Các định nghĩa
Bạn có thể bỏ qua phần này nếu bạn đã biết định nghĩa của các nhóm , nhóm hữu hạn và nhóm phụ .
Các nhóm
Trong đại số trừu tượng, một nhóm là một tuple (G, *) , nơi G là một tập hợp và * là một hàm G × G → G như vậy mà sau giữ:
Đóng cửa: cho tất cả x, y trong G , x * y cũng nằm trong G (ngụ ý bởi thực tế là * là một hàm G × G → G ).
Associativity: với mọi x, y, z trong G , (x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z) .
Danh tính: tồn tại một phần tử e trong G sao cho với mọi x trong G , x ∗ e = x = e x .
Nghịch đảo: với mỗi x trong G , tồn tại một phần tử y trong G sao cho x ∗ y = e = y ∗ x , trong đó e là phần tử nhận dạng được đề cập trong dấu đầu dòng trước đó.
Nhóm hữu hạn
Một nhóm hữu hạn là một nhóm (G,) trong đó G là hữu hạn, tức là có nhiều yếu tố hữu hạn.
Phân nhóm
Một nhóm con (H, ∗) của một nhóm (G,) sao cho H là tập con của G (không nhất thiết là tập con đúng) và (H,) cũng là một nhóm (tức là thỏa mãn 4 tiêu chí trên).
Ví dụ
Hãy xem xét các nhóm nhị diện D 3 (G, *) nơi G = {1, A, B, C, D, E} và * được định nghĩa dưới đây (một bảng như thế này được gọi là một bảng Cayley ):
∗ | 1 ABCDE - + ---------------------- 1 | 1 ABCDE Một | AB 1 tháng 12 B | B 1 AECD C | CED 1 BA D | DCEA 1 B E | BẠC 1
Trong nhóm này, danh tính là 1 . Ngoài ra, A và B là nghịch đảo của nhau, trong khi 1 , C , D và E lần lượt là nghịch đảo của chúng (nghịch đảo của 1 là 1 , nghịch đảo của C là C , nghịch đảo của D là D và nghịch đảo của E là E ).
Bây giờ, chúng ta có thể xác minh rằng (H,) trong đó H = {1, A, B} là một nhóm con của (G,) . Đối với việc đóng cửa, tham khảo bảng dưới đây:
∗ | 1 AB - + ---------- 1 | 1 AB Một | AB 1 B | B 1 A
nơi tất cả các cặp có thể có của các yếu tố trong H dưới * cung cấp cho một thành viên trong H .
Các associativity không yêu cầu kiểm tra, vì các yếu tố của H là những yếu tố của G .
Danh tính là 1 . Điều này phải giống với danh tính nhóm. Ngoài ra, danh tính trong một nhóm phải là duy nhất. (Bạn có thể chứng minh điều này?)
Đối nghịch đảo, kiểm tra xem các nghịch đảo của A là B , mà là một thành viên của H . Nghịch đảo của B là Một , cũng là một thành viên của H . Nghịch đảo của 1 vẫn là chính nó, không cần kiểm tra.
Bài tập
Sự miêu tả
Cho một nhóm hữu hạn (G, ∗) , tìm số nhóm con của nó.
Đầu vào
Đối với một nhóm (G, *) , bạn sẽ nhận được một mảng 2D kích thước n × n , nơi n là số phần tử trong G . Giả sử chỉ số đó 0là yếu tố nhận dạng. Mảng 2D sẽ đại diện cho bảng nhân. Ví dụ: đối với nhóm ở trên, bạn sẽ nhận được mảng 2D sau:
[[0, 1, 2, 3, 4, 5],
[1, 2, 0, 4, 5, 3],
[2, 0, 1, 5, 3, 4],
[3, 5, 4, 0, 2, 1],
[4, 3, 5, 1, 0, 2],
[5, 4, 3, 2, 1, 0]]
Ví dụ: bạn có thể thấy rằng 3 1 = 5 bởi vì a[3][1] = 5, amảng 2D ở trên.
Ghi chú:
- Bạn có thể sử dụng mảng 2D 1 chỉ mục.
- Hàng và cột cho danh tính có thể được bỏ qua.
- Bạn có thể sử dụng các định dạng khác khi bạn thấy phù hợp, nhưng nó phải nhất quán. (tức là bạn có thể muốn chỉ mục cuối cùng là danh tính, v.v.)
Đầu ra
Một số dương biểu thị số lượng nhóm con trong nhóm.
Ví dụ: đối với nhóm ở trên, (H,) là nhóm con của (G,) bất cứ khi nào H =
- {1}
- {1, A, B}
- {1, C}
- {1, D}
- {1, E}
- {1, A, B, C, D, E}
Do đó, có 6 nhóm con và đầu ra của bạn cho ví dụ này là 6.
Gợi ý
Bạn có thể đọc các bài viết mà tôi liên kết đến. Những bài viết này chứa các định lý về các nhóm và các nhóm con có thể hữu ích cho bạn.
Chấm điểm
Đây là môn đánh gôn . Trả lời với chiến thắng đếm byte thấp nhất.
0phần tử nhận dạng, thì thật khó hiểu khi toán tử được mô tả là nhân ...