400 & 3.43 \\ 600024.12770 & 4.80 \\ 655741.02130 & 6.17 \\ 711457.91490 & 7.55 \\ 767174.80850 & 8.92 \\ 797168.29790 & 10.29 \\ \end{array}$

Ghi chú khác:

• Mặc dù bạn nói đây là hư cấu, lưu ý rằng rất khó có khả năng chu kỳ quỹ đạo của các mặt trăng sẽ là bội số chính xác của ngày hành tinh. Ngoại lệ duy nhất này là nếu (các) mặt trăng bị khóa chặt, trong trường hợp đó, chu kỳ quỹ đạo sẽ bằng chính xác một ngày.

• Tương tự như vậy, không chắc thời kỳ quỹ đạo của hành tinh sẽ là bội số chính xác của chu kỳ quay của nó (chúng ta chắc chắn là không).

Đây là một vấn đề thú vị nói chung và tôi đang viết https://github.com/barrycarter/bcapps/blob/master/MATHEMATICA/bc-orrery.m để giải quyết vấn đề tương tự: https://physics.stackexchange.com / câu hỏi / 197481 /