Xác định ảnh hưởng của lực biến thiên nhỏ đến suy đoán perihelion hành tinh

Có một kỹ thuật phân tích để xác định ảnh hưởng của gia tốc ngang biến thiên nhỏ theo tốc độ của suy đoán (không hoàn toàn là một suy đoán mà là xoay vòng của các đường bay) của một hành tinh quay quanh Mặt trời trong mặt phẳng 2D theo định luật hấp dẫn của Newton ?

Tôi đã mô hình hóa các hiệu ứng như vậy trong một mô hình máy tính lặp lại và muốn xác minh các phép đo đó.

Công thức gia tốc ngang là

$A t = (K / c^{2}) * V r * V t * A r .$ $At = (K/c^2)*Vr*Vt * Ar.$

Ở đâu:-

c là tốc độ ánh sáng,

K là hằng số cường độ từ 0 đến +/- 3, sao cho . $K/(c^2) << 1$

Ar là gia tốc của hành tinh đối với Mặt trời do ảnh hưởng của lực hấp dẫn Newton của Mặt trời, ( ). $Ar = GM/r^2$

Vr là thành phần xuyên tâm của vận tốc hành tinh so với Mặt trời (+ = chuyển động ra khỏi Mặt trời)

Vt là thành phần ngang của vận tốc hành tinh so với Mặt trời (+ = hướng chuyển động của hành tinh về phía trước dọc theo quỹ đạo của nó). Vectơ Vt = V - Vr trong đó V là tổng vectơ vận tốc tức thời của hành tinh so với Mặt trời.

Giả sử khối lượng hành tinh nhỏ so với Mặt trời

Không có cơ quan khác trong hệ thống

Tất cả các chuyển động và gia tốc được giới hạn trong mặt phẳng hai chiều của quỹ đạo.

CẬP NHẬT

Lý do tại sao điều này thú vị với tôi là vì giá trị K = +3 trong mô hình máy tính của tôi tạo ra các giá trị tốc độ xoay vòng bất thường (phi Newton) rất gần trong khoảng 1% so với dự đoán của Thuyết tương đối rộng và trong một vài phần trăm những người được quan sát bởi các nhà thiên văn học (Le Verrier, được cập nhật bởi Newcomb).

Công thức (Einstein, 1915) cho phép quay periapse có nguồn gốc GR (radian trên quỹ đạo) từ http://en.wikipedia.org/wiki/Apsidal_precession

ω = 24. π^{3} . a^{2} . T^{- 2} . c^{- 2} . (1 - e^{2})^{- 1}

$\boldsymbol{\omega}=24.\pi^3.a^2.T^{-2}.c^{-2}.(1-e^2)^{-1}$

CẬP NHẬT 4

Tôi đã chấp nhận câu trả lời của Walter. Anh ta không chỉ trả lời câu hỏi ban đầu (Có kỹ thuật nào không?) Mà cả phân tích của anh ta cũng tạo ra một công thức không chỉ xác nhận các hiệu ứng mô phỏng trên máy tính của công thức gia tốc ngang (cho K = 3) mà còn (bất ngờ với tôi) về cơ bản tương đương với công thức Einstein 1915.

từ Tóm tắt của Walter (trong câu trả lời của Walter bên dưới): -

: (từ phân tích peturbation thứ nhất) trục bán chính và độ lệch tâm không thay đổi, nhưng hướng periapse quay trong mặt phẳng của quỹ đạo theo tỷ lệ nơi là tần số quỹ đạo và với người bán trục lớn. Lưu ý rằng (với ), điều này đồng ý với tỷ lệ suy đoán tương đối tổng quát (GR) theo thứ tự (được đưa ra bởi Einstein 1915).

ω = Ω \frac{v_{c}^{2}}{c^{2}} \frac{K}{1 - e^{2}},

$\omega=\Omega \frac{v_c^2}{c^2} \frac{K}{1-e^2},$

Ω

$\Omega$

v_{c} = Ω a

$v_c=\Omega a$

a

$a$

K = 3

$K=3$

v_{c}^{2} / c^{2}

$v_c^2/c^2$

gravity eccentric-orbit

— steveOw
nguồn

Bạn vẫn đang tìm kiếm một câu trả lời?

— Walter

@Walter. Vâng là tôi. Tôi đã hỏi câu hỏi tương tự tại Phys.stackexchange.com/questions/123685/, nhưng chưa có câu trả lời chắc chắn nào.

— steveOw

@Walter. Tôi cũng đã hỏi tại math.stackexchange.com/questions/866836/ .

— steveOw

Có, có các phương pháp phân tích gần đúng (lý thuyết nhiễu loạn), hợp lệ trong giới hạn của . Có lẽ bạn có thể làm rõ câu hỏi của bạn một chút. Hướng của gia tốc ngang là gì (tôi hiểu 'ngang' có nghĩa là vuông góc với vận tốc tức thời, nhưng không rõ gia tốc nằm trong mặt phẳng của quỹ đạo hay vuông góc hay hỗn hợp).

K ≪ 1

$K\ll1$

— Walter

Có một sự khác biệt giữa câu hỏi của bạn ở đây và về toán học (và vật lý): ở đây gia tốc ngang tỷ lệ với gia tốc hướng tâm và là một số không thứ nguyên, ở đó gia tốc hướng tâm không ảnh hưởng đến gia tốc ngang và phải là một tăng tốc (mặc dù bạn nói về một 'số').

K

$K$

K

$K$

— Walter

Bạn có thể muốn sử dụng lý thuyết nhiễu loạn . Điều này chỉ cung cấp cho bạn một câu trả lời gần đúng , nhưng cho phép điều trị phân tích. Lực lượng của bạn được coi là một sự thay đổi nhỏ vào quỹ đạo elip Keplerian và các phương trình kết quả của chuyển động được mở rộng trong quyền hạn của . Đối với lý thuyết nhiễu loạn tuyến tính, chỉ các thuật ngữ tuyến tính trong được giữ lại. Điều này chỉ đơn giản là dẫn đến việc tích hợp nhiễu loạn dọc theo quỹ đạo ban đầu không bị xáo trộn. Viết lực của bạn dưới dạng vectơ, gia tốc nhiễu là với vận tốc hướng tâm ( ) và $K$ $K$

a = K \frac{G M}{r^{2} c^{2}} v_{r} v_{t}

$\boldsymbol{a} = K \frac{GM}{r^2c^2}v_r\boldsymbol{v}_t$

v_{r} = v \cdot \hat{r}

$v_r=\boldsymbol{v}{\cdot}\hat{\boldsymbol{r}}$

v \equiv \dot{r}

$\boldsymbol{v}\equiv\dot{\boldsymbol{r}}$

v_{t} = (v - \hat{r} (v \cdot \hat{r}))

$\boldsymbol{v}_t=(\boldsymbol{v}-\hat{\boldsymbol{r}}(\boldsymbol{v}{\cdot}\hat{\boldsymbol{r}}))$ thành phần quay của vận tốc ( vận tốc toàn phần trừ đi vận tốc hướng tâm). Ở đây, dấu chấm ở trên biểu thị một đạo hàm thời gian và một chiếc mũ đơn vị vector.

Bây giờ, nó phụ thuộc vào ý của bạn với ' hiệu ứng '. Chúng ta hãy tìm ra những thay đổi của trục bán cầu quỹ đạo , độ lệch tâm và hướng của periapse. $a$ $e$

Để tóm tắt các kết quả dưới đây : trục bán chính và độ lệch tâm không thay đổi, nhưng hướng của periapse quay trong mặt phẳng của quỹ đạo theo tỷ lệ nơi là tần số quỹ đạo và với người bán trục lớn. Lưu ý rằng (với ), điều này đồng ý với tỷ lệ suy đoán tương đối tổng quát (GR) theo thứ tự (được đưa ra bởi Einstein 1915 nhưng không được đề cập trong câu hỏi ban đầu).

ω = Ω \frac{v_{c}^{2}}{c^{2}} \frac{K}{1 - e^{2}},

$\omega=\Omega \frac{v_c^2}{c^2} \frac{K}{1-e^2},$

Ω

$\Omega$

v_{c} = Ω a

$v_c=\Omega a$

a

$a$

K = 3

$K=3$

v_{c}^{2} / c^{2}

$v_c^2/c^2$

thay đổi trục semimajor

Từ mối quan hệ (với năng lượng quỹ đạo), chúng tôi có cho sự thay đổi của do một bên ngoài gia tốc (không phải Kepler) Chèn (lưu ý rằng với vectơ động lượng góc ), chúng tôi nhận được Vì trung bình quỹ đạo cho bất kỳ chức năng (xem bên dưới), . $a=-GM/2E$ $E=\frac{1}{2}\boldsymbol{v}^2-GMr^{-1}$ $a$

\dot{a} = \frac{2 a^{2}}{G M} v \cdot a .

$\dot{a}=\frac{2a^2}{GM}\boldsymbol{v}{\cdot}\boldsymbol{a}.$

a

$\boldsymbol{a}$

v \cdot v_{t} = h^{2} / r^{2}

$\boldsymbol{v}{\cdot}\boldsymbol{v}_t=h^2/r^2$

h \equiv r \land v

$\boldsymbol{h}\equiv\boldsymbol{r}\wedge\boldsymbol{v}$

\dot{a} = \frac{2 a^{2} K h^{2}}{c^{2}} \frac{v_{r}}{r^{4}} .

$\dot{a}=\frac{2a^2Kh^2}{c^2}\frac{v_r}{r^4}.$

⟨ v_{r} f (r) ⟩ = 0

$\langle v_r f(r)\rangle=0$

f

$f$

⟨ \dot{a} ⟩ = 0

$\langle\dot{a}\rangle=0$

thay đổi độ lệch tâm

Từ , chúng tôi tìm thấy Chúng ta đã biết rằng , vì vậy chỉ cần xem xét thuật ngữ đầu tiên. Do đó, trong đó tôi đã sử dụng danh tính và thực tế $\boldsymbol{h}^2=(1-e^2)GMa$

e \dot{e} = - \frac{h \cdot \dot{h}}{G M a} + \frac{h^{2} \dot{a}}{2 G M a^{2}} .

$e\dot{e}=-\frac{\boldsymbol{h}{\cdot}\dot{\boldsymbol{h}}}{GMa}+\frac{h^2\dot{a}}{2GMa^2}.$

⟨ \dot{a} ⟩ = 0

$\langle\dot{a}\rangle=0$

e \dot{e} = - \frac{(r \land v) \cdot (r \land a)}{G M a} = - \frac{r^{2} v \cdot a}{G M a} = - \frac{K h^{2}}{a c^{2}} \frac{v_{r}}{r^{2}},

$e\dot{e}=-\frac{(\boldsymbol{r}\wedge\boldsymbol{v}){\cdot}(\boldsymbol{r}\wedge\boldsymbol{a})}{GMa} =-\frac{r^2\;\boldsymbol{v}{\cdot}\boldsymbol{a}}{GMa} =-\frac{Kh^2}{ac^2}\frac{v_r}{r^2},$

(a \land b) \cdot (c \land d) = a \cdot c b \cdot d - a \cdot d b \cdot c

$(\boldsymbol{a}\wedge\boldsymbol{b}){\cdot}(\boldsymbol{c}\wedge\boldsymbol{d}) =\boldsymbol{a}{\cdot}\boldsymbol{c}\;\boldsymbol{b}{\cdot}\boldsymbol{d}- \boldsymbol{a}{\cdot}\boldsymbol{d}\;\boldsymbol{b}{\cdot}\boldsymbol{c}$

r \cdot a_{p} = 0

$\boldsymbol{r}{\cdot}\boldsymbol{a}_p=0$ . Một lần nữa và do đó .

⟨ v_{r} / r^{2} ⟩ = 0

$\langle v_r/r^2\rangle=0$

⟨ \dot{e} ⟩ = 0

$\langle\dot{e}\rangle=0$

thay đổi hướng của periapse

Các lệch tâm vector điểm (từ trung tâm của trọng lực) theo hướng periapse, có độ lớn , và được bảo tồn dưới chuyển động Keplerian (xác nhận tất cả những điều đó như một bài tập!). Từ định nghĩa này, chúng tôi tìm thấy sự thay đổi tức thời của nó do gia tốc bên ngoài $\boldsymbol{e}\equiv\boldsymbol{v}\wedge\boldsymbol{h}/GM - \hat{\boldsymbol{r}}$ $e$

\dot{e} = \frac{a \land (r \land v) + v \land (r \land a)}{G M} = \frac{2 (v \cdot a) r - (r \cdot v) a}{G M} = \frac{2 K}{c^{2}} \frac{h^{2} v_{r} r}{r^{4}} - \frac{K}{c^{2}} \frac{v_{r}^{2} v_{t}}{r}

$\dot{\boldsymbol{e}}= \frac{\boldsymbol{a}\wedge(\boldsymbol{r}\wedge\boldsymbol{v}) +\boldsymbol{v}\wedge(\boldsymbol{r}\wedge\boldsymbol{a})}{GM} =\frac{2(\boldsymbol{v}{\cdot}\boldsymbol{a})\boldsymbol{r} -(\boldsymbol{r}{\cdot}\boldsymbol{v})\boldsymbol{a}}{GM} =\frac{2K}{c^2}\frac{h^2v_r\boldsymbol{r}}{r^4} -\frac{K}{c^2}\frac{v_r^2\boldsymbol{v}_t}{r}$ trong đó tôi đã sử dụng danh tính và thực tế . Trung bình quỹ đạo của các biểu thức này được xem xét trong phần phụ lục dưới đây. Nếu cuối cùng chúng ta kết hợp mọi thứ lại với nhau, chúng ta sẽ nhận được với [ đã sửa lại ] Đây là một vòng quay của periapse trong mặt phẳng của quỹ đạo với tần số góc. Đặc biệt

a \land (b \land c) = (a \cdot c) b - (a \cdot b) c

$\boldsymbol{a}\wedge(\boldsymbol{b}\wedge\boldsymbol{c})=(\boldsymbol{a}{\cdot}\boldsymbol{c})\boldsymbol{b}-(\boldsymbol{a}{\cdot}\boldsymbol{b})\boldsymbol{c}$

r \cdot a = 0

$\boldsymbol{r}{\cdot}\boldsymbol{a}=0$

\dot{e} = ω \land e

$\dot{\boldsymbol{e}}=\boldsymbol{\omega}\wedge\boldsymbol{e}$

ω = Ω K \frac{v_{c}^{2}}{c^{2}} (1 - e^{2})^{- 1} \hat{h} .

$\boldsymbol{\omega}=\Omega K \frac{v_c^2}{c^2} (1-e^2)^{-1}\, \hat{\boldsymbol{h}}.$

ω = | ω |

$\omega=|\boldsymbol{\omega}|$

⟨ e \dot{e} ⟩ = ⟨ e \cdot \dot{e} ⟩ = 0

$\langle e\dot{e}\rangle=\langle\boldsymbol{e}{\cdot}\dot{\boldsymbol{e}}\rangle=0$ phù hợp với kết quả tìm kiếm trước đây của chúng tôi.

Đừng quên rằng do chúng tôi sử dụng lý thuyết nhiễu loạn bậc một, những kết quả này chỉ đúng hoàn toàn trong giới hạn . Tuy nhiên, tại lý thuyết nhiễu loạn bậc hai, cả và / hoặc có thể thay đổi. Trong các thí nghiệm số của bạn, bạn sẽ thấy rằng những thay đổi quỹ đạo-trung bình của và là một trong hai zero hoặc quy mô mạnh hơn tuyến tính với nhiễu loạn biên độ . $K(v_c/c)^2\to0$ $a$ $e$ $a$ $e$ $K$

từ chối trách nhiệm Không đảm bảo rằng đại số là chính xác. Kiểm tra nó!

Phụ lục: trung bình quỹ đạo

Trung bình quỹ đạo của với hàm abitrary (nhưng có thể tích hợp) có thể được tính trực tiếp cho bất kỳ loại quỹ đạo định kỳ nào. Đặt là đối kháng của , tức là , thì trung bình quỹ đạo là: với chu kỳ quỹ đạo. $v_rf(r)$ $f(r)$ $F(r)$ $f(r)$ $F'\!=f$

⟨ v_{r} f (r) ⟩ = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} v_{r} (t) f (r (t)) d t = \frac{1}{T} {[F (r (t))]}_{0}^{T} = 0

$\langle v_r f(r)\rangle = \frac{1}{T}\int_0^T v_r(t)\,f\!\left(r(t)\right) \mathrm{d}t = \frac{1}{T} \left[F\left(r(t)\right)\right]_0^T = 0$

T

$T$

Đối với mức trung bình quỹ đạo cần có trong , chúng ta phải đào sâu hơn một chút. Đối với quỹ đạo hình elip Keplerian với vectơ lệch tâm và một vectơ vuông góc với và . Ở đây, là dị thường lệch tâm, có liên quan đến dị thường trung bình thông qua sao cho $\langle\dot{\boldsymbol{e}}\rangle$

r = a ((\cos η - e) \hat{e} + \sqrt{1 - e^{2}} \sin η \hat{k}) and r = a (1 - e \cos η)

$\boldsymbol{r}=a\left((\cos\eta-e)\hat{\boldsymbol{e}}+\sqrt{1-e^2}\sin\eta\,\hat{\boldsymbol{k}}\right)\qquad\text{and}\qquad r=a(1-e\cos\eta)$

e

$\boldsymbol{e}$

\hat{k} \equiv \hat{h} \land \hat{e}

$\hat{\boldsymbol{k}}\equiv\hat{\boldsymbol{h}}\wedge\hat{\boldsymbol{e}}$

e

$\boldsymbol{e}$

h

$\boldsymbol{h}$

η

$\eta$

ℓ

$\ell$

ℓ = η - e \sin η,

$\ell=\eta-e\sin\eta,$

d ℓ = (1 - e \cos η) d η

$\mathrm{d}\ell=(1-e\cos\eta)\mathrm{d}\eta$ và trung bình quỹ đạo trở thành Lấy đạo hàm thời gian (lưu ý rằng tần số quỹ đạo) của , chúng tôi tìm thấy vận tốc quỹ đạo tức thời (không bị xáo trộn) trong đó tôi đã giới thiệu , tốc độ của quỹ đạo tròn với trục semimajor . Từ đó, chúng ta tìm thấy vận tốc hướng tâm

⟨ \cdot ⟩ = (2 π)^{- 1} \int_{0}^{2 π} \cdot d ℓ = (2 π)^{- 1} \int_{0}^{2 π} \cdot (1 - e \cos η) d η .

$\langle\cdot\rangle = (2\pi)^{-1}\int_0^{2\pi}\cdot\;\mathrm{d}\ell = (2\pi)^{-1}\int_0^{2\pi}\cdot\;(1-e\cos\eta)\mathrm{d}\eta.$

\dot{ℓ} = Ω = \sqrt{G M / a^{3}}

$\dot{\ell}=\Omega=\sqrt{GM/a^3}$

r

$\boldsymbol{r}$

v = v_{c} \frac{\sqrt{1 - e^{2}} \cos η \hat{k} - \sin η \hat{e}}{1 - e \cos η}

$\boldsymbol{v}=v_c\frac{\sqrt{1-e^2}\cos\eta\,\hat{\boldsymbol{k}}-\sin\eta\,\hat{\boldsymbol{e}}}{1-e\cos\eta}$

v_{c} \equiv Ω a = \sqrt{G M / a}

$v_c\equiv\Omega a=\sqrt{GM/a}$

a

$a$

v_{r} = \hat{r} \cdot v = v_{c} e \sin η (1 - e \cos η)^{- 1}

$v_r=\hat{\boldsymbol{r}}{\cdot}\boldsymbol{v}=v_c e\sin\eta(1-e\cos\eta)^{-1}$ và tốc độ quay

v_{t} = v_{c} \frac{\sqrt{1 - e^{2}} (\cos η - e) \hat{k} - (1 - e^{2}) \sin η \hat{e}}{(1 - e \cos η)^{2}} .

$\boldsymbol{v}_t = v_c\frac{\sqrt{1-e^2}(\cos\eta-e)\,\hat{\boldsymbol{k}}-(1-e^2)\sin\eta\,\hat{\boldsymbol{e}}}{(1-e\cos\eta)^2}.$

Với những điều này, chúng tôi đã [ sửa lại ] đặc biệt, các thành phần theo hướng trung bình bằng không. Do đó [ sửa lại ]

⟨ \frac{h^{2} v_{r} r}{r^{4}} ⟩ = Ω v_{c}^{2} \hat{k} \frac{e (1 - e^{2})^{3 / 2}}{2 π} \int_{0}^{2 π} \frac{\sin^{2} η}{(1 - e \cos η)^{4}} d η = \frac{Ω v_{c}^{2} e}{2 (1 - e^{2})} \hat{k} ⟨ \frac{v_{r}^{2} v_{t}}{r} ⟩ = Ω v_{c}^{2} \hat{k} \frac{e^{2} (1 - e^{2})^{1 / 2}}{2 π} \int_{0}^{2 π} \frac{\sin^{2} η (\cos η - e)}{(1 - e \cos η)^{4}} d η = 0,

$\left\langle \frac{h^2v_r\boldsymbol{r}}{r^4}\right\rangle = \Omega v_c^2\,\hat{\boldsymbol{k}}\, \frac{e(1-e^2)^{3/2}}{2\pi}\int_0^{2\pi}\frac{\sin^2\!\eta}{(1-e\cos\eta)^4}\mathrm{d}\eta =\frac{\Omega v_c^2e}{2(1-e^2)}\hat{\boldsymbol{k}} \\ \left\langle \frac{v_r^2\boldsymbol{v}_t}{r}\right\rangle = \Omega v_c^2\, \hat{\boldsymbol{k}}\, \frac{e^2(1-e^2)^{1/2}}{2\pi}\int_0^{2\pi}\frac{\sin^2\!\eta(\cos\eta-e)}{(1-e\cos\eta)^4}\mathrm{d}\eta=0,$

\hat{e}

$\hat{\boldsymbol{e}}$

⟨ 2 \frac{h^{2} v_{r} r}{r^{4}} - \frac{v_{r}^{2} v_{t}}{r} ⟩ = \frac{Ω v_{c}^{2} e \hat{k}}{(1 - e^{2})}

$\left\langle 2\frac{h^2v_r\boldsymbol{r}}{r^4}-\frac{v_r^2\boldsymbol{v}_t}{r}\right\rangle =\frac{\Omega v_c^2e\,\hat{\boldsymbol{k}}}{(1-e^2)}$

— Walter
nguồn

Bình luận không dành cho thảo luận mở rộng; cuộc trò chuyện này đã được chuyển sang trò chuyện .

— gọi là 2voyage