Trình tự Lehmer-Comtet là một chuỗi sao cho a (n) là đạo hàm thứ n của f (x) = x ^x đối với x như được đánh giá tại x = 1 .

Bài tập

Lấy một số nguyên không âm làm đầu vào và đầu ra số hạng thứ n của chuỗi Lehmer-Comtet.

Đây là mã golf, vì vậy bạn nên giảm thiểu kích thước tệp của mã nguồn.

Các trường hợp thử nghiệm

OEIS 5727

Dưới đây là các thuật ngữ cặp đôi đầu tiên theo thứ tự (được sao chép từ OEIS)

1, 1, 2, 3, 8, 10, 54, -42, 944, -5112, 47160, -419760, 4297512, -47607144, 575023344, -7500202920, 105180931200, -1578296510400, 25238664189504, -428528786243904, 7700297625889920, -146004847062359040, 2913398154375730560, -61031188196889482880

Haskell , 77 75 byte, không có nội dung phân biệt

x@(a:b)&y@(c:d)=a*c:zipWith(+)(b&y)(x&d)
s=1:s&(1:scanl(*)1[-1,-2..])
(s!!)

Hãy thử trực tuyến!

Làm thế nào nó hoạt động

Chúng tôi biểu diễn một hàm là danh sách vô hạn của các hệ số chuỗi Taylor về x = 1: f ( x ) = ∑ _{n = 0} ^∞ f ^{( n )} ( x - 1) ⁿ / n ! được đại diện bởi [f (1), f ′ (1), f ″ (1), khắc].

Các &nhân lên điều hành hai chức năng đó bằng cách sử dụng quy tắc sản phẩm. Điều này cho phép chúng ta định nghĩa đệ quy hàm s ( x ) = x ^x theo chính phương trình sử dụng phương trình vi phân s (1) = 1, s ′ ( x ) = s ( x ) (1 + ln x ), trong đó ln x = Σ _{n = 1} ^∞ (-1) ^{n - 1} ( n - 1)! ( x - 1) ⁿ / n !.

Toán học, 19 byte

D[x^x,{x,#-1}]/.x->1&

-18 byte từ @ Không phải là một cây

Octave với gói tượng trưng, 36 32 byte

syms x
@(n)subs(diff(x^x,n),x,1)

Mã xác định một hàm ẩn danh đưa ra một biến tượng trưng với kết quả.

Hãy thử trực tuyến!

Haskell , 57 byte

f 0=1
f n=f(n-1)-foldl(\a k->f(k-1)/(1-n/k)-a*k)0[1..n-1]

Hãy thử trực tuyến!

Không có tích hợp để phân biệt hoặc đại số. Đầu ra nổi.

Python với SymPy , 77 75 58 57 byte

Lưu 1 byte nhờ @notjagan

17 byte được lưu nhờ @AndersKaseorg

from sympy import*
lambda n:diff('x^x','x',n).subs('x',1)

SageMath , 33 32 byte

lambda n:diff(x^x,x,n).subs(x=1)

Dùng thử trên SageMathCell

Python 3 , 150 byte

lambda n:0**n or sum(L(n-1,r)for r in range(n))
L=lambda n,r:0<=r<=n and(0**n or n*L(n-2,r-1)+L(~-n,r-1)+(r-~-n)*L(~-n,r)if r else n<2or-~-n*L(n-1,0))

Hãy thử trực tuyến!

Độ phức tạp thời gian chạy theo cấp số nhân. Sử dụng công thức được đưa ra trong trang OEIS.

Python3 + mpmath 52 byte

from mpmath import*
lambda n:diff(lambda x:x**x,1,n)

-3 byte, Cảm ơn @Zachary T

Python 3 , 288 261 byte

Phân biệt mà không phân biệt tích hợp.

p=lambda a,n:lambda v:v and p(a*n,n-1)or a
l=lambda v:v and p(1,-1)
e=lambda v:v and m(e,a(p(1,0),l))or 1
a=lambda f,g:lambda v:v and a(f(1),g(1))or f(0)+g(0)
m=lambda f,g:lambda v:v and a(m(f(1),g),m(g(1),f))or f(0)*g(0)
L=lambda n,f=e:n and L(n-1,f(1))or f(0)

Hãy thử trực tuyến!

Làm thế nào nó hoạt động

Mỗi trong năm dòng đầu tiên xác định các hàm và các dẫn xuất của chúng và kết quả của chúng khi được đánh giá tại 1. Dẫn xuất của chúng cũng là chức năng.

• p là sức mạnh tức là a*x^n
• l là logarit tức là ln(x)
• e là số mũ tức là exp(x)
• a là bổ sung tức là f(x)+g(x)
• m là phép nhân f(x)*g(x)

Cách sử dụng: ví dụ, exp(ln(x)+3x^2)sẽ được trình bày dưới dạng e(l()+p(3,2)). Hãy để x=e(l()+p(3,2)). Để tìm đạo hàm của nó, hãy gọi x(1). Để tìm kết quả của nó khi được đánh giá tại 1, hãy gọi x(0).

Tiền thưởng: sự khác biệt tượng trưng

Pari / GP , 34 byte

n->n!*Vec((1+x+O(x^n++))^(1+x))[n]

Hãy thử trực tuyến!