Một vật thể trong không gian cần bao nhiêu khối lượng để giữ một con người trên bề mặt của nó?

Giả sử có một vật thể gần như hình cầu trong không gian như thiên thạch hoặc sao chổi.

Nếu tôi nặng 80kg trên Trái đất, thì cần bao nhiêu khối lượng cho một vật thể trong không gian để tôi có thể ở trên bề mặt của nó mà không "bay đi?" Không cần thiết phải có cùng trọng lực với Trái đất, nhưng tôi tự hỏi khối lượng tối thiểu mà vật thể sẽ cần để nó có lực hấp dẫn có ý nghĩa cho ai đó ở lại trên bề mặt.

Bất kỳ đối tượng có khối lượng (thậm chí bạn) có trọng lực. Lực hấp dẫn lẫn nhau giữa hai đối tượng được cho bởi công thức trong đó hai khối lượng là và và là sự phân tách tâm của chúng khối lượng.

$$F = G \frac{M_1 M_2}{R_{12}^2},$$ $M_1$$M_2$$R_{12}$

Vì vậy, để trả lời câu hỏi của bạn, chúng tôi cần xác định một số loại tham số chỉ định ý của bạn bằng "trọng lực có ý nghĩa".

Một cách để làm điều này là yêu cầu các lực do thủy triều từ Mặt trời lớn hơn lực hấp dẫn giữ bạn trong cơ thể. Ngay cả ở đây mặc dù chúng ta cần đưa ra một giả định về việc vật thể ở cách xa Mặt trời bao xa - hãy để nó là . Bây giờ hãy để khối lượng của bạn là , khối lượng của cơ thể là , bán kính của cơ thể là và khối lượng của Mặt trời là .$r$$m$$M$$R$$M_{\odot}$

Để gắn bó với vật thể khi bạn ở "điểm cực" - tức là cơ thể quay sao cho bạn ở gần Mặt trời nhất, thì chúng tôi yêu cầu

$$G \frac{M m}{R^2} > G \frac{m M_{\odot}}{(r-R)^2} - G\frac{m M_{\odot}}{r^2}$$

Chúng ta có thể giả sử rằng , vì vậy, hủy bỏ và thực hiện mở rộng nhị thức vào giữa kỳ, chỉ giữ hai điều khoản mở rộng đầu tiên: Do đó, điều này đặt giới hạn về mật độ của đối tượng trong câu hỏi $r \gg R$$Gm$

$$\frac{M}{R^{2}} > \frac{M_{\odot}}{r^{2}}(1 + \frac{2R}{r}) - \frac{M_{\odot}}{r^{2}}$$ $$\frac{M}{R^{2}} > 2M_{\odot}\frac{R}{r^3}$$ $$\frac{3M}{4\pi R^3} = \rho > \frac{3}{2\pi} \frac{M_{\odot}}{r^3}$$

Tại , điều này có nghĩa là mật độ chỉ cần vượt quá kg / m , sẽ được thỏa mãn bởi bất kỳ cơ thể rắn nào. Lưu ý: Giới hạn này sẽ là giới hạn mà bạn thực sự sẽ bị kéo lên khỏi bề mặt bởi thủy triều.$r=1\ au$$3 \times 10^{-4}$$^3$

Một yêu cầu nghiêm ngặt hơn có thể là đảm bảo rằng bạn không thể nhảy ra khỏi bề mặt. Trên trái đất, một người bình thường có thể nhảy thẳng đứng khoảng 50 cm. Sử dụng các phương trình gia tốc đồng đều (SUVAT), chúng ta biết , trong đó là gia tốc trọng trường, là chiều cao nhảy và là vận tốc đi lên ban đầu. Điều này cho chúng tôi biết rằng bạn có thể nhảy lên với tốc độ khoảng 3 m / s. Giả sử điều này giống với bất kỳ cơ thể nào khác (thật khó để nói bạn có thể nhảy trong trọng lực thấp hơn nhiều như thế nào), bạn có thể đánh đồng điều này với vận tốc thoát của vật thể, được đưa ra bởi . Do đó, điều này mang lại một ràng buộc .$u^2 = 2g s$$g$$s$$u$$v_{esc} = (2GM/R)^{1/2}$$M/R > u^2/2G$

Nếu chúng ta đặt mật độ thực tế là kg / m cho một tiểu hành tinh, chúng ta có thể thay thế bằng , để nói rằng bạn sẽ có thể nhảy ra một tiểu hành tinh nếu nó nhỏ hơn: Đối với các số được thảo luận, điều này có nghĩa là km và kg .$\rho = 5000$$^{3}$$M$$4\pi R^{3} \rho/3$R<1,8M<1,2×10

$$R < u \left(\frac{3}{8\pi G \rho}\right)^{1/2}$$ $R< 1.8$$M<1.2\times 10^{14}$

Nhiều chi tiết khác tại /physics/46318/is-there-a-small-enough-planet-or-asteroid-you-can-orbit-by-jumping

Ngẫu nhiên, như bạn sẽ nhận thấy, kết quả không phụ thuộc vào khối lượng của bạn .