Tính góc nghiêng cho một góc nhất định trong quỹ đạo của một hành tinh?

Bối cảnh là tôi đang cố gắng viết một chương trình máy tính để hiển thị ở những góc nào mà mỗi hành tinh có thể được nhìn thấy đang di chuyển trước mặt trời từ một người quan sát bên ngoài hệ mặt trời của chúng ta. Kết cục của tôi là tính toán tỷ lệ phần trăm tương đối của bầu trời có thể thấy bất kỳ nhóm hành tinh nào đang di chuyển cùng nhau. Ví dụ, theo hướng Trái đất đến từ mặt trời vào tháng 6 và tháng 12, một người quan sát ngoài hành tinh có thể nhìn thấy quá cảnh Trái đất cũng có thể nhìn thấy sao Kim đi qua, nhưng từ góc độ Trái đất vào tháng 9 hoặc tháng 3 họ sẽ không thể nhìn thấy Sao Kim quá cảnh.

Tôi đã viết một chương trình sử dụng các số liệu thống kê cơ bản và quỹ đạo tròn để kiểm tra ý tưởng, nhưng tôi muốn làm cho nó mạnh mẽ hơn bằng cách sử dụng các quỹ đạo hình elip thực tế và tôi gặp sự cố. Đối với các quỹ đạo tròn có mặt trời ở trung tâm, tôi chỉ có thể lấy độ nghiêng của quỹ đạo Trái đất nhân sinvới kinh độ quan sát so với kinh độ tăng dần.

double viewingLongitude = longitudeRadians - LongitudeOfAscent;
double planetAngle = Inclination * Math.Sin(viewingLongitude);

Chẳng hạn, quỹ đạo của Trái đất có độ nghiêng 1,57 độ và kinh độ đi lên ở mức 349,74 độ. Ở mức 348,74 độ và 168,74 độ Trái đất sẽ có độ nghiêng thực tế là 0 độ. Ở 78,74 độ và 158,74 độ Trái đất sẽ có độ nghiêng thực tế là 1,57 và -1,57 độ so với mặt phẳng.

Có cách nào tương tự dễ dàng để tôi có thể tính toán độ nghiêng đó cho quỹ đạo hình elip của Trái đất hay tôi sẽ phải giải phương trình của Kepler?

orbit

— Jason Goemaat
nguồn

Tôi có thể thiếu một cái gì đó, nhưng bạn đang sử dụng mặt phẳng nào làm mặt phẳng cơ sở của bạn (không phải mặt phẳng quỹ đạo / mặt phẳng của Trái đất, vì độ nghiêng của Trái đất đối với nhật thực là 0 theo định nghĩa). Người quan sát của bạn có thể chọn để vượt lên trên hoặc đi dưới mặt phẳng này không?

— barrycarter

Bất kỳ mặt phẳng nào cũng được, nhưng tôi đang sử dụng mặt phẳng bất biến vì đó là những khuynh hướng tôi tìm thấy. Điều tôi đang tìm kiếm là phạm vi góc lên / xuống nơi có thể nhìn thấy nhiều hành tinh. Định hướng thực tế đối với phần còn lại của vũ trụ không thành vấn đề, chỉ liên quan đến các hành tinh khác. Tôi chỉ muốn biết khi các góc nhìn trùng nhau.

— Jason Goemaat

Nói tóm lại, không, bạn không phải giải phương trình của Kepler. Nếu bạn xác định kinh độ xem và bạn biết toàn bộ các yếu tố quỹ đạo Keplerian, bạn có thể tính toán nếu một hành tinh sẽ hiển thị quá cảnh.

Trước tiên, hãy để tôi làm rõ một số biệt ngữ. Độ nghiêng thuật ngữ được dành riêng cho góc giữa mặt phẳng quỹ đạo và mặt phẳng tham chiếu. Vì vậy, trừ khi toàn bộ quỹ đạo đang chao đảo (ví dụ do suy đoán trước), độ nghiêng sẽ không đổi đối với tất cả các vị trí của hành tinh.

Góc thay đổi khi hành tinh di chuyển qua mặt phẳng tham chiếu là vĩ độ. Tuy nhiên, trong vấn đề cụ thể này, việc tính toán vĩ độ không đặc biệt hữu ích. Tọa độ thực tế hơn để xem xét là chiều cao của hành tinh cách xa máy bay, tôi sẽ gọi đây là $r_z$ . Nếu dọc theo đường ngắm của bạn, bạn sẽ thấy $r_z$ nhỏ hơn bán kính mặt trời, hành tinh sẽ hiển thị quá cảnh.

Việc tạo ra một quỹ đạo hình elip hoàn toàn tổng quát theo 3 chiều có phần khó khăn, vì vậy tôi sẽ bắt đầu với một hệ tọa độ Cartesian đơn giản thẳng hàng với mặt phẳng quỹ đạo. Trong các bước tiếp theo, tôi làm việc theo cách của mình bằng cách sử dụng một số phép biến đổi tọa độ.

Đầu tiên một danh sách các tham số Kepler và ý nghĩa của chúng:

$\nu$ - dị thường thực sự - Vị trí góc đối với perigee trong mặt phẳng quỹ đạo.
$\omega$ - đối số của periapsis - Vị trí góc của perigee đối với nút tăng dần trong mặt phẳng quỹ đạo.
$\lambda_{asc}$ - kinh độ của nút tăng dần trong mặt phẳng bất biến ( $\Omega$ trong hình).
$i$ - độ nghiêng - góc giữa mặt phẳng quỹ đạo và mặt phẳng bất biến, sao cho $\lambda_{asc}$ cho trục quay.

nhập mô tả hình ảnh ở đây

Bây giờ, trong mặt phẳng quỹ đạo, bán kính của quỹ đạo hành tinh được cho là

r (ν) = \frac{a (1 - e^{2})}{1 + e \cos (ν)}

$r(\nu) = \frac{a(1-e^2)}{1+e\cos(\nu)}$ Nếu tôi xác định trục x để căn chỉnh với nút tăng dần, tôi có thể viết vectơ vị trí là

{\vec{r}}_{o r b} = r (ν) [\begin{matrix} \cos (ω + ν) \\ \sin (ω + ν) \\ 0 \end{matrix}]

$\vec{r}_{orb} = r(\nu) \begin{bmatrix} \cos(\omega+\nu) \\ \sin(\omega+\nu) \\ 0 \end{bmatrix}$

Để di chuyển đến một hệ tọa độ Descartes liên kết với các máy bay không thay đổi tôi phải áp dụng một vòng xoay góc về trục x, vì vậy Vì vậy, bây giờ tôi có một biểu thức cho , tôi chỉ cần biết liên quan đến kinh độ của hành tinh trong mặt phẳng bất biến, . $i$

\vec{r} = R_{x} (i) {\vec{r}}_{o r b} = r (ν) [\begin{matrix} \cos (ω + ν) \\ \sin (ω + ν) \cos (i) \\ \sin (ω + ν) \sin (i) \end{matrix}]

$\vec{r} = R_x(i)\vec{r}_{orb}= r(\nu) \begin{bmatrix} \cos(\omega+\nu) \\ \sin(\omega+\nu)\cos(i) \\ \sin(\omega+\nu)\sin(i) \end{bmatrix}$

r_{z}

$r_z$

ν

$\nu$

λ_{p l a n e t}

$\lambda_{planet}$

Tôi có thể tìm thấy kinh độ của hành tinh so với là sao cho kinh độ thực tế là Đảo ngược biểu thức cuối cùng này sẽ cho $\lambda_{asc}$

λ_{p l a n e t}^{'} = \arctan (\frac{r_{y}}{r_{x}})

$\lambda'_{planet} = \arctan( \frac{r_y}{r_x} )$

λ_{p l a n e t} = λ_{a s c} + λ_{p l a n e t}^{'}

$\lambda_{planet} = \lambda_{asc} + \lambda'_{planet}$

ν (λ) = \arctan (\frac{\tan (λ - λ_{a s c})}{\cos (i)}) - ω

$\nu(\lambda) = \arctan( \frac{\tan(\lambda - \lambda_{asc})}{\cos(i)} ) - \omega$

Bây giờ tôi có tất cả các phương trình để trả lời câu hỏi: Nếu hành tinh nằm dọc theo đường ngắm của người quan sát, thì có một sự bất thường thực sự của , cho chiều cao trên mặt phẳng Nếu hành tinh có thể được nhìn thấy trong quá cảnh. $\nu(\lambda_{obs})$

r_{z} (ν) = r (ν) \sin (ω + ν) \sin (i)

$r_z(\nu) = r(\nu)\sin(\omega+\nu)\sin(i)$

| r_{z} | < R_{s u n}

$|r_{z}| < R_{sun}$

— Michael B.
nguồn