Đơn giản chỉ cần biết số lượng răng trên một chuỗi, chúng ta có thể xác định đường kính chính xác?

Một chuỗi là một đa giác đều n mặt trong đó n là số răng. Độ dài cạnh s của đa giác là khoảng cách từ đầu đến đỉnh của mỗi răng xích.

Công thức cho bán kính của một đa giác thông thường là:

_{(nguồn: mathopenref.com )}

Sử dụng 12,75mm trên zenbike cho s , chúng tôi nhận được 107,61 cho bán kính, hoặc 215,22mm cho đường kính, rất gần với xấp xỉ của anh ta.

So sánh hai công thức cho thấy thời hạn, như mong đợi, có thể được loại bỏ. Điều này để lại cho chúng tôi:

1 / sin ( pi / n ) so với n / pi

Đối với n lớn , các thuật ngữ đó hội tụ, đưa ra sai số chỉ 0,12mm khi n = 53. Nó lớn hơn một chút khi n nhỏ hơn, khác nhau .64mm với n = 11.

Đối với tất cả các mục đích thực tế, tôi chỉ sử dụng s * n / pi , ngay cả đối với cog nhỏ nhất bạn sẽ bắt gặp nó sẽ nằm trong một milimet.

Nếu bạn chỉ biết độ cao của chuỗi (tiêu chuẩn cho hầu hết các xe đạp) và số răng, thì bạn có thể mô tả đầy đủ vòng tròn (và n-gon) thông qua các trung tâm pin . Tôi sẽ làm hết sức mình để làm các công thức toán học theo cách có thể đọc được bằng văn bản, nhưng tôi sẽ mô tả đầy đủ về bốn vòng tròn / n-gons:

Để cho:

n = số răng

L = chuỗi xích (chiều dài liên kết) (12,7mm đối với hầu hết các xe đạp)

Xem dưới đây cho các phép đo thung lũng, đầu lăn, và đầu răng. Lưu ý rằng ngọn răng có thể khác nhau giữa các nhà sản xuất và sẽ thay đổi trong suốt vòng đời của chiếc nhẫn. Phương pháp thay thế ở phía dưới có lẽ là phương pháp dễ sử dụng nhất để giải phóng khung.

Vì bạn biết cao độ của chuỗi (1/2 "hoặc 12,7mm là chuỗi 40 chuỗi thường được sử dụng trên xe đạp), các chân xích sẽ tạo thành một n-gon thông thường (một đa giác có cạnh n có độ dài bằng nhau) , với mỗi cạnh bằng 12,7mm. Công thức tính chu vi của n-gon này khá đơn giản (bên dưới) và sẽ ổn đối với hầu hết các xấp xỉ. Lưu ý rằng điều này cũng bằng với độ dài chuỗi sẽ được quấn quanh vòng (chuỗi sẽ theo n-gon, không phải vòng tròn).

Chu vi của n-gon được thực hiện bởi các trung tâm pin

Chu vi của n-gon = L * n = 12,7 * n mm

Tuy nhiên, điều này không hoàn toàn chính xác để mô tả vòng tròn thông qua các tâm pin. Các công thức chính xác hơn dưới đây:

Vòng qua các trung tâm pin

chu vi = pi * L / (sin (180 / n)) = 39,8982 / (sin (180 / n)) mm

bán kính = L / (2 sin (180 / n)) = 6,35 / sin (180 / n) mm = 'pcRad' (bán kính trung tâm pin)

đường kính = L / sin (180 / n) = 12,7 / sin (180 / n) mm = 'pcD' (đường kính trung tâm pin)

Bây giờ, chúng ta sẽ cần thêm thông tin để mô tả hai vòng tròn / n-gons liên quan:

Đối với sàn thung lũng và ngọn lăn, chúng ta cần biết bán kính hoặc đường kính của con lăn xích quanh chốt. Theo http://en.wikipedia.org/wiki/Roller_chain , chuỗi 40 chuỗi có đường kính con lăn là 0,312 "(7,92mm). Vì khoảng cách từ tâm pin đến đáy thung lũng là bán kính của con lăn:

Vòng tròn / n-gon về sàn thung lũng

rRad = bán kính lăn (3,96 mm đối với hầu hết các xe đạp)

Chu vi n-gon của các tầng thung lũng = 2 * n * (pcRad - rRad) * sin (180 / n)

= 2n * (pcRad - 3,96) * sin (180 / n) mm

sànRadius = pcRad - rRad = pcRad - 3,96 mm

sànDiameter = 2 * fRad = pcD - 2 * rRad = pcD - 7.92 mm

Vòng tròn / n-gon của đỉnh của con lăn chuỗi

Chu vi n-gon của ngọn lăn = 2 * n * (pcRad + rRad) * sin (180 / n)

= 2n * (pcRad + 3,96) * sin (180 / n) mm

con lănTopRadius = pcRad + rRad = pcRad + 3,96 mm

con lănTopDiameter = 2 * rtRad = pcD + 2 * rRad = pcD + 7.92 mm

rollerTopCircumference = pi * rtD = pi * (pcD + 2 * rRad) = pi * (pcD + 7.92) mm

Bây giờ, để mô tả vòng tròn / n-gon cuối cùng, chúng ta cần chiều cao răng phía trên tâm pin. Tôi hy vọng điều này sẽ tích cực trên một chuỗi vòng mới và tiêu cực trên một vòng đeo:

Vòng tròn / n-gon của đầu răng

t = chiều cao đầu răng trên trung tâm pin (âm nếu dưới)

Chu vi n-gon của đầu răng = 2 * n * (pcRad + t) * sin (180 / n)

tipRadius = pcRad + t

tipDiameter = 2 * tRad = pcD + 2 * t

tipCircumference = pi * tD = pi * (pcD + 2 * t)

Ngoài ra, để làm cho việc tính toán này dễ dàng hơn một chút (nhưng kém chính xác hơn một chút trên vòng xích bị mòn), bạn có thể đo khoảng cách răng riêng của mình. Lý tưởng nhất là chúng sẽ dài hơn một chút so với cao độ của chuỗi, nhưng điều đó sẽ thay đổi khi chuỗi đeo:

Vòng tròn / n-gon của các mẹo răng - Thay thế

tSpaces = khoảng cách trung bình giữa các đầu răng

Chu vi n-gon của đầu răng = n * tSpaces

tipRadius = tSpaces / (2 sin (180 / n))

tipDiameter = 2 * tRad = tSpaces / sin (180 / n)

tipCircumference = pi * tD = pi * tSpaces / (sin (180 / n))

BIÊN TẬP:

Tôi đã đăng câu hỏi này lên math.se và nhận được một câu trả lời thú vị , về cơ bản xác nhận câu trả lời của Lantius là mô hình toán học chính xác hơn, và tôi là một xấp xỉ thực tế cho thế giới xe đạp.

Chỉ với số lượng răng, không.

Nhưng với số lượng răng và khoảng cách cần thiết từ đầu đến đỉnh của mỗi răng để khớp với chuỗi cho nhãn hiệu vòng chuỗi được sử dụng, bạn có thể dễ dàng xác định chu vi.

Với chu vi, toán học đơn giản để xác định đường kính.

Chia đường kính cho Pi (3,14159 cho số thập phân thứ 5)

C = D / 3.14159

Vì vậy, nếu số lượng răng là 53, và khoảng cách là 12,75mm, chúng ta có chu vi là 675,75 mm.

675,75 mm chia cho 3,14159 cho đường kính 215,1 mm. Được chuyển đổi và làm tròn thành 2 vị trí, đó là 8,46 inch.

Tôi đã đo đường kính của vòng chuỗi Shimano 53 răng và nó là 8,51 inch. Vì vậy, tôi tin rằng toán học của tôi phải chính xác như dung sai trong các phép đo của tôi.