Tại sao khoảng cách Trái đất-Mặt trăng không giống nhau ở mỗi perigee / apogee?

Tôi tự hỏi tại sao khoảng cách Trái đất-Mặt trăng không giống nhau ở mỗi perigee / apogee. Không phải quỹ đạo của Mặt trăng là một hình elip cố định với Trái đất tại một trong các tiêu điểm sao? Nếu nó là như vậy, không nên khoảng cách tại perigee / apogee là một giá trị cố định?

Không phải quỹ đạo của Mặt trăng là một hình elip cố định với Trái đất tại một trong các tiêu điểm sao?

Không, không phải vậy. Điều này thậm chí không đúng với quỹ đạo của các hành tinh về Mặt trời. Mỗi hành tinh làm nhiễu loạn quỹ đạo của các hành tinh khác, làm cho các hình elip của Kepler gần đúng hơn là chính xác. Quỹ đạo của Mặt trăng bị Mặt trời làm nhiễu loạn theo nhiều cách. Quỹ đạo của Mặt trăng lệch khỏi hình elip cố định theo một số cách. Một kết quả của những nhiễu loạn mặt trời này (và ở mức độ thấp hơn nhiều, nhiễu loạn từ Sao Kim và Sao Mộc, và ở một mức độ thậm chí ít hơn, từ các hành tinh khác) là quỹ đạo của Mặt trăng theo một số cách.

Một suy đoán như vậy là suy đoán apsidal. Đường thẳng từ Trái đất đến điểm mà Mặt trăng chạm tới perigee không chỉ đến một vị trí cố định trong không gian. Nó thay vào đó là điều kiện tiên quyết với khoảng thời gian khoảng 8,85 năm. Đây là những gì dẫn đến cái gọi là siêu thị, xảy ra khi quỹ đạo của Mặt trăng gần với perigee khi Mặt trăng đầy.

Một suy đoán như vậy là suy đoán nốt. Dòng các nút (nơi Mặt trăng đi từ trên xuống dưới hoàng đạo và ngược lại), cũng có các điều kiện tiên quyết, nhưng với khoảng thời gian khoảng 18,6 năm. Chúng ta chỉ có nhật thực khi Mặt trăng ở rất gần một nút ở trạng thái tổng hợp (có thể là Mặt trăng đầy đủ, dẫn đến nguyệt thực hoặc Mặt trăng mới, dẫn đến nhật thực).

Nếu Mặt trăng và Trái đất cách xa bất kỳ vật thể hấp dẫn nào khác, thì quỹ đạo sẽ không chỉ rất nhất quán mà còn rất gần với vòng tròn nữa. Các quỹ đạo như Mặt trăng Trái đất, nơi có lực thủy triều lẫn nhau mạnh và năng lượng quay của cơ thể bên trong được truyền sang năng lượng quỹ đạo của cơ thể nhỏ hơn, những quỹ đạo đó có xu hướng tuần hoàn theo thời gian.

Toán học đằng sau trọng lực 3 cơ thể khá dữ dội, và trên mức lương của tôi, nhưng tôi có thể giải thích bằng một hình ảnh. Cách dễ nhất để hình dung điều này là với các lực thủy triều.

Chúng tôi nghĩ rằng các lực thủy triều chỉ ảnh hưởng đến một vật thể rắn như sóng trên Trái đất hoặc thủy triều vĩnh viễn trên mặt trăng, nhưng tất cả các lực thủy triều là một biến thể của lực hấp dẫn trên các khoảng cách khác nhau và bởi vì Trái đất và Mặt trăng bị ràng buộc với nhau khác bởi trọng lực, điều đó có nghĩa là lực thủy triều mặt trời có thể được áp dụng cho hệ Mặt trăng-Trái đất.

Lực hấp dẫn từ Mặt trời mạnh hơn ở phía hành tinh gần mặt trời hơn và yếu nhất ở phía đối diện. Điều này cũng xảy ra liên quan đến Trái đất và Mặt trăng khi người này hoặc người kia ở gần Mặt trời hơn.

Khi quỹ đạo Trái đất / Mặt trăng ở trong trăng tròn hoặc mặt trăng mới, thì lực thủy triều do mặt trời tác động mạnh hơn vào cơ thể gần hơn, yếu hơn trên cơ thể xa hơn và quỹ đạo kéo dài một cách hiệu quả theo hướng mũi tên trên hình ảnh bên trên.

Khi quỹ đạo Trái đất-Mặt trăng nằm trong quý trước hoặc quý đầu tiên, lực thủy triều do mặt trời tác động theo hướng vuông góc vào bên trong và quỹ đạo có hiệu quả đè bẹp.

Thật thú vị, các lực lượng cũng có hiệu ứng tại các điểm quý cũng như mọi nơi ở giữa. Khi Mặt trăng đang vặn vẹo hoặc vẩy sáp, Mặt trời tác dụng lực mạnh hơn lên vật thể gần hơn và lực tác dụng lên vật thể ở xa hơn không dẫn đến thay đổi hình dạng quá nhiều, nhưng lực này có hiệu quả tăng tốc các vật thể đối với nhau. chúng di chuyển nhanh hơn một chút. Điều ngược lại xảy ra ở vầng trăng khuyết và lưỡi liềm sáp: Mặt trời đang làm chậm hiệu quả tốc độ tương đối giữa Trái đất và Mặt trăng.

Tóm lại, Mặt trời liên tục kéo hoặc đẩy mặt trăng so với Trái đất, do đó, liên tục kéo dài và đè bẹp và tăng tốc và giảm tốc quỹ đạo của Mặt trăng quanh Trái đất (hoặc xung quanh barycenter cho bạn theo chủ nghĩa thuần túy). Bạn có thể nghĩ rằng điều này có thể làm rung chuyển Mặt trăng khỏi Trái đất và nếu Mặt trăng cách xa khoảng 30% -50% so với bây giờ. Chính sự kéo và kéo dài thủy triều này xác định đường biên mơ hồ là vùng ổn định của quả cầu Hill .

Hiệu ứng thủy triều mặt trời này có tính chu kỳ, hoạt động mỗi khi Mặt trăng hoàn thành chu kỳ trăng tròn, đó là quỹ đạo đồng bộ khoảng 29,5 ngày.

"Quỹ đạo Kepler" của Mặt trăng là quỹ đạo thiên thể khoảng 27,3 ngày.

điều này như thế nào?

Hiệu ứng tổng thể, (lưu ý trong câu trả lời khác), là một suy đoán apsidal mặt trăng cao bất thường chỉ 8,85 năm, hoặc chỉ hơn 118 quỹ đạo thiên thể (hoặc Kepler).

Điều này có nghĩa là apogee và perigee của Mặt trăng thay đổi khoảng 3 độ cho mỗi quỹ đạo mặt trăng. Mặt trăng không thể đi vào quỹ đạo nhất quán do lực hấp dẫn của mặt trời tác động lên nó và lực thủy triều trên hệ Mặt trăng-Trái đất rất đáng kể.

Trái đất, để so sánh, có một suy đoán apsidal , chủ yếu được điều khiển bởi Sao Mộc và Sao Thổ, khoảng 112.000 năm, hoặc 112.000 quỹ đạo. Đó là khoảng một ngàn lần thay đổi góc trên mỗi quỹ đạo. Như một thanh bên, các vật thể bên trong quỹ đạo, ví dụ Sao Kim, không có nhiều ảnh hưởng đến quỹ đạo Trái đất. Đó là các hành tinh bên ngoài chủ yếu thúc đẩy sự suy thoái apsidal. Chẳng hạn, sao Hải Vương không có các hành tinh bên ngoài để nói và nếu tìm thấy hành tinh 9, nó sẽ ở quá xa, do đó quỹ đạo của sao Hải Vương gần như tròn.

Khoảng cách apogee / perigee liên tiếp của Mặt trăng thực sự trải qua những thay đổi: những thay đổi này gần như theo chu kỳ và chúng có thời gian chính gần 205,89 ngày (gần 7 tháng đồng bộ). Một yếu tố góp phần chính vào sự thay đổi khoảng cách của perigee là sự nhiễu loạn mặt trời định kỳ được gọi là sự phát triển . Sau đó, theo thứ tự giảm kích thước tối đa, đóng góp thứ hai là do sự nhiễu loạn được gọi là biến thể .

Phần còn lại của câu trả lời này tóm tắt các giải thích về cách thức di chuyển (cùng với biến thể) ảnh hưởng đến khoảng cách của người nhận: cũng được cung cấp là một ví dụ bằng số của dữ liệu cực âm của Mặt trăng từ Almanac ('AA') cho năm 2011 : những dữ liệu này cho biết sự kết hợp của hai hiệu ứng có thể chiếm gần như tất cả các phạm vi quan sát được trong khoảng cách perigee mặt trăng. Bản chất và kích thước của hai hiệu ứng cũng chỉ ra các đặc điểm mà quỹ đạo thực của Mặt trăng khác (đáng kể) so với hình elip cố định Keplerian đơn giản.

Sự gợi ý: Sách giáo khoa cũ được sử dụng để thảo luận về cách thức mà sự gợi ý làm phát sinh những thay đổi về khoảng cách apogee / perigee - ví dụ H Godfray (1859), Luận thuyết sơ cấp về Lý thuyết âm lịch . Giải thích của Godfray tiến hành bằng cách hiển thị sự tương đương thực tế giữa hai dạng trong đó vectơ kinh độ và bán kính của mặt trăng & c. có thể được thể hiện:

$(2D-l)$$D$$l$

(2) Dạng thứ hai là một đại diện cũ hơn cho các chuyển động của Mặt trăng, trong đó giả sử độ lệch tâm thay đổi theo chu kỳ, và do đó cũng là khoảng cách perigee biến thiên theo chu kỳ, phương trình lớn nhất, & c.

Cuốn sách của Godfray đưa ra những lời giải thích khá đầy đủ về các tác động lên kinh độ và phương trình tâm (tại p.66, art70 cùng với các dẫn xuất trước), và sau đó là một bản tóm tắt rõ ràng hơn về sự thể hiện tương tự của các hiệu ứng trên vectơ bán kính (tại pp .76-77, nghệ thuật85). (Trong một chi tiết nhỏ: những gì được hiển thị là thuật ngữ hình elip bậc thấp nhất và thuật ngữ gợi ý có thể được kết hợp và sắp xếp lại theo lượng giác, để đưa ra một xấp xỉ tương đương với một hình elip thay đổi, trong đó độ lệch tâm dao động theo chu kỳ và hướng góc của apogee / perigee hiệu chỉnh theo chu kỳ cũng như cho thấy tốc độ quay tổng thể trung bình nổi tiếng của nó. Một sự phát triển lượng giác hiện đại tương ứng cho thấy về cơ bản cùng một mối quan hệ giữa hai dạng cho chuỗi kinh độ, đi xa đến bậc ba -SA Wepster (2010) , tại tr.100-104 trong nghiên cứu lịch sử và toán học của ông về lý thuyết và bảng âm lịch thế kỷ 18 của Tobias Mayer.)

Không phụ thuộc vào kiểu giải thích cũ hơn này, các chi tiết trong phụ lục A dưới đây cho thấy, có liên quan đến dữ liệu hiện đại, làm thế nào thuật ngữ chính của sự lảng tránh củng cố thuật ngữ hình elip chính khi Mặt trời phù hợp với các dòng của Mặt trăng và phản đối nó khi Mặt trời ở 90 ° so với đường đó.

$\tau$$D$ ở trên.) Lượng tức thời của biến thể phụ thuộc vào pha mặt trăng và do đó, nó cũng góp phần thay đổi khoảng cách của perigee, bởi vì khoảng thời gian trung bình giữa các perigees (~ 27,55 ngày) ngắn hơn khoảng hai ngày so với thời gian trung bình giữa các mặt trăng mới (~ 29,53 ngày), do đó những người di cư liên tiếp xảy ra ở các giai đoạn khác nhau trong quá trình mất trí và bị ảnh hưởng khác nhau bởi sự thay đổi.

Ví dụ bằng số: Phụ lục A dưới đây trích dẫn các giá trị hiện đại được tinh chỉnh gần đây (Đài thiên văn Paris)cho biên độ của các thuật ngữ lượng giác ảnh hưởng đến vectơ bán kính của Mặt trăng. Thuật ngữ chính của sự phát triển là gần biên độ 3699 km, và thuật ngữ chính của biến thể là gần 2956 km. Bỏ qua nhiều hiệu ứng định kỳ nhỏ hơn, người ta có thể mong đợi từ những gì đã được đề cập, rằng khi một mặt trăng mới hoặc trăng tròn xuất hiện ở perigee (ngụ ý rằng Mặt trời nằm trong dòng của các đỉnh), các thuật ngữ chính và biến thể chính đều có tác dụng làm giảm khoảng cách perigee, bằng khoảng tổng của hai biên độ, tức là khoảng 6655 km. Mặt khác, khi một perigee xảy ra tại một trong các khu vực mặt trăng (ngụ ý rằng Mặt trời nằm ở góc 90 ° so với đường vát), cả hai thuật ngữ này đều có tác dụng ngược lại, tức là tăng khoảng cách perigee lên khoảng 6655 km . Do đó, các điều khoản chính của sự thay đổi và biến thể,

Kỳ vọng dựa trên lượng giác này có thể được so sánh với dữ liệu từ hầu hết các Bảng xếp hạng Thiên văn học gần đây ('AA'). (Trong những năm gần đây, dữ liệu khoảng cách mặt trăng trong AA đến từ một kiểu phù du được tích hợp số, phiên bản DE405 cho các năm 2003-2014 , xem AA cho năm 2011, trang L4. Các tích hợp được trang bị cho dữ liệu laser mặt trăng hiện đại, độc lập với phân tích lượng giác cổ điển.) AA cho năm 2011 (trong khi viết câu trả lời này) lập bảng khoảng cách mặt trăng hàng ngày ở 0h TT (sử dụng đơn vị bán kính xích đạo trái đất, 6378,14 km ) và cung cấp dữ liệu ví dụ sau (xem các trang đặc biệt D1, D8, D14). (i) Một khoảng cách mặt trăng tối thiểu theo địa phương được lập bảng nhỏ nhất trong năm xảy ra vào ngày 20 tháng 3 (0h) tại 55.912 trái đất, gần với một perigee vào ngày 19 tháng 3 năm 19h và trăng tròn vào ngày 19 tháng 3 18h 10m; và (ii) khoảng cách mặt trăng tối thiểu theo địa phương được lập bảng lớn nhất trong năm xảy ra vào ngày 8 tháng 7 (0h) lúc 57.951, gần với một perigee vào ngày 7 tháng 7 14h và đến quý 1 âm lịch vào ngày 8 tháng 7 6h 29m. Vào những ngày mà khoảng cách được lập bảng, các pha và cấu hình gần nhau nhưng không chính xác, mặt trăng là một vài độ lệch chính xác và cũng có một chút tắt chính xác hoặc hình cầu. Bỏ qua sự không chính xác này, người ta có thể cho rằng, vì những lý do đã nêu ở trên và được nêu trong Phụ lục, rằng vào cả hai ngày, sự phát triển và biến thể đều có cùng ý nghĩa và khá gần với cực đại của chúng; cả hai đều giảm khoảng cách perigee tại ngày (i) và cả hai đều tăng nó vào ngày (ii).

Do sự khác biệt giữa dữ liệu (i) và (ii) từ AA 2011, phạm vi của khoảng cách perigee tối thiểu cục bộ (gần) là 2.039 trái đất, tương đương với khoảng 13000 km. Điều này khác ít hơn 2,5% so với phạm vi từ đỉnh đến đỉnh kết hợp (13310 km) của các điều khoản chính của sự thay đổi và biến đổi. Tất nhiên, việc tính toán và so sánh khá thô sơ, cả bởi sự không chính xác của các cấu hình và cũng vì nhiều thuật ngữ lượng giác nhỏ hơn bị bỏ qua. Tuy nhiên, nó rất gần và giúp chỉ ra cách thức di chuyển cùng với biến thể có thể chiếm gần như toàn bộ phạm vi trong khoảng cách perigee mặt trăng nhìn thấy trong một năm.

Ruột thừa:

Dưới đây là (A) làm thế nào các hiệu ứng được đề cập ở trên cũng có tính định lượng trong các tài khoản phân tích gần đây nhất về các chuyển động của mặt trăng; và (B) làm thế nào một số tài khoản (hiện tại là lịch sử) đã cố gắng phác thảo riêng các nguyên nhân hấp dẫn của việc trốn tránh - một doanh nghiệp hơi khó xử hơn, liên quan đến các xấp xỉ và tham gia với các hình thức lịch sử cũ hơn để thể hiện các chuyển động.

Trả lời: Mô tả định lượng về khoảng cách perigee mặt trăng khác nhau được đưa ra ở đây theo các biểu thức phân tích hiện đại cho vectơ kinh độ và bán kính quỹ đạo của Mặt trăng. Các dữ liệu sau đây được làm tròn từ "ELP 2000-85 - Một thiên thạch bán nguyệt phân tích phù hợp với thời gian lịch sử", bởi Michelle Chapront-Touzé và Jean Chapront (1988) Thiên văn học & Vật lý thiên văn 190, 342-352 , đặc biệt tại trang 351: điều này đại diện cho một trong một số phiên bản của 'ELP' của tác giả (Ephémérides Lunaires Parisiennes), xem thêm trang này tại một trong các trang web của Đài thiên văn Paris.

Ba thuật ngữ lượng giác lớn nhất mô tả sự khác biệt về thời gian giữa vectơ bán kính trung bình và trung bình của Mặt trăng và kinh độ quỹ đạo thực và trung bình của nó, được gọi tương ứng là lớn nhất trong các thuật ngữ hình elip và các thuật ngữ chính của sự biến đổi và biến đổi. Họ gần -

$-20905.355 \cos (l) -3699.111 \cos (2D-l) -2955.968 \cos (2D)$

(b) (đối với phần chênh lệch đúng trừ nghĩa kinh độ quỹ đạo, trong vòng cung "). $+22639.586" \sin (l) +4586.438" \sin (2D-l) +2369.914" \sin (2D)$

$D$ và có nghĩa đã được đề cập.$l$

Thuật ngữ elip lớn nhất (thuật ngữ bên trái trong (a) và (b)) có thể được coi là thuật ngữ lớn nhất (thứ tự thấp nhất) trong một chuỗi lượng giác với các đối số chỉ bằng bội số của . Các loạt phụ này có thể được trích từ chuỗi dài các thuật ngữ, trong nhiều đối số, được đưa ra trên trang 351 của bài viết năm 1988 được trích dẫn, do đó:$l$

(c) cho vectơ bán kính và$-20905.355 \cos (l) -569.925 \cos (2l) -23.210 \cos (3l) ...$

(d) cho kinh độ quỹ đạo.$+22639.586" \sin (l) +769.026" \sin (2l) +36.124" \sin (3l) ...$

Chúng gần đúng với chuỗi cho phương trình của tâm (vectơ bán kính hoặc kinh độ quỹ đạo) có thể được phát triển cho quỹ đạo hình elip Keplerian chính xác với độ lệch tâm không đổi ('mean') khoảng 0,0549 (ví dụ như các dạng được đưa ra trong Brouwer và Clemence (1961) Phương pháp cơ học thiên thể , trang 76-77, phương trình 73 và 75). Cùng với nhau, chuỗi (c) và (d) biểu thị xấp xỉ một hình elip trung bình mà Mặt trăng có thể theo sau khi không có nhiễu loạn. Trong điều kiện giả thuyết này, khoảng cách perigee mặt trăng cho hình elip trung bình như vậy tất nhiên sẽ luôn giống nhau, khoảng 363502 km theo ba thuật ngữ định kỳ ban đầu được trích ở đây.

Sau đó, mỗi thuật ngữ thứ hai trong đoạn trích ba thuật ngữ (a) và (b) ở trên là thuật ngữ chính chịu trách nhiệm cho việc bỏ trốn. Để thấy tác dụng của các thuật ngữ gợi ý, đối số có thể được coi là có hiệu quả , khác với , đối số của bất đẳng thức elip, bởi một đại lượng thay đổi chậm .$(2D-l)$$(l -(2l-2D))$$l$$(2l-2D)$

Khoảng thời gian ('tháng dị thường') là khoảng 27,55 ngày, nhưng khoảng thời gian là khoảng 205,89 ngày (đó là khoảng thời gian trung bình giữa các lần đi qua Mặt trời qua các hướng của Mặt trăng, theo một hướng chỉ vào apogee, khác để perigee). (Khoảng thời gian trung bình giữa các đoạn của Mặt trời qua apogee trung bình của Mặt trăng là gấp đôi so với trước đây, khoảng 411,78 ngày, chỉ dưới 14 tháng có nghĩa là đồng nghĩa.)$l$$(2l-2D)$

Hai trường hợp cấu hình có thể được chỉ ra một cách hữu ích: (i) Khi đại lượng bằng 0 (xảy ra một lần trong mỗi chu kỳ 7 tháng, khi vị trí của mặt trời được nối / trái với hướng của apogee của mặt trăng / perigee) sau đó có thể được nhìn thấy từ các đoạn trích ở trên rằng thuật ngữ gợi ý được trích dẫn trong mỗi loạt củng cố hiệu ứng của thuật ngữ elip chính. (ii) Trong trường hợp khác, ở thái cực ngược lại, khi là 180 ° (xảy ra khi vị trí của mặt trời là 90 ° so với hướng của apogee / perigee của mặt trăng) có thể thấy rằng thuật ngữ tránh trong mỗi loạt phản đối thuật ngữ elip chính.( 2 l - 2 D $(2l-2D)$$(2l-2D)$

Kết quả giống như hiệu ứng 'nhịp' giữa hai dao động. Về điều này, các chuyến du ngoạn tối đa từ trung bình, cả về vectơ bán kính và kinh độ quỹ đạo, không giống nhau trong mỗi chu kỳ của : cực đại cục bộ dao động về số lượng, với khoảng thời gian ~ 205,89 ngày, chỉ dưới 7 trung bình tháng đồng bộ. $l$

Do đó, các biểu thức trên cho thấy khoảng cách perigee của mặt trăng thay đổi như thế nào, dựa trên thuật ngữ gợi ý chính, trong phạm vi khoảng +/- 3699 km. Khoảng cách perigee gần Trái đất hơn trong trường hợp cấu hình (i), khi Mặt trời kết hợp / phản đối hướng của apogee / perigee của Mặt trăng; tại thời điểm này, (các) thuật ngữ chính được củng cố các thuật ngữ elip) và các chuyến du ngoạn trong kinh độ cũng lớn hơn. Sau đó, khoảng cách perigee sẽ lớn hơn trong trường hợp thứ hai, khi Mặt trời cách dòng apode 90 °; tại thời điểm này, các thuật ngữ gợi ý và các thuật ngữ elip chính trái ngược nhau, và ở đây các chuyến du ngoạn trong kinh độ cũng nhỏ hơn.

Tóm lại, ảnh hưởng của các thuật ngữ phát hiện đến khoảng cách perigee và kinh độ quỹ đạo gần giống với các hiệu ứng sẽ phát sinh từ độ lệch tâm quỹ đạo tăng trong trường hợp thứ nhất và từ độ lệch tâm giảm trong lần thứ hai. Các kết quả được sửa đổi bởi sự thay đổi theo giai đoạn của mặt trăng.

Hiệu ứng (đơn giản hơn) của thuật ngữ chính của biến thiên trên vectơ bán kính đã được đề cập: Mặt trăng được đưa đến gần hơn khoảng 2956km vào lúc trăng tròn và trăng tròn mới, và xa hơn với cùng một lượng tại các phần tư. Khoảng cách perigee chính xác cũng bị ảnh hưởng bởi các điều khoản định kỳ khác và thường nhỏ hơn.

. gây ra đỉnh cao của sự quan tâm của truyền thông.)

B: Kế toán hấp dẫn cho các tính năng được lựa chọn này của nhiễu loạn Mặt trăng là hơi khó xử. Từ giữa thế kỷ 18 đến đầu 20, các kỹ thuật giải pháp phân tích thường xử lý ít nhất là các lực gây nhiễu chính được biết đến trên Mặt trăng nói chung, để đưa ra các giải pháp gần đúng cho các chuyển động của mặt trăng. Các phương pháp như vậy tạo ra khối lượng các thuật ngữ lượng giác, và thực tế không thể thấy phần nào (nếu có) của các lực nhiễu loạn chịu trách nhiệm cho các hiệu ứng phát sinh. Các kỹ thuật số hiện đại cũng không cho thấy bất kỳ phần nào có thể tách rời dễ dàng của các hiệu ứng nhiễu loạn.

Đã có ít nhất hai nỗ lực để thể hiện, chủ yếu là về mặt hình học và chất lượng, làm thế nào các hiệu ứng của sự phát triển có thể phát sinh một cách hấp dẫn. Với mục đích này, sự gợi ý được thực hiện để thể hiện bằng sự dao động về độ lệch tâm quỹ đạo, một sự tương đương được thảo luận ở trên và trong tài liệu tham khảo Godfray đã được trích dẫn. Gần đây hơn trong hai cuộc triển lãm đã được đưa ra bởi FR Moulton's (1914) Giới thiệu về Cơ học thiên thể (tại chương 9, đặc biệt từ tr.321-360). Giải trình ban đầu được đưa ra bởi Newton trong quyển 1 của nguyên tắc, Dự luật 66, đặc biệt là hệ quả 9 (tr.243-5 năm 1729 bản dịch tiếng Anh từ tiếng Latin). Các giải thích phụ thuộc vào việc kiểm tra cách thức mà lực gây nhiễu làm thay đổi định luật năng lượng ròng để thu hút Trái đất trên Mặt trăng và làm khác nhau ở các phần khác nhau trên quỹ đạo của Mặt trăng, làm cho năng lượng nghịch đảo tăng hơn 2 một số phần của quỹ đạo và ít hơn một chút trong các phần khác. Ngoài ra, sẽ mất quá nhiều không gian để mô tả những giải thích ở đây, bản gốc có sẵn trong kho lưu trữ trực tuyến.

Cũng cần lưu ý rằng (1) Sự vắng mặt của lực nhiễu loạn mặt trời sẽ không làm cho quỹ đạo của mặt trăng trở nên tròn hoặc gần như vậy: độ lệch tâm là một tham số tự do tương ứng với hằng số tùy ý trong việc tích hợp vấn đề hai cơ thể: ví dụ Bate, Mueller, White (1971) Nguyên tắc cơ bản của Astrodynamics ở trang 19-21 đưa ra một minh chứng đáng chú ý về điều này.

(2) Lực lượng mặt trời làm nhiễu loạn Mặt trăng trong chuyển động của nó quanh Trái đất đôi khi được mô tả như thể được biểu thị bằng sức hút tuyệt đối của Mặt trời trên Mặt trăng: nhưng nó thực sự được biểu thị bằng sự khác biệt (vectơ) giữa lực hút của Mặt trời trên Mặt trăng và sự hấp dẫn của Mặt trời trên Trái đất (Newton, Princia, Hệ quả 1, 2 và 6 đối với các định luật về chuyển động và Quyển 3, Dự luật 25 ).

(3) Bản thân vòng quay (phần trước) của dòng apts không làm thay đổi khoảng cách của perigee, nó làm thay đổi các vị trí góc của perigee và thời điểm mặt trăng chạm tới perigee.

(4) Quỹ đạo của Mặt trăng khá xa so với hình elip Keplerian hoặc bất kỳ hình elip nào, nó kết hợp các đặc điểm của quỹ đạo thay đổi (gần như hình elip nhưng với Trái đất gần tâm không nằm ở tiêu điểm) và hình elip có độ lệch tâm và đường dao động khác nhau của vượn. Newton đã có trong một bài báo chưa xuất bản bày tỏ sự công nhận gần đúng rằng quỹ đạo thực sự của Mặt trăng không chính xác là hình elip Keplerian lập dị, cũng không chính xác là hình elip trung tâm do biến thể, nhưng "hình bầu dục của loại khác" (xem DT Whiteside (ed. ) (1973), Các bài báo toán học của Isaac Newton, Tập VI: 1684-1691, Nhà xuất bản Đại học Cambridge, ở trang 533 .