Lý lịch

Nó có thể được chỉ ra rằng đối với bất kỳ số nguyên nào k >= 0, f(k) = tan(atan(0) + atan(1) + atan(2) + ... + atan(k))là một số hữu tỷ.

Mục tiêu

Viết một chương trình hoặc hàm hoàn chỉnh mà khi được đưa ra k >= 0, xuất ra f(k)dưới dạng một phần giảm duy nhất (tử số và mẫu số là số nguyên).

Các trường hợp thử nghiệm

Một vài giá trị đầu tiên là

f(0) = (0,1)
f(1) = (1,1)
f(2) = (-3,1)
f(3) = (0,1)
f(4) = (4,1)
f(5) = (-9,19)
f(6) = (105,73)

Quy tắc

• Sơ hở tiêu chuẩn bị cấm.
• Đầu vào và đầu ra có thể ở bất kỳ định dạng thuận tiện. Bạn có thể xuất ra f(k)dưới dạng một chuỗi numerator/denominator, dưới dạng một bộ gồm hai số nguyên, một phân số hoặc đối tượng hợp lý, v.v. Nếu bạn xuất một chuỗi, chỉ cung cấp hai số nguyên, nghĩa là đầu ra 3/2thay vì 1 1/2.
• Đây là code-golf, câu trả lời ngắn nhất (tính bằng byte) sẽ thắng.

M , 11 byte

×C÷@+
R0;ç/

Hãy thử trực tuyến!

Sử dụng công thức OEIS x(n) = (x(n-1)+n)/(1-n*x(n-1))với x(0) = 0.

Toán học, 28 byte

Fold[+##/(1-##)&,0,Range@#]&

Hãy thử trực tuyến!

Một cách tiếp cận dài hơn nhưng thú vị hơn (32 byte):

Im@#/Re@#&@Product[1+n I,{n,#}]&

Hãy thử trực tuyến!

Python 2 ,76 72 byte

from fractions import*
f=lambda k:Fraction(k and(k+f(k-1))/(1-k*f(k-1)))

Sử dụng danh tính:

tan(A + B) = (tan(A) + tan(B)) / (1 - tan(A) * tan(B))

Chúng ta có:

f(k) = 0                                    if k = 0
     = (k + f(k - 1)) / (1 - k * f(k - 1))  if k > 0

Hãy thử trực tuyến!

Nhờ Luis Mendo, tiết kiệm 4 byte.

APL (Dyalog) , 14 byte

Yêu cầu ⎕FR←1287( 128 chút F loating điểm R epresentation) cho đầu vào nhỏ. Đưa ra knhư là lý lẽ đúng.

1(∧÷,)3○¯3+.○⍳

Hãy thử trực tuyến!

⍳ số nguyên từ một đến k(không cần 0 là 0 = arctan 0)

¯3+.○ tổng tiếp tuyến

3○ tiếp tuyến

1(... ) áp dụng các chức năng ngầm sau với 1 như là đối số bên trái và bên trên như là đối số đúng:

 ∧ bội số chung thấp nhất (của 1 và đối số đúng); đưa ra tử số

 ÷ chia

 , sự kết hợp (của 1 và đối số đúng); đưa ra tử số và mẫu số

Haskell , 52 byte

Điều này sử dụng mở rộng loạt OEIS:

import Data.Ratio
f 0=0%1
f n|p<-f$n-1=(p+n)/(1-n*p)

Hãy thử trực tuyến!

Hoặc một phiên bản miễn phí:

(scanl1(\f n->(f+n)/(1-n*f))[0%1..]!!)

JavaScript (ES6), 80 byte

f=n=>n?([a,b]=f(n-1),g=(a,b)=>a?g(b%a,a):b,c=g(d=b*n+a,e=b-n*a),[d/c,e/c]):[0,1]

Trả về cặp [tử số, mẫu số]. Giải thích: Hãy để f(n-1) = a/bsau đó f(n) = atan(tan(n)+tan(a/b)) = (n+a/b)/(1-n*a/b) = (b*n+a)/(b-n*a). Sau đó, nó vẫn còn để giảm các phần đến các điều khoản thấp nhất của nó.

Môi trường ES6 trực tuyến

Pari / GP , 36 byte

n->imag(x=prod(i=0,n,1+i*I))/real(x)

Hãy thử trực tuyến!

Hoặc cùng chiều dài:

n->fold((x,y)->(x+y)/(1-x*y),[0..n])

Hãy thử trực tuyến!

05AB1E , 33 26 byte

0X)Iƒ©`N*+®`sN*-‚D¿D_i\¤}/

Hãy thử trực tuyến!

Giải trình

0X)                          # initialize stack with [0,1]
   Iƒ                        # for N in range [0 ... input] do:
     ©                       # store a copy of the current pair in the register
      `                      # push the pair separately to the stack
       N*                    # multiply the denominator with N
         +                   # add the numerator
          ®`s                # push the denominator then the numerator to the stack
             N*              # multiply the numerator by N
               -             # subtract it from the denominator
                D¿D          # get 2 copies of the greatest common divisor
                   0Qi  }    # if the gcd equals 0
                      \¤     # replace it with the denominator
                         /   # divide the pair with this number

Octave , 30 byte

format rat
tan(sum(atan(0:k)))

Hãy thử trực tuyến!

Casio-Basic, 35 byte

tExpand(tan(sum(seq(tan⁻¹(n),n,0,k

tan ^-1 nên được nhập dưới dạng một trên bàn phím Trig; hoặc ^-1 có thể được nhập riêng từ bàn phím abc> Math. Theo hướng dẫn của fx-CP400, đó là một ký tự hai byte (764).

Hàm, 34 byte cho mã, +1 byte để thêm klàm đối số.

Giải trình

seq(tan-1(n),n,0,k)tạo ra tất cả các giá trị tan-1(n)từ 0 đến k.

sumcộng tất cả chúng lại với nhau, sau đó tanthực hiện chức năng tiếp tuyến trên chúng.

tExpand sau đó sẽ biến chúng thành một phần nhỏ

Julia 0,6,0 40 byte

k->rationalize(tan(sum(x->atan(x),1:k)))

Đó là một cách thực hiện đơn giản của câu hỏi. Độ chính xác của hợp lý hóa đôi khi có thể là lạ nhưng hoạt động tốt 99% thời gian.