Điều gì quyết định cấu hình quỹ đạo trong hệ thống nhị phân?

Về cơ bản có hai cấu hình quỹ đạo mà một hệ thống có hai cơ thể có thể có:

Một cấu hình trong đó các đường dẫn không giao nhau:

Một cấu hình trong đó các đường dẫn chéo:

Lưu ý: Kích thước của các cơ thể so với nhau là không quan trọng ở đây.

Điều gì quyết định cấu hình nào trong hai cấu hình mà một hệ thống nhị phân sẽ phát triển thành?

Theo quy ước , , trong khung trung tâm mà chúng ta có, theo định nghĩa, Do đó, ngụ ý rằng các quỹ đạo riêng lẻ là các phần hình nón tương tự trong khung này và hơn thế nữa trong trường hợp bị ràng buộc, chúng là các hình elip có chung một tiêu điểm ở trung tâm khối lượng, với cả ba tiêu điểm riêng biệt được đặt thẳng hàng và với tâm giữa chúng. Mặc dù có một trường hợp suy biến của quỹ đạo tròn.$\mathbf{r} = \mathbf{r}_2-\mathbf{r}_1$$M = m_1+m_2$

$$\begin{eqnarray*}\mathbf{r}_1 = -\frac{m_2}{M}\mathbf{r}\text{,}\quad&\mathbf{r}_2 = \frac{m_1}{M}\mathbf{r}\text{.}\end{eqnarray*}$$ $\ddot{\mathbf{r}} = -GM\hat{\mathbf{r}}/r^2$

Do đó, có một điều kiện đơn giản về mặt hình học cho cấu hình giao nhau: có giao điểm nếu và chỉ khi, khoảng cách đến apoapsis của khối lượng lớn hơn (quỹ đạo nhỏ hơn) lớn hơn hoặc bằng khoảng cách với periapsis của khối lượng nhỏ hơn (quỹ đạo lớn hơn ). Vì hình elip chung trong tọa độ cực về một tiêu điểm có thể được mô tả bởi trong đó là độ lệch tâm và các quỹ đạo riêng lẻ tỷ lệ thuận, chúng ta có giao điểm nếu và chỉ khi, khi các apside xảy ra khi thuật ngữ cosin là .

$$r = \frac{p}{1+e\cos(\phi-\phi_0)}\text{,}$$ $e$ $$\frac{1-e}{1+e}\leq \frac{m_1}{m_2}\leq\frac{1+e}{1-e}\text{,}$$ $\pm 1$