Hình dạng (dọc theo mặt phẳng, không lên xuống) của các quỹ đạo sao trong các thiên hà xoắn ốc phẳng

Ý tôi là, với quỹ đạo khối trung tâm tương đối đơn giản, nhưng quỹ đạo quanh thiên hà thì khác, về bản chất là ngôi sao quay quanh quầng sáng vật chất tối, nó càng di chuyển ra xa trung tâm thiên hà thì trường hấp dẫn càng lớn , do đó, trong khi các quỹ đạo có xu hướng chậm lại khi động năng biến thành năng lượng tiềm năng, các ngôi sao đang quay xung quanh khối lượng lớn hơn khi chúng ở xa trung tâm thiên hà, có thể tăng tốc chúng. Các khu vực bằng nhau theo quy tắc thời gian bằng nhau dường như không còn được áp dụng.

Vì vậy, bỏ qua chuyển động lên xuống so với mặt phẳng của thiên hà, liệu có hình dạng chung cho quỹ đạo thiên hà không? Có một công thức? Tôi nghĩ rằng độ lệch tâm vẫn sẽ được áp dụng, nhưng tôi không nghĩ quỹ đạo sẽ là hình elip, vì vậy nó sẽ là một kiểu lập dị khác. Các quỹ đạo này có xu hướng tuần hoàn hóa (trong một đám mây vật chất tối lý tưởng, bỏ qua các nhiễu loạn. Rõ ràng các nhiễu loạn sẽ dẫn đến, theo một nghĩa thực tế, các quỹ đạo không thể đoán trước, không phải là các công thức gọn gàng và gọn gàng. Từ trường của Milky Way cũng đóng một vai trò trong việc hình thành các nhánh xoắn ốc của nó, nhưng tôi đang hỏi theo một nghĩa lý tưởng, toán học, hình dạng nào sẽ quay quanh một thiên hà, từ quan điểm 2D, bỏ qua chuyển động lên xuống.

Cập nhật

Tôi nhận ra rằng câu hỏi có thể được hỏi đơn giản hơn bởi một lỗ đen có hiệu lực "quay quanh" qua một hành tinh hoặc thậm chí là neutrino vận tốc thấp (nếu có bất kỳ neutrino vận tốc thấp nào). Quỹ đạo bên trong một hành tinh khá khác so với quỹ đạo Kepler, bởi vì trọng lực tăng lên khi vật thể di chuyển ra xa trung tâm. Quỹ đạo tổng thể vẫn có thể giống như hình elip nhưng định luật cho quỹ đạo như vậy sẽ khác, bạn sẽ thấy gia tốc cao nhất tại các điểm xa nhất từ tâm mặc dù bạn có thể vẫn thấy vận tốc cao nhất tại điểm gần nhất với trung tâm.

Dù sao, tôi chủ yếu chỉ tò mò nếu những hình dạng đó đã được thực hiện và nó trông như thế nào.

orbit milky-way orbital-mechanics

— người dùngLTK
nguồn

@SirCumference Không chắc chắn nếu bạn nhận được thông báo về câu trả lời rằng bạn có tiền thưởng, nhưng tôi đoán rằng tôi sẽ cho bạn biết tôi đặt câu trả lời xuống.

— zephyr

@zephyr Vâng, và đó là một câu trả lời tốt. Tôi sẽ đợi một chút để câu hỏi (và bạn trả lời) được chú ý nhiều hơn.

— Ngài Cumference

Đây là một câu hỏi thú vị và vì vậy thường những câu hỏi thú vị không thể dễ dàng được trả lời với bất kỳ kiến thức hiện tại nào, nhưng câu hỏi này có thể được trả lời ở một mức độ nào đó. Tôi sẽ chạy qua những điều cơ bản của lý thuyết quỹ đạo và mô tả cách chúng có thể áp dụng cho các thiên hà và nó khác với các hệ thống Keplerian như thế nào. Bạn nên có một sự hiểu biết hợp lý về vật lý Newton (sau khi tất cả các quỹ đạo xuất phát chính xác từ các định luật của Newton) và một kiến thức vững chắc về toán học. Nếu bạn không có những thứ này, chỉ cần nhảy đến cuối mỗi phần trong đó tôi sẽ cố gắng tóm tắt những điểm quan trọng đằng sau toán học.

Một ghi chú nhanh về ký hiệu toán học tôi sẽ sử dụng. Dấu chấm trên biểu tượng biểu thị đạo hàm thời gian (ví dụ: ) và ký hiệu in đậm, không in nghiêng là đại lượng vectơ (ví dụ: ). Hãy bắt tay vào công việc. $\dot{a}$ $\bf F$

Phương trình quỹ đạo của chuyển động

Coi khối lượng là một số vị trí và di chuyển với chuyển động được mô tả bởi . Khối lượng này trải qua một lực chỉ là một hàm của khoảng cách xuyên tâm, , từ tâm của hệ tọa độ. Mục tiêu ở đây là xác định phương trình chuyển động có thể mô tả quỹ đạo của khối lượng do lực này. Phương trình này sau đó có thể được sử dụng để giải cho . Theo định luật Newton, phương trình chuyển động ban đầu có thể được định nghĩa là $m$ $\bf r$ $\bf \dot{r}$ $\textbf{F}(r)$ $r$ $r(\theta)$

F (r) = m a = m (\ddot{r} - r {\dot{θ}}^{2})

$\textbf{F}(r) = m\textbf{a} = m\Big(\ddot{r} - r\dot{\theta}^2\Big)$

Lưu ý rằng trong trường hợp này chỉ đơn giản là thành phần xuyên tâm của và là góc phương vị của cơ thể trong một hệ tọa độ hình cầu. Tôi sẽ để lại cho bạn để xác định cách chia gia tốc thành hai thành phần trên, dưới hệ thống tọa độ thích hợp. Hãy thử loại bỏ sự phụ thuộc của chúng tôi để chúng tôi chỉ có chức năng của . Điều này có thể đạt được bằng cách sử dụng bảo toàn động lượng góc. Động lượng góc trên mỗi đơn vị khối lượng được cho bởi sao cho . Điều này mang lại $r$ $\bf r$ $\theta$ $\theta$ $r$ $\ell = r^2\dot{\theta}$ $\dot{\theta} = \ell/r^2$

F (r) = m (\ddot{r} - ℓ^{2} / r^{3})

$\textbf{F}(r) = m\big(\ddot{r} - \ell^2/r^3\big)$

Bây giờ đây là một phương trình vi phân cho phép chúng ta giải cho , nhưng chúng ta muốn vì vậy chúng ta cần thực hiện một số chuyển đổi. Chúng ta hãy tham số lại bằng cách xác định (lý do sẽ trở nên rõ ràng sau một chút) và xác định theo và . $r(t)$ $r(\theta)$ $u \equiv 1/r$ $\ddot{r}$ $u$ $\theta$

\frac{d}{d t} (r) = \frac{d}{d t} (\frac{1}{u}) = \frac{1}{u^{2}} \frac{d u}{d t} = \frac{1}{u^{2}} \frac{d u}{d θ} \frac{d θ}{d t} = - \frac{\dot{θ}}{u^{2}} \frac{d u}{d θ} = - ℓ \frac{d u}{d θ}

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(r) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\bigg(\frac{1}{u}\bigg)=\frac{1}{u^2}\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}=\frac{1}{u^2}\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}\theta}\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}=-\frac{\dot{\theta}}{u^2}\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}\theta}=-\ell\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}\theta}$

Lưu ý thay thế . Bây giờ phân biệt lại để xác định . $\ell=r^2\dot{\theta}=\dot{\theta}/u^2$ $\ddot{r}$

\frac{d^{2}}{d t^{2}} (r) = - ℓ \frac{d}{d t} (\frac{d u}{d θ}) = - ℓ \frac{d θ}{d t} \frac{d}{d θ} (\frac{d u}{d θ}) = ℓ \dot{θ} \frac{d^{2} u}{d θ^{2}} = - ℓ^{2} u^{2} \frac{d^{2} u}{d θ^{2}}

$\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}t^2}(r)=-\ell\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\bigg(\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}\theta}\bigg)=-\ell\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta}\bigg(\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}\theta}\bigg) = \ell\dot{\theta}\frac{\mathrm{d}^2u}{\mathrm{d}\theta^2}=-\ell^2 u^2 \frac{\mathrm{d}^2u}{\mathrm{d}\theta^2}$

Đặt điều này vào biểu thức của chúng ta cho phương trình chuyển động và thực hiện phép biến đổi mà cuối cùng đưa ra $r=1/u$

F (1 / u) = m (- ℓ^{2} u^{2} \frac{d^{2} u}{d θ^{2}} - ℓ^{2} u^{3})

$\textbf{F}(1/u) = m\Big(-\ell^2 u^2 \frac{\mathrm{d}^2u}{\mathrm{d}\theta^2} - \ell^2 u^3\Big)$

Viết bằng một hình thức thuận tiện hơn cuối cùng chúng tôi cũng đến

\frac{d^{2} u}{d θ^{2}} + u = - \frac{F (1 / u)}{m ℓ^{2} u^{2}}

$\boxed{\frac{\mathrm{d}^2u}{\mathrm{d}\theta^2} + u = -\frac{\textbf{F}(1/u)}{m\ell^2u^2}}$

Hãy nhớ rằng, là khối lượng của cơ thể, , là động lượng góc trên mỗi đơn vị khối lượng, là một lực hướng tâm thuần túy tác dụng lên cơ thể và và là vị trí tọa độ hướng tâm và phương vị của khối lượng. $m$ $u(\theta) \equiv 1/r(\theta)$ $\ell$ $\bf F$ $r$ $\theta$

Punchline : Kết quả cuối cùng ở đây là một phương trình chuyển động chung cho một cơ thể quay quanh theo một lực tùy ý. Đây có thể là trọng lực, điện từ, lực lò xo hoặc bất cứ thứ gì chúng ta quyết định. Nó có nguồn gốc một cách có chủ đích theo các giả định chung và không hạn chế và hy vọng bạn có thể thấy rằng nó có thể được sử dụng để hiểu chuyển động quỹ đạo của một ngôi sao quay quanh một thiên hà đĩa. Mục tiêu với phương trình này sẽ là cắm vào lực của bạn (bất cứ điều gì có thể) và giải quyết cho . Từ đó dễ dàng xác định . $u(\theta)$ $r(\theta)$

Chuyển động Keplerian

Trước khi chúng ta bắt đầu xem xét chuyển động quỹ đạo trong một thiên hà, chúng ta hãy xem xét chuyển động Keplerian tiêu chuẩn để chúng ta có một cái gì đó để so sánh. Chuyển động Kepler xuất phát từ việc giả sử khối lượng của chúng ta đang quay quanh một khối lượng , giống như điểm và chịu ảnh hưởng của trọng lực đơn giản. Trong trường hợp đó, chúng ta có thể viết lực của mình là và do đó , trong đó là một hằng số, được định nghĩa ở đây để đơn giản hóa toán học. Lưu ý rằng là hằng số hấp dẫn. Phương trình quỹ đạo chung, dưới lực này, giờ trở thành $m$ $M$ $F(r) = kr^{-2}$ $F(1/u) = ku^2$ $k\equiv GMm$ $G$

\frac{d^{2} u}{d θ^{2}} + u = - \frac{k}{m ℓ^{2}}

$\frac{\mathrm{d}^2u}{\mathrm{d}\theta^2} + u = -\frac{k}{m\ell^2}$

Đây là một phương trình vi phân bậc hai, không đồng nhất tiêu chuẩn với hàm cưỡng bức không đổi. Nếu bạn biết Diff EQ của mình, bạn nên biết giải pháp gần như ngay lập tức.

u (θ) = \frac{k}{m ℓ^{2}} + A \cos (θ - θ_{0})

$u(\theta) = \frac{k}{m\ell^2} + A\cos (\theta - \theta_0)$

$A$ $\theta_0$ $r(\theta)$ $k = GMm$ $L = \ell\mu$ $\mu$ $e = A(m\ell^2/k)$ $e$ là độ lệch tâm của quỹ đạo.

r (θ) = \frac{L^{2} / G M μ^{2}}{1 + e \cos (θ)}

$\boxed{r(\theta) = \frac{L^2/GM\mu^2}{1+e\cos (\theta)}}$

$M$ $e$ $e = 0$ $r(\theta)$ $0 < e <1$ $e=1$ $e > 1$

$F\propto r^{-2}$ $F \not \propto r^{-2}$ $P^2 \propto a^3$

Chuyển động quỹ đạo trong một thiên hà

Câu hỏi của bạn mô tả chính xác tình huống cho các ngôi sao (hoặc bất cứ thứ gì thực sự) quay quanh thiên hà. Các ngôi sao không quay quanh khối lượng trung tâm, giống như điểm. Chúng được nhúng vào cả vật chất tối và vật chất tối bao gồm thiên hà và đang quay quanh nó. Một khái niệm nổi tiếng trong vật lý là các phân bố khối lượng đối xứng hình cầu không có lực hấp dẫn ròng đối với các vật thể bên trong phân bố đó, có nghĩa là đối với các ngôi sao trong thiên hà, khối lượng ảnh hưởng đến quỹ đạo của nó là phần bên trong khối lượng của nó. Nếu bán kính đó thay đổi, khối lượng thay đổi!

Lực trung tâm trên ngôi sao của chúng ta vẫn sẽ là trọng lực, nhưng khối lượng tác dụng lên nó sẽ là toàn bộ phần bên trong đến một bán kính nào đó, ký hiệu là . Chúng ta có thể thấy rằng . Nếu chúng ta muốn xác định lực tác dụng lên ngôi sao của chúng ta (và do đó là quỹ đạo chính xác, thông qua phương trình vi phân ở trên), trước tiên chúng ta cần tìm ra phần bên trong khối lượng của bán kính là gì. Điều này có thể đạt được bằng cách sử dụng phương trình liên tục khối lượng . $M_r$ $F(r) = GM_r(r)m/r^2$

\frac{d M_{r}}{d r} = 4 π r^{2} ρ (r)

$\frac{\mathrm{d}M_r}{\mathrm{d}r} = 4\pi r^2 \rho(r)$

Về cơ bản, bạn có thể tìm ra tất cả nội thất khối lượng cho bằng cách tích hợp tất cả mật độ khối lượng như là một hàm của . Tất nhiên, ở đây, bạn cần một phương trình tốt cho . Một hồ sơ mật độ đơn giản, nhưng không thực tế về mặt vật lý là Hình cầu đơn nhiệt (SIS), trong khi một phương trình thực tế hơn, nhưng phức tạp về mặt toán học có thể là hồ sơ NFW hoặc hồ sơ Einasto . $r$ $r$ $\rho(r)$

Bây giờ tôi đã đặt ra tất cả các bước bạn cần để tìm ra chuyển động quỹ đạo trong một thiên hà, nhưng tôi phải nói rằng, nó không đẹp. Chúng ta có thể xem xét một phần của trường hợp đơn giản nhất, đó là SIS.

Quả cầu đẳng nhiệt đơn

Đối với quả cầu đẳng nhiệt singlar, bạn có , trong đó là vận tốc quay của ngôi sao của bạn. Hồ sơ này dựa trên một thực tế quan trọng của các thiên hà đĩa hồ sơ quay của chúng là phẳng! Điều này đã được thiết lập tốt, ví dụ bởi Ruben et al. 1978 . Tôi đã sao chép một hình từ bài báo dưới đây cho thấy đường cong xoay của một số thiên hà. Điểm quan trọng ở đây là điều này cho thấy là hằng số và không phụ thuộc vào bán kính! (Giả sử chúng ta không ở gần khu vực thiên hà hoặc trung tâm. Đó là một con quái vật hoàn toàn khác.) $\rho(r) = v^2/(4\pi Gr^2)$ $v$ $-$ $v$

Với thông tin quan trọng này, chúng tôi có thể giải quyết cho bằng cách tích hợp (mà tôi sẽ để lại cho bạn). Kết quả là $M_r$ $\rho(r)$

M_{r} = \frac{v^{2} r}{G}

$M_r = \frac{v^2r}{G}$

Điều này có nghĩa là lực lượng của bạn được đưa ra bởi

F (r) = \frac{v^{2} r m}{r^{2}} = \frac{v^{2} m}{r} \Rightarrow F (1 / u) = v^{2} m u \propto k u

$F(r) = \frac{v^2rm}{r^2} = \frac{v^2m}{r}\Rightarrow F(1/u) = v^2mu\propto ku$

Bạn có thể thấy ở đây không giống như trường hợp Keplerian, lực của chúng ta tỷ lệ thuận với thay vì . Bạn có thể thực hiện quy trình này với các cấu hình mật độ khác (chẳng hạn như NFW hoặc Einasto tôi đã liệt kê ở trên), nhưng bạn sẽ kết thúc với kết quả tương tự. $r^{-1}$ $r^{-2}$

Nếu bạn rất có khuynh hướng, bạn có thể chọn cắm phương trình này vào phương trình quỹ đạo chuyển động ở trên và giải quyết nó, nhưng giờ bạn đang làm việc với một phương trình vi phân phi tuyến tính và mọi thứ có thể trở nên lộn xộn nhanh chóng.

Punchline : Tôi không chắc điều này có thực sự trả lời câu hỏi của bạn hay không. Tôi đã dẫn bạn xuống hố thỏ một phần, nhưng hy vọng bạn có thể đánh giá cao mức độ phức tạp của nó. Tất cả các công việc trên đã sử dụng các giả định và đơn giản hóa rộng rãi. Tôi cho rằng câu trả lời ngắn gọn cho tất cả những điều này là các ngôi sao quay quanh các thiên hà trong một quỹ đạo phức tạp nhưng khép kín không dễ dàng mô tả chính xác (ngay cả đối với thiên hà của chúng ta) thông qua các phương trình có thể tính toán được. Chúng ta có thể ước chừng và làm hết sức mình để làm việc thông qua toán học, nhưng cuối cùng nó chỉ là một xấp xỉ. Trong các xấp xỉ thô sơ nhất, bạn cũng có thể xem xét một quỹ đạo như ngôi sao của chúng ta là hình tròn và được thực hiện với nó.

— cháu trai
nguồn

Ồ Rất ấn tượng!!!

— dùngLTK

"Điều đó có lý do sau đó, rằng bất kỳ hệ thống nào mà F∝̸r 2 không tuân theo bất kỳ luật nào của Kepler." Một hình thức của luật thứ 2 của Kepler áp dụng cho tất cả các lực lượng trung tâm, chỉ đơn thuần là hệ quả của việc bảo tồn động lượng góc. vi.wikipedia.org/wiki/Areal_velocity

— Rob Jeffries