Tỷ lệ chính xác của Newton với các hiệu ứng hấp dẫn tương đối tính tương đối cho hệ mặt trời quỹ đạo đơn hành tinh +

Đối với một hệ quỹ đạo giả định (Mặt trời + hành tinh đơn), mô hình Newton và mô hình Tương đối tổng quát (GR) tạo ra các biểu thức khác nhau cho hiệu ứng hấp dẫn của Mặt trời trên hành tinh. Điều này là nổi tiếng.

Tỷ lệ giữa các hiệu ứng Newton và GR được thể hiện theo những cách khác nhau bởi các nhà văn khác nhau.

Tôi gặp khó khăn trong việc điều hòa hai biểu thức như vậy của tỷ lệ Newton: GR.

Thứ nhất Walter (2008) (phương trình 12.7.6, trang 482) trình bày biểu thức sau cho phương trình chuyển động được tạo ra từ mô hình GR

\frac{d^{2} u}{d θ^{2}} + u = \frac{G M}{h^{2}} + \frac{3 G M}{c^{2}} u^{2}

$\frac{d^2\,u}{d\theta^2} + u = \frac{GM}{h^2} + \frac{3GM}{c^2}u^2$ Ở đâu

u = (1 / r)

$u= (1/r)$ ,

h = v r

$h=vr$ ,

G

$G$ là hằng số phổ quát của trọng lực,

M

$M$ là khối lượng của Mặt trời,

c

$c$ là tốc độ ánh sáng. Đây là thuật ngữ

G M / h^{2}

$GM/h^2$ là thuật ngữ Newton thông thường và thuật ngữ

3 G M u^{2} / c^{2}

$3GMu^2/c^2$ là thuật ngữ bổ sung được giới thiệu bởi GR.

Từ đó Walter rút ra tỷ lệ gần đúng giữa các hiệu ứng Newton và GR như $(1)$ đến $(1 + 3v^2/c^2)$ Ở đâu $v = \sqrt{GM/r}$ là tốc độ quỹ đạo của hành tinh theo quỹ đạo tròn (có khoảng cách $r$ = = $a$ , trục bán chính).

Thứ hai, một bài thuyết trình thay thế (đề cập đến cái gọi là giải pháp Schwartzchild) được Goldstein đưa ra trong Cơ học cổ điển (Ấn bản thứ 3) trang 536-538. Tiềm năng GR $V_{GR}$ được đưa ra bởi

V = - \frac{G M m}{r} - \frac{b}{r^{3}}

$V = -\frac{GMm}{r} -\frac{b}{r^3}$ Ở đâu

m

$m$ là khối lượng cơ thể đích và

b

$b$ là một hằng số (Goldstein sử dụng

h

$h$ thay vì

b

$b$ , xem bên dưới, nhưng tôi đã sử dụng

h

$h$ có nghĩa là một cái gì đó khác nhau trong Walter ở trên,)

phân biệt tiềm năng liên quan đến khoảng cách $r$ để cung cấp cho lực lượng chúng tôi rút ra

F_{G R} = \frac{G M m}{r^{2}} + \frac{3 b}{r^{4}}

$F_{GR} = \frac{GMm}{r^2} + \frac{3b}{r^4}$

Bây giờ Goldstein định nghĩa hằng số $b$ do đó: -

b = \frac{k l^{2}}{m^{2} c^{2}} Goldstein eqtn [12.48]

$b = \frac{k\,l^2}{m^2c^2} \qquad\text{ Goldstein eqtn [12.48]}$ Ở đâu

k = G M m

$k=GMm$ và

l^{2} = m k a (1 - e^{2}) Goldstein eqtn[12.50]

$l^2 = mka(1-e^2) \qquad\text{ Goldstein eqtn[12.50]}$

Vì thế

b = \frac{G M m m G M m a (1 - e^{2})}{m^{2} c^{2}} = \frac{G M m L^{2}}{c^{2}} = \frac{G M m m^{2} v_{c}^{2} a^{2}}{c^{2}}

$b = \frac{GMm\, m\, GMm\, a(1-e^2)}{m^2c^2} = \frac{GMm \, L^2}{c^2} = \frac{GMm \,m^2 v_c^2 a^2}{c^2}$

Vậy phương trình lực GR trở thành

F_{G R} = \frac{G M m}{r^{2}} + \frac{3 G M m m^{2} v_{c}^{2} a^{2}}{r^{4} c^{2}}

$F_{GR} = \frac{GMm}{r^2} + \frac{3GMm m^2 v_c^2 a^2}{r^4c^2}$ thay thế

a

$a$ bởi

r

$r$ chúng tôi nhận được

F_{G R} = \frac{G M m}{r^{2}} + \frac{3 G M m m^{2} v_{c}^{2}}{r^{2} c^{2}} = \frac{G M m}{r^{2}} (1 + \frac{3 v_{c}^{2} m^{2}}{c^{2}})

$F_{GR} = \frac{GMm}{r^2} + \frac{3GMm m^2 v_c^2}{r^2c^2} = \frac{GMm}{r^2} \left( 1 + \frac{3 v_c^2 \, m^2}{c^2} \right)$

Vì vậy, tỷ lệ Newton: GR có nguồn gốc từ Goldstein giống như tỷ lệ xuất phát từ Walter ngoại trừ việc tỷ lệ trước có thuật ngữ bổ sung là $m^2$ trong tử số. Ngay cả khi chúng tôi cố gắng làm mờ số này bằng cách gọi một mục tiêu khối lượng đơn vị, nó vẫn sẽ không chính xác về kích thước.

Vậy tỷ lệ chính xác là gì?

CẬP NHẬT ------------------------------------------------- --------------------

Trong tái cấu trúc của $b$ Tôi đã sử dụng động lượng góc $L$ khi tôi nên sử dụng động lượng góc cụ thể $\mathfrak{l}$ . Sau khi sửa chữa thêm $m^2$ biến mất Goldstein đồng ý với Walter. Tôi cảm ơn Stan Liou vì đã chiếu sáng.

Phân tích chính xác: -

b = \frac{G M m m G M m a (1 - e^{2})}{m^{2} c^{2}} = \frac{G M m l^{2}}{c^{2}} = \frac{G M m v_{c}^{2} a^{2}}{c^{2}}

$b = \frac{GMm\, m\, GMm\, a(1-e^2)}{m^2c^2} = \frac{GMm \, \mathfrak{l}^2}{c^2} = \frac{GMm \,v_c^2 a^2}{c^2}$

Vậy phương trình lực GR trở thành

F_{G R} = \frac{G M m}{r^{2}} + \frac{3 G M m v_{c}^{2} a^{2}}{r^{4} c^{2}}

$F_{GR} = \frac{GMm}{r^2} + \frac{3GMm v_c^2 a^2}{r^4c^2}$ thay thế

a

$a$ bởi

r

$r$ chúng tôi nhận được

F_{G R} = \frac{G M m}{r^{2}} + \frac{3 G M m v_{c}^{2}}{r^{2} c^{2}} = \frac{G M m}{r^{2}} (1 + \frac{3 v_{c}^{2}}{c^{2}})

$F_{GR} = \frac{GMm}{r^2} + \frac{3GMm v_c^2}{r^2c^2} = \frac{GMm}{r^2} \left( 1 + \frac{3 v_c^2}{c^2} \right)$

Vậy tỷ lệ chính xác của lực hấp dẫn Newton và GR là: -

F_{N e w t o n i a n} : F_{G R} \approx 1 : (1 + \frac{3 v_{c}^{2}}{c^{2}})

$F_{Newtonian}:F_{GR} \approx 1: \left( 1 + \frac{3 v_c^2}{c^2} \right)$

GHI CHÚ

Tỷ lệ này là gần đúng và chỉ áp dụng trong miền con "vận tốc thấp, trường yếu" của mô hình GR.

Goldstein cũng nhấn mạnh rằng hiệu ứng GR không phải là hiệu ứng vận tốc (có lẽ như trong vận tốc của cơ thể mục tiêu thông qua bất kỳ loại Ether hoặc thông lượng nào).

Thật trùng hợp (trong cùng một miền phụ, ví dụ Sao Thủy quay quanh Mặt trời), một lực hướng tâm của Newton bị biến đổi về cường độ $f=GMm/r^2 * [1 + 3v_t^2/c^2]$ , Ở đâu $v_t$ là vận tốc ngang tức thời của một hành tinh mục tiêu nhỏ, tạo ra vòng quay apsidal phi Newton ("suy đoán perihelion") có cùng độ lớn (trong vòng 1%) như GR.

Goldstein cần được đọc một cách cẩn thận. Ở đây anh ấy dùng $l$ để biểu thị động lượng góc ở nơi khác (ví dụ eqtn [1.7]) anh ta sử dụng $L$ . Ông thường nhắc đến $V$ là "tiềm năng" khi anh ấy đề cập rõ ràng đến "năng lượng tiềm năng" (ví dụ eqtn [3,49]).

orbit general-relativity

— steveOw
nguồn

Không có một "tỷ lệ" cụ thể nào. Nếu đó là tất cả để có thuyết tương đối rộng, GR sẽ dễ dàng. GR không "dễ". Mối quan hệ được đăng trong câu hỏi này có lẽ là đơn giản nhất của tuyến tính hóa đơn giản của thuyết tương đối rộng.

— David Hammen

David tất nhiên đúng ở chỗ loại so sánh này chỉ có ý nghĩa đối với các quỹ đạo chậm trong một xấp xỉ trường yếu, mặc dù may mắn thay đó cũng là bối cảnh của câu hỏi này. Có thể lưu ý rằng đối với trường hợp cụ thể của không thời gian Schwarzschild, quỹ đạo được mô tả chính xác bởi tiềm năng hiệu quả; phép tính gần đúng xuất hiện khi người ta xử lý tọa độ hướng tâm và thời gian thích hợp như thể chúng là Newton, không hợp lệ trong các tình huống chung hơn.

— Stan Liou

David & Stan: Cảm ơn. Có, tôi đã biết nhưng đã thêm làm rõ vào cuối Câu hỏi.

— steveOw

Câu trả lời:

Các quỹ đạo trong không thời gian Schwarzschild có thể được mô tả bằng tiềm năng hiệu quả

V_{eff} = - \frac{G M}{r} + \frac{l^{2}}{2 r^{2}} - \frac{G M l^{2}}{c^{2} r^{3}},

$V_\text{eff} = -\frac{GM}{r} + \frac{\mathfrak{l}^2}{2r^2} - \frac{GM\mathfrak{l}^2}{c^2r^3}\text{,}$ Ở đâu

l = r^{2} \dot{ϕ}

$\mathfrak{l} = r^2\dot{\phi}$ là động lượng góc cụ thể của quỹ đạo, là một đại lượng bảo toàn. Hai thuật ngữ đầu tiên phù hợp với dạng tiềm năng hiệu quả của Newton, ngoại trừ ở đây chúng ta đang đề cập đến tọa độ xuyên tâm Schwarzschild

r

$r$ và thời gian thích hợp của hạt quay quanh, thay vì khoảng cách xuyên tâm và thời gian phối hợp. Thuật ngữ đầu tiên là tiềm năng hấp dẫn thông thường và thứ hai là tiềm năng ly tâm, vì vậy Goldstein

V

$V$ thay vào đó, có ý nghĩa như một thuật ngữ năng lượng hấp dẫn.

Vì thế, $l^2 = mka(1-e^2)$ với $k = GMm$ có nghĩa là $l$ là động lượng góc, $l = m\mathfrak{l}$ và

\frac{G M l^{2}}{c^{2} r^{3}} m = G M m \frac{l^{2}}{m^{2}} \frac{1}{c^{2} r^{3}} = \underset{b}{\underset{⏟}{\frac{k l^{2}}{m^{2} c^{3}}}} \frac{1}{r^{3}},

$\frac{GM\mathfrak{l}^2}{c^2r^3}m = GMm\frac{l^2}{m^2}\frac{1}{c^2r^3} = \underbrace{\frac{kl^2}{m^2c^3}}_b\frac{1}{r^3}\text{,}$ đúng như Goldstein nói. Nếu chúng ta phân biệt

\frac{1}{2} m {\dot{r}}^{2} + m V_{eff} = E

$\frac{1}{2}m\dot{r}^2 + mV_\text{eff} = \mathcal{E}$ đối với thời gian thích hợp, sau đó

\begin{array}{rcl} m \ddot{r} - \frac{l^{2}}{m r^{3}} & = & - \frac{k}{r^{2}} - \frac{3 b}{r^{4}} \\ = & - \frac{k}{r^{2}} (1 + 3 \frac{l^{2}}{m^{2} c^{2}} \frac{1}{r^{2}}) \\ = & - \frac{k}{r^{2}} (1 + 3 \frac{m (G M m) a (1 - e^{2})}{m^{2} c^{2}} \frac{1}{r^{2}}) \\ = & - \frac{k}{r^{2}} (1 + 3 \frac{v_{c}^{2}}{c^{2}} \frac{a (1 - e^{2})}{r}) . \end{array}

$\begin{eqnarray*}m\ddot{r} - \frac{l^2}{mr^3} &=& -\frac{k}{r^2} - \frac{3b}{r^4}\\ &=& -\frac{k}{r^2}\left(1 + 3\frac{l^2}{m^2c^2}\frac{1}{r^2}\right)\\ &=& -\frac{k}{r^2}\left(1 + 3\frac{m(GMm)a(1-e^2)}{m^2c^2}\frac{1}{r^2}\right)\\ &=& -\frac{k}{r^2}\left(1 + 3\frac{v_c^2}{c^2}\frac{a(1-e^2)}{r}\right)\text{.} \end{eqnarray*}$ Điều này là chính xác, vì cả hai

v_{c} / c

$v_c/c$ và

a / r

$a/r$ là không thứ nguyên, trong khi

\frac{l^{2}}{m r^{3}} = \frac{k}{r^{2}} \frac{a (1 - e^{2})}{r} .

$\frac{l^2}{mr^3} = \frac{k}{r^2}\frac{a(1-e^2)}{r}\text{.}$ Phía bên tay trái có dạng Newton.

— Stan Liou
nguồn

ℓ

$\ell$ có chiều

M D^{2} / T

$MD^2/T$ do bao gồm

k = G M m

$k=GMm$ trong phương trình 12,50. Có lẽ Eqtn.12.48 cho

b

$b$ nên có

m^{4}

$m^4$ ở mẫu số hơn là

m^{2}

$m^2$ ?

— steveOw

Aha! Tôi thấy lỗi là của tôi. Tôi nhầm lẫn động lượng góc với động lượng góc cụ thể (không có khối lượng). Goldstein đồng ý với Walter. Của anh ấy

ℓ^{2}

$\ell^2$ là thứ hai

m

$m$ xuất phát từ thuật ngữ

k = G M m

$k=GMm$ .

— steveOw

@steveOw yeah, tôi đã đọc sai cách các biến được định nghĩa quá. Hở!

— Stan Liou

Tôi nghĩ phương trình cuối cùng của bạn nhưng người ta nên có (a ^ 2 / r ^ 2) thay vì (a / r) giả sử phương trình trước đó là đúng. Dù bằng cách nào, bất kỳ sự hiện diện nào của r trong thuật ngữ này đều bác bỏ luận điểm của tôi ... mà bây giờ tôi đang đánh giá lại .... Tôi có thể hỏi một câu hỏi riêng để làm rõ suy nghĩ của mình.

— steveOw

@steveOw Kể từ khi

l^{2} / m^{2} = G M a (1 - e^{2})

$l^2/m^2 = GMa(1-e^2)$ như được giới thiệu ở đầu đoạn thứ hai (cũng xem ở đây nhưng với

m ≪ M

$m\ll M$ ),

a / r

$a/r$ đúng. Nhưng bạn rất sẵn lòng hỏi bất kỳ câu hỏi tiếp theo nào.

— Stan Liou

Biểu thức được NASA / JPL sử dụng để ước tính các hiệu ứng tương đối tính trên quỹ đạo của một hành tinh duy nhất cộng với Mặt trời trong hệ mặt trời của chúng ta được gọi là " sự mở rộng sau thời Newton " và trông giống như:

\frac{d \bar{v}}{d t} = - \frac{G M}{r^{2}} (1 - \frac{4 G M}{r c^{2}} + \frac{v^{2}}{c^{2}}) \hat{r} + \frac{4 G M}{r^{2}} (\hat{r} \cdot \hat{v}) \frac{v^{2}}{c^{2}} \hat{v}

$\frac{d\bar{v}}{dt}=-\frac{GM}{r^2}\left(1-\frac{4GM}{rc^2}+\frac{v^2}{c^2}\right)\hat{r} +\frac{4GM}{r^2}\left(\hat{r}\cdot \hat{v}\right)\frac{v^2}{c^2}\hat{v}$

Nếu có nhiều hành tinh thì biểu thức trở nên phức tạp hơn. Bạn có thể so sánh điều này với gia tốc Newton cổ điển:

\frac{d \bar{v}}{d t} = - \frac{G M}{r^{2}} \hat{r}

$\frac{d\bar{v}}{dt}=-\frac{GM}{r^2}\hat{r}$

Tôi không phải là một fan hâm mộ lớn của sự gần đúng này nhưng nó là thứ được sử dụng nhiều nhất.

Đối với quỹ đạo tròn thuần trong tọa độ Schwarzschild, bạn có cùng vận tốc quỹ đạo tính theo GR (theo thời gian tọa độ) như kinh điển.

Tôi bạn đang thả một vật thể khỏi phần còn lại gia tốc ban đầu trong GR (trong thời gian tọa độ) giống như kinh điển.

Nói chung nếu bạn muốn biết liệu GR hoặc trọng lực Newton cổ điển dẫn đến tăng tốc nhiều hơn, bạn phải quyết định xem bạn có quan tâm đến kết quả trong "thời gian phối hợp" hay "thời gian thích hợp" hay không và phân số cũng sẽ thay đổi tùy theo hướng hành tinh đang chuyển động so với Mặt trời.

— Agerhell
nguồn