Vâng, tôi nghĩ rằng đã đến lúc chúng ta có một câu hỏi bằng chứng về golf .

Lần này chúng ta sẽ chứng minh sự thật logic nổi tiếng

$(A \rightarrow B) \rightarrow (\neg B \rightarrow \neg A)$

Để làm điều này, chúng tôi sẽ sử dụng Lược đồ Axiom thứ ba của Łukasiewicz , một bộ ba tiên đề cực kỳ thanh lịch hoàn chỉnh theo logic mệnh đề .

Đây là cách nó làm việc:

Tiên đề

Hệ thống Łukasiewicz có ba tiên đề. Họ đang:

$\phi\rightarrow(\psi\rightarrow\phi)$

$(\phi\rightarrow(\psi\rightarrow\chi))\rightarrow((\phi\rightarrow\psi)\rightarrow(\phi\rightarrow\chi))$

$(\neg\phi\rightarrow\neg\psi)\rightarrow(\psi\rightarrow\phi)$

Các tiên đề là những sự thật phổ quát bất kể chúng ta chọn gì cho , và . Tại bất kỳ điểm nào trong bằng chứng, chúng tôi có thể giới thiệu một trong những tiên đề này. Khi chúng tôi giới thiệu một tiên đề, bạn thay thế từng trường hợp , và , bằng một "biểu thức phức tạp". Một biểu thức phức tạp là bất kỳ biểu thức nào được tạo ra từ các Nguyên tử, (được biểu thị bằng các chữ cái - ) và các toán tử ngụ ý ( ) chứ không phải ( ).$\phi$$\psi$$\chi$$\phi$$\psi$$\chi$$A$$Z$$\rightarrow$$\neg$

Ví dụ: nếu tôi muốn giới thiệu tiên đề đầu tiên (LS1) tôi có thể giới thiệu

$A\rightarrow(B\rightarrow A)$

hoặc là

$(A\rightarrow A)\rightarrow(\neg D\rightarrow(A\rightarrow A))$

Trong trường hợp đầu tiên là và là , trong trường hợp thứ hai cả hai đều có nhiều biểu thức liên quan hơn. là và là .$\phi$$A$$\psi$$B$$\phi$$(A\rightarrow A)$$\psi$$\neg D$

Những thay thế bạn chọn để sử dụng sẽ phụ thuộc vào những gì bạn cần trong bằng chứng tại thời điểm này.

Modus Ponens

Bây giờ chúng tôi có thể giới thiệu các tuyên bố, chúng tôi cần liên kết chúng lại với nhau để đưa ra các tuyên bố mới. Cách thức này được thực hiện trong Axiom Schema (LS) của ukasiewicz là với Modus Ponens. Modus Ponens cho phép chúng tôi lấy hai tuyên bố của mẫu

$\phi$

$\phi\rightarrow \psi$

và khởi tạo một tuyên bố mới

$\psi$

Giống như với Axioms và của chúng tôi có thể thay thế cho bất kỳ tuyên bố độc đoán nào.$\phi$$\psi$

Hai tuyên bố có thể là bất cứ nơi nào trong bằng chứng, chúng không phải ở cạnh nhau hoặc bất kỳ trật tự đặc biệt nào.

Bài tập

Nhiệm vụ của bạn sẽ là chứng minh luật của các đối tượng . Đây là tuyên bố

$(A\rightarrow B)\rightarrow(\neg B\rightarrow\neg A)$

Bây giờ bạn có thể nhận thấy rằng điều này khá quen thuộc, nó là một khởi tạo đảo ngược của tiên đề thứ ba của chúng tôi

$(\neg\phi\rightarrow\neg\psi)\rightarrow(\psi\rightarrow\phi)$

Tuy nhiên đây không phải là một chiến công tầm thường.

Chấm điểm

Ghi điểm cho thử thách này khá đơn giản, mỗi lần bạn khởi tạo một tiên đề được tính là một điểm và mỗi lần sử dụng modus ponens được tính là một điểm. Đây thực chất là số lượng dòng trong bằng chứng của bạn. Mục tiêu nên là tối thiểu hóa điểm số của bạn (làm cho nó càng thấp càng tốt).

Bằng chứng mẫu

Ok bây giờ cho phép sử dụng điều này để xây dựng một bằng chứng nhỏ. Chúng tôi sẽ chứng minh .$A\rightarrow A$

Đôi khi, tốt nhất là làm việc ngược lại vì chúng ta biết chúng ta muốn ở đâu, chúng ta có thể tìm ra cách chúng ta có thể đến đó. Trong trường hợp này vì chúng tôi muốn kết thúc với và đây không phải là một trong những tiên đề của chúng tôi, chúng tôi biết bước cuối cùng phải là modus ponens. Do đó, kết thúc bằng chứng của chúng tôi sẽ giống như$A\rightarrow A$

φ
φ → (A → A)
A → A       M.P.

TeX

Trong đó là một biểu thức chúng ta chưa biết giá trị của. Bây giờ chúng tôi sẽ tập trung vào . Điều này có thể được giới thiệu bởi modus ponens hoặc LS3. LS3 yêu cầu chúng tôi chứng minh có vẻ khó như , vì vậy chúng tôi sẽ đi với modus ponens. Vì vậy, bây giờ bằng chứng của chúng tôi trông giống như$\phi$$\phi\rightarrow(A\rightarrow A)$$(\neg A\rightarrow\neg A)$$(A\rightarrow A)$

φ
ψ
ψ → (φ → (A → A))
φ → (A → A)        M.P.
A → A              M.P.

TeX

Bây giờ trông rất giống với tiên đề thứ hai LS2 của chúng tôi, vì vậy chúng tôi sẽ điền nó vào dưới dạng LS2$\psi\rightarrow(\phi\rightarrow(A\rightarrow A))$

A → χ
A → (χ → A)
(A → (χ → A)) → ((A → χ) → (A → A)) L.S.2
(A → χ) → (A → A)                   M.P.
A → A                               M.P.

TeX

Bây giờ câu lệnh thứ hai của chúng tôi có thể được xây dựng rõ ràng từ LS1 vì vậy chúng tôi sẽ điền vào đó như vậy$(A\rightarrow(\chi\rightarrow A))$

A → χ
A → (χ → A)                         L.S.1
(A → (χ → A)) → ((A → χ) → (A → A)) L.S.2
(A → χ) → (A → A)                   M.P.
A → A                               M.P.

TeX

Bây giờ chúng ta chỉ cần tìm một sao cho chúng ta có thể chứng minh . Điều này có thể rất dễ dàng được thực hiện với LS1 vì vậy chúng tôi sẽ thử$\chi$$A\rightarrow\chi$

A → (ω → A)                                     L.S.1
A → ((ω → A) → A)                               L.S.1
(A → ((ω → A) → A)) → ((A → (ω → A)) → (A → A)) L.S.2
(A → (ω → A)) → (A → A)                         M.P.
A → A                                           M.P.

TeX

Bây giờ vì tất cả các bước của chúng tôi đều hợp lý, chúng tôi có thể điền vào , vì bất kỳ tuyên bố nào chúng tôi muốn và bằng chứng sẽ có hiệu lực. Chúng ta có thể chọn nhưng tôi sẽ chọn để nó là rõ ràng rằng nó không cần phải được .$\omega$$A$$B$$A$

A → (B → A)                                     L.S.1
A → ((B → A) → A)                               L.S.1
(A → ((B → A) → A)) → ((A → (B → A)) → (A → A)) L.S.2
(A → (B → A)) → (A → A)                         M.P.
A → A                                           M.P.

TeX

Hãy thử trực tuyến!

Và đó là một bằng chứng.

Tài nguyên

Chương trình xác minh

Đây là một chương trình Prolog bạn có thể sử dụng để xác minh rằng bằng chứng của bạn trên thực tế là hợp lệ. Mỗi bước nên được đặt trên dòng riêng của nó. ->nên được sử dụng cho ngụ ý và -nên được sử dụng cho không, các nguyên tử có thể được biểu diễn bằng bất kỳ chuỗi ký tự chữ cái nào.

Metamath

Metamath sử dụng hệ thống Łukasiewicz cho các bằng chứng của nó trong phép tính mệnh đề, vì vậy bạn có thể muốn chọc quanh đó một chút. Họ cũng có một bằng chứng về định lý mà thách thức này yêu cầu có thể tìm thấy ở đây . Có một lời giải thích ở đây về cách đọc các bằng chứng.

Máy chứng minh đáng kinh ngạc

@ Antony cho tôi biết về một công cụ có tên The Incredible Proof machine cho phép bạn xây dựng bằng chứng trong một số hệ thống bằng hệ thống chứng minh đồ họa đẹp. Nếu bạn cuộn xuống, bạn sẽ thấy họ hỗ trợ hệ thống Łukasiewicz. Vì vậy, nếu bạn là một người có định hướng trực quan hơn, bạn có thể làm việc trên bằng chứng của mình ở đó. Điểm của bạn sẽ là số khối được sử dụng trừ đi 1.

88 82 77 72 bước

Cảm ơn H.PWiz cho các chuyển đổi kết hợp tốt hơn đã lưu 10 bước!

Giải trình

Bạn có thể quen thuộc với sự tương ứng của Curry Curry Howard , trong đó các định lý tương ứng với các loại và bằng chứng tương ứng với các chương trình của các loại đó. Hai tiên đề đầu tiên trong hệ thống Łukasiewicz thực sự là các tổ hợp K và S , và chúng ta có thể dịch các biểu thức tính toán lambda thành các biểu thức kết hợp SK.

Vì vậy, hãy viết ra một số biểu thức tương ứng với các tiên đề của chúng tôi (sau đây là cú pháp Haskell hợp lệ, thuận tiện vì chúng tôi hoàn toàn có thể kiểm tra bằng chứng của mình bằng trình biên dịch Haskell):

data Not φ

k :: φ -> (ψ -> φ)
k x _ = x

s :: (φ -> (ψ -> χ)) -> ((φ -> ψ) -> (φ -> χ))
s x y z = x z (y z)

c :: (Not φ -> Not ψ) -> (ψ -> φ)
c = error "non-computational axiom"

Sau đó, chúng ta có thể viết một bằng chứng về tuyên bố mong muốn dưới dạng một chương trình c(phần này cần một chút thông minh, nhưng viết nó dễ hơn nhiều so với chứng minh tiên đề 72 dòng):

pf :: (a -> b) -> (Not b -> Not a)
pf x y = c (\z -> c (\_ -> y) (x (c (c (\_ -> z)) x))) k

và chuyển đổi nó thành một biểu thức kết hợp SK:

pf' :: (a -> b) -> (Not b -> Not a)
pf' =
  s (k (s (k (s c (k k)))))
    (s (k (s (s (k s) (s (k k) (s (k c) k)))))
       (s (k k) (s (k (s s (s (s (k c) (s (k c) k))))) k)))

Các tổ hợp 17 k, 16 svà 4 cở trên tương ứng với các yêu cầu 16 LS1, 16 LS2 và 4 LS3 trong chứng minh bên dưới và 38 ứng dụng của hàm với giá trị trên tương ứng với các yêu cầu 38 MP bên dưới.

Tại sao chỉ có 16 lời mời LS1? Nó chỉ ra một trong những ktổ hợp ở trên có một biến loại miễn phí, và khởi tạo nó một cách cẩn thận biến nó thành một bản sao của một tổ hợp khác đã được dẫn xuất.

Bằng chứng

1. (A → B) → (A → (A → B)) LS1
2. A → (¬¬ (A → B) → A) LS1
3. (¬¬ (A → B) → A) → (A → ¬ (A → B)) LS3
4. ((¬¬ (A → B) → A) → (A → ¬ (A → B))) → (A → ((¬¬ (A → B) → A) → ( A → ¬ (A → B)))) LS1
5. A → ((¬¬ (A → B) → A) → (A → (A → B))) MP 4.3
6. (¬¬A → ((¬¬ (A → B) → A) → (A → (A → B)))) → ((¬¬A → (¬¬ (A → B) → A)) → (A → (A → (A → B)))) LS2
7. (A → (¬¬ (A → B) → A)) → (A → (A → (A → B))) MP 6,5
8. A → (A → (A → B)) MP 7,2
9. (→A → ¬ (A → B)) → ((A → B) → A) LS3
10. ((→A → ¬ (A → B)) → ((A → B) → A)) → (A → ((A → ¬ (A → B)) → ((A → B) → A ))) LS1
11. A → ((→A → ¬ (A → B)) → ((A → B) → A)) MP 10,9
12. (A → ((A → (A → B)) → ((A → B) → A))) → ((A → (A → ¬ (A → B))) → ( ¬¬A → ((A → B) → A))) LS2
13. (¬¬A → (A → (A → B))) → (A → ((A → B) → A)) MP 12,11
14. ¬¬A → ((A → B) → A) MP 13,8
15. (¬¬A → ((A → B) → A)) → ((→A → (A → B)) → (¬¬A → A)) LS2
16. (→A → (A → B)) → (A → A) MP 15,14
17. (A → (A → B)) → ((→A → A) → (¬¬A → B)) LS2
18. ((A → (A → B)) → ((→A → A) → (A → B))) → (((→A → (A → B)) → (A → A)) → ((→A → (A → B)) → (¬¬A → B))) LS2
19. ((A → (A → B)) → (A → A)) → ((→A → (A → B)) → (¬¬A → B)) MP 18,17
20. (→A → (A → B)) → (A → B) MP 19,16
21. ((→A → (A → B)) → (A → B)) → ((A → B) → ((A → (A → B)) → (A → B)) ) LS1
22. (A → B) → ((→A → (A → B)) → (¬¬A → B)) MP 21,20
23. ((A → B) → ((→A → (A → B)) → (A → B))) → (((A → B) → (A → (A → B))) → ((A → B) → (→A → B))) LS2
24. ((A → B) → (A → (A → B))) → ((A → B) → (A → B)) MP 23,22
25. (A → B) → (→A → B) MP 24,1
26. (→A → B) → (¬B → (A → B)) LS1
27. ((→A → B) → (¬B → (A → B))) → ((A → B) → ((→A → B) → (¬B → (A → B) ))) LS1
28. (A → B) → ((→A → B) → (¬B → (→A → B))) MP 27,26
29. ((A → B) → ((→A → B) → (¬B → (A → B)))) → (((A → B) → (A → B)) → (( A → B) → (¬B → (→A → B)))) LS2
30. ((A → B) → (→A → B)) → ((A → B) → (¬B → (¬¬A → B))) MP 29,28
31. (A → B) → (¬B → (A → B)) MP 30,25
32. ¬B → (¬¬ (A → ((A → B) → A)) → B) LS1
33. (¬¬ (A → (¬¬ (A → B) → A)) → ¬B) → (B → (A → (¬¬ (A → B) → A)) ) LS3
34. ((¬¬ (A → (¬¬ (A → B) → A)) → B) → (B → (A → (¬¬ (A → B) → A) ))) → (¬B → ((¬¬ (A → (¬¬ (A → B) → A)) → B) → (B → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → A))))) LS1
35. ¬B → ((¬¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → A)) → B) → (B → (A → (¬¬ (A → B) → ¬A)))) MP 34,33
36. (¬B → ((¬¬ (A → (¬¬ (A → B) → A)) → B) → (B → (A → (¬¬ (A → B) → A))))) → ((¬B → (¬¬ (A → (¬¬ (A → B) → A)) → ¬B)) → (¬B → (B → (→A → (¬¬ (A → B) → A))))) LS2
37. (¬B → (¬¬ (A → ((A → B) → A)) → B)) → (¬B → (B → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A) → B) → A)))) MP 36,35
38. ¬B → (B → (A → (¬¬ (A → B) → A))) MP 37,32
39. (B → ¬ (A → (¬¬ (A → B) → A))) → (¬¬A → (B → (¬¬A → (¬¬ (A → B) → A)))) LS1
40. ((B → (A → (¬¬ (A → B) → A))) → (A → (B → (¬¬A → (¬¬ (A → B) → A))))) → (¬B → ((B → (A → (¬¬ (A → B) → A))) → (¬¬A → (B → ( A → (¬¬ (A → B) → A)))))) LS1
41. B → ((B → (A → (¬¬ (A → B) → A))) → (A → (B → (A → (¬¬ (A → B ) → A))))) MP 40,39
42. (¬B → ((B → (A → (¬¬ (A → B) → A))) → (A → (B → (A → (¬¬ (A → B) → A)))))) → ((¬B → (B → (A → (¬¬ (A → B) → A)))) → (¬B → ( A → (B → (A → (¬¬ (A → B) → A))))))) LS2
43. (¬B → (B → ¬ (A → (¬¬ (A → B) → A)))) → (¬B → (¬¬A → (B → ¬ (A → ( (A → B) → A))))) MP 42,41
44. ¬B → (A → (B → (A → (¬¬ (A → B) → A)))) MP 43,38
45. (A → (B → ¬ (A → (¬¬ (A → B) → A)))) → ((→A → B) → (A → (A → (¬¬ (A → B) → A)))) LS2
46. ((→A → (B → (A → (¬¬ (A → B) → A)))) → ((→A → B) → (A → ( A → (¬¬ (A → B) → A))))) → (¬B → ((→A → (B → (¬¬A → (¬¬ (A → B) → A)))) → ((→A → B) → (A → (A → (¬¬ (A → B) → A)))))) LS1
47. ¬B → ((A → (B → (A → (¬¬ (A → B) → A)))) → ((→A → B) → (A → (→A → (¬¬ (A → B) → A))))) MP 46,45
48. (¬B → ((A → (B → (A → (¬¬ (A → B) → A)))) → ((→A → B) → (A → (A → (¬¬ (A → B) → A)))))) → ((¬B → (A → (B → (A → (¬¬ (A →) B) → A))))) → (¬B → ((→A → B) → (A → (A → (¬¬ (A → B) → A)) )))) LS2
49. (¬B → (A → (B → (A → (¬¬ (A → B) → A)))))) → (¬B → ((→A → B) → ( A → (A → (¬¬ (A → B) → A))))) MP 48,47
50. B → ((→A → B) → (A → (A → (¬¬ (A → B) → A)))) MP 49,44
51. (¬B → ((→A → B) → (A → ¬ (A → (¬¬ (A → B) → A))))) → ((¬B → ( A → B)) → (B → (A → (A → (¬¬ (A → B) → A))))) LS2
52. (¬B → (A → B)) → (¬B → (A → (A → (¬¬ (A → B) → A)))) MP 51,50
53. ((¬B → (A → B)) → (¬B → (A → (A → (¬¬ (A → B) → A))))) → ((A → B) → ((B → (A → B)) → (¬B → (A → (A → (¬¬ (A → B) → A))))) ) LS1
54. (A → B) → ((¬B → (A → B)) → (¬B → (A → (A → (¬¬ (A → B) → A))) )) MP 53,52
55. ((A → B) → ((¬B → (A → B)) → (¬B → (A → (A → (¬¬ (A → B) → A)) )))) → (((A → B) → (¬B → (A → B))) → ((A → B) → (¬B → (A → (A → ( ¬¬ (A → B) → A)))))) LS2
56. ((A → B) → (¬B → (A → B))) → ((A → B) → (¬B → (A → (A → (¬¬ (A → B ) → A))))) MP 55,54
57. (A → B) → (¬B → (A → (A → (¬¬ (A → B) → A)))) MP 56,31
58. (¬¬A → (¬¬ (A → B) → A)) → ((¬¬A → (A → (¬¬ (A → B) → A))) → ( A → (¬¬ (A → B) → A))) LS1
59. (A → (A → ((A → B) → A))) → (A → (¬¬ (A → B) → A)) MP 58,2
60. (¬¬A → (A → ((A → B) → A))) → ((¬¬A → (¬¬ (A → B) → A)) → A ) LS3
61. ((→A → (A → (¬¬ (A → B) → A))) → ((A → (¬¬ (A → B) → A)) → A)) → (((→A → ¬ (A → (¬¬ (A → B) → A))) → (A → (¬¬ (A → B) → A ))) → ((A → (A → (¬¬ (A → B) → A))) → A)) LS2
62. ((→A → (A → ((A → B) → A))) → (A → (¬¬ (A → B) → A))) → ( (→A → (A → ((A → B) → A))) → A) MP 61,60
63. (→A → (A → ((A → B) → A))) → MPA MP 62,59
64. ((→A → (A → ((A → B) → A))) → A) → (¬B → ((→A → (A → ( (A → B) → A))) → A)) LS1
65. ¬B → ((A → (A → (¬¬ (A → B) → A))) → A) MP 64,63
66. (¬B → ((A → (A → (¬¬ (A → B) → A))) → A)) → ((¬B → (¬¬A → ( A → (¬¬ (A → B) → A)))) → (¬B → A)) LS2
67. (¬B → (A → (A → (¬¬ (A → B) → A)))) → (¬B → A) MP 66,65
68. ((¬B → (A → (A → (¬¬ (A → B) → A)))) → (¬B → A)) → ((A → B) → ( (¬B → (A → (A → (¬¬ (A → B) → A)))) → (¬B → A))) LS1
69. (A → B) → ((B → (A → (A → (¬¬ (A → B) → A)))) → (¬B → A)) MP 68, 67
70. ((A → B) → ((¬B → (A → (A → (¬¬ (A → B) → A)))) → (¬B → A))) → (((A → B) → (¬B → (A → (A → (¬¬ (A → B) → A))))) → ((A → B) → ( B → A))) LS2
71. ((A → B) → (¬B → (A → (A → (¬¬ (A → B) → A))))) → ((A → B) → (B → A)) MP 70,69
72. (A → B) → (¬B → A) MP 71,57

Hãy thử trực tuyến!

91 bước

Bằng chứng đầy đủ:

1. (A → B) → (¬¬A → (A → B)) LS1
2. (¬¬A → (A → B)) → ((¬¬A → A) → (¬¬A → B)) LS2
3. ((¬¬A → (A → B)) → ((¬¬A → A) → (¬¬A → B))) → ((A → B) → ((¬¬A → (A → B)) → ((¬¬A → A) → (¬¬A → B)))) LS1
4. (A → B) → ((¬¬A → (A → B)) → ((¬¬A → A) → (¬¬A → B))) MP 3,2
5. ((A → B) → ((¬¬A → (A → B)) → ((¬¬A → A) → (¬¬A → B)))) → (((A → B) → (¬¬A → (A → B))) → ((A → B) → ((¬¬A → A) → (¬¬A → B)))) LS2
6. ((A → B) → (¬¬A → (A → B))) → ((A → B) → ((¬¬A → A) → (¬¬A → B))) MP 5,4
7. (A → B) → ((¬¬A → A) → (¬¬A → B)) MP 6,1
8. ¬A → (¬¬(B → (¬A → A)) → ¬A) LS1
9. (¬¬(B → (¬A → A)) → ¬A) → (A → ¬(B → (¬A → A))) LS3
10. ((¬¬(B → (¬A → A)) → ¬A) → (A → ¬(B → (¬A → A)))) → (¬A → ((¬¬(B → (¬A → A)) → ¬A) → (A → ¬(B → (¬A → A))))) LS1
11. ¬A → ((¬¬(B → (¬A → A)) → ¬A) → (A → ¬(B → (¬A → A)))) MP 10,9
12. (¬A → ((¬¬(B → (¬A → A)) → ¬A) → (A → ¬(B → (¬A → A))))) → ((¬A → (¬¬(B → (¬A → A)) → ¬A)) → (¬A → (A → ¬(B → (¬A → A))))) LS2
13. (¬A → (¬¬(B → (¬A → A)) → ¬A)) → (¬A → (A → ¬(B → (¬A → A)))) MP 12,11
14. ¬A → (A → ¬(B → (¬A → A))) MP 13,8
15. (¬A → (A → ¬(B → (¬A → A)))) → ((¬A → A) → (¬A → ¬(B → (¬A → A)))) LS2
16. (¬A → A) → (¬A → ¬(B → (¬A → A))) MP 15,14
17. (¬A → ¬(B → (¬A → A))) → ((B → (¬A → A)) → A) LS3
18. ((¬A → ¬(B → (¬A → A))) → ((B → (¬A → A)) → A)) → ((¬A → A) → ((¬A → ¬(B → (¬A → A))) → ((B → (¬A → A)) → A))) LS1
19. (¬A → A) → ((¬A → ¬(B → (¬A → A))) → ((B → (¬A → A)) → A)) MP 18,17
20. ((¬A → A) → ((¬A → ¬(B → (¬A → A))) → ((B → (¬A → A)) → A))) → (((¬A → A) → (¬A → ¬(B → (¬A → A)))) → ((¬A → A) → ((B → (¬A → A)) → A))) LS2
21. ((¬A → A) → (¬A → ¬(B → (¬A → A)))) → ((¬A → A) → ((B → (¬A → A)) → A)) MP 20,19
22. (¬A → A) → ((B → (¬A → A)) → A) MP 21,16
23. (¬A → A) → (B → (¬A → A)) LS1
24. ((¬A → A) → ((B → (¬A → A)) → A)) → (((¬A → A) → (B → (¬A → A))) → ((¬A → A) → A)) LS2
25. ((¬A → A) → (B → (¬A → A))) → ((¬A → A) → A) MP 24,22
26. (¬A → A) → A MP 25,23
27. ¬¬A → (¬A → ¬¬A) LS1
28. (¬A → ¬¬A) → (¬A → A) LS3
29. ((¬A → ¬¬A) → (¬A → A)) → (¬¬A → ((¬A → ¬¬A) → (¬A → A))) LS1
30. ¬¬A → ((¬A → ¬¬A) → (¬A → A)) MP 29,28
31. (¬¬A → ((¬A → ¬¬A) → (¬A → A))) → ((¬¬A → (¬A → ¬¬A)) → (¬¬A → (¬A → A))) LS2
32. (¬¬A → (¬A → ¬¬A)) → (¬¬A → (¬A → A)) MP 31,30
33. ¬¬A → (¬A → A) MP 32,27
34. ((¬A → A) → A) → (¬¬A → ((¬A → A) → A)) LS1
35. ¬¬A → ((¬A → A) → A) MP 34,26
36. (¬¬A → ((¬A → A) → A)) → ((¬¬A → (¬A → A)) → (¬¬A → A)) LS2
37. (¬¬A → (¬A → A)) → (¬¬A → A) MP 36,35
38. ¬¬A → A MP 37,33
39. (¬¬A → A) → ((A → B) → (¬¬A → A)) LS1
40. (A → B) → (¬¬A → A) MP 39,38
41. ((A → B) → ((¬¬A → A) → (¬¬A → B))) → (((A → B) → (¬¬A → A)) → ((A → B) → (¬¬A → B))) LS2
42. ((A → B) → (¬¬A → A)) → ((A → B) → (¬¬A → B)) MP 41,7
43. (A → B) → (¬¬A → B) MP 42,40
44. ¬¬B → (¬¬(B → (¬¬B → ¬B)) → ¬¬B) LS1
45. (¬¬(B → (¬¬B → ¬B)) → ¬¬B) → (¬B → ¬(B → (¬¬B → ¬B))) LS3
46. ((¬¬(B → (¬¬B → ¬B)) → ¬¬B) → (¬B → ¬(B → (¬¬B → ¬B)))) → (¬¬B → ((¬¬(B → (¬¬B → ¬B)) → ¬¬B) → (¬B → ¬(B → (¬¬B → ¬B))))) LS1
47. ¬¬B → ((¬¬(B → (¬¬B → ¬B)) → ¬¬B) → (¬B → ¬(B → (¬¬B → ¬B)))) MP 46,45
48. (¬¬B → ((¬¬(B → (¬¬B → ¬B)) → ¬¬B) → (¬B → ¬(B → (¬¬B → ¬B))))) → ((¬¬B → (¬¬(B → (¬¬B → ¬B)) → ¬¬B)) → (¬¬B → (¬B → ¬(B → (¬¬B → ¬B))))) LS2
49. (¬¬B → (¬¬(B → (¬¬B → ¬B)) → ¬¬B)) → (¬¬B → (¬B → ¬(B → (¬¬B → ¬B)))) MP 48,47
50. ¬¬B → (¬B → ¬(B → (¬¬B → ¬B))) MP 49,44
51. (¬¬B → (¬B → ¬(B → (¬¬B → ¬B)))) → ((¬¬B → ¬B) → (¬¬B → ¬(B → (¬¬B → ¬B)))) LS2
52. (¬¬B → ¬B) → (¬¬B → ¬(B → (¬¬B → ¬B))) MP 51,50
53. (¬¬B → ¬(B → (¬¬B → ¬B))) → ((B → (¬¬B → ¬B)) → ¬B) LS3
54. ((¬¬B → ¬(B → (¬¬B → ¬B))) → ((B → (¬¬B → ¬B)) → ¬B)) → ((¬¬B → ¬B) → ((¬¬B → ¬(B → (¬¬B → ¬B))) → ((B → (¬¬B → ¬B)) → ¬B))) LS1
55. (¬¬B → ¬B) → ((¬¬B → ¬(B → (¬¬B → ¬B))) → ((B → (¬¬B → ¬B)) → ¬B)) MP 54,53
56. ((¬¬B → ¬B) → ((¬¬B → ¬(B → (¬¬B → ¬B))) → ((B → (¬¬B → ¬B)) → ¬B))) → (((¬¬B → ¬B) → (¬¬B → ¬(B → (¬¬B → ¬B)))) → ((¬¬B → ¬B) → ((B → (¬¬B → ¬B)) → ¬B))) LS2
57. ((¬¬B → ¬B) → (¬¬B → ¬(B → (¬¬B → ¬B)))) → ((¬¬B → ¬B) → ((B → (¬¬B → ¬B)) → ¬B)) MP 56,55
58. (¬¬B → ¬B) → ((B → (¬¬B → ¬B)) → ¬B) MP 57,52
59. (¬¬B → ¬B) → (B → (¬¬B → ¬B)) LS1
60. ((¬¬B → ¬B) → ((B → (¬¬B → ¬B)) → ¬B)) → (((¬¬B → ¬B) → (B → (¬¬B → ¬B))) → ((¬¬B → ¬B) → ¬B)) LS2
61. ((¬¬B → ¬B) → (B → (¬¬B → ¬B))) → ((¬¬B → ¬B) → ¬B) MP 60,58
62. (¬¬B → ¬B) → ¬B MP 61,59
63. ¬¬¬B → (¬¬B → ¬¬¬B) LS1
64. (¬¬B → ¬¬¬B) → (¬¬B → ¬B) LS3
65. ((¬¬B → ¬¬¬B) → (¬¬B → ¬B)) → (¬¬¬B → ((¬¬B → ¬¬¬B) → (¬¬B → ¬B))) LS1
66. ¬¬¬B → ((¬¬B → ¬¬¬B) → (¬¬B → ¬B)) MP 65,64
67. (¬¬¬B → ((¬¬B → ¬¬¬B) → (¬¬B → ¬B))) → ((¬¬¬B → (¬¬B → ¬¬¬B)) → (¬¬¬B → (¬¬B → ¬B))) LS2
68. (¬¬¬B → (¬¬B → ¬¬¬B)) → (¬¬¬B → (¬¬B → ¬B)) MP 67,66
69. ¬¬¬B → (¬¬B → ¬B) MP 68,63
70. ((¬¬B → ¬B) → ¬B) → (¬¬¬B → ((¬¬B → ¬B) → ¬B)) LS1
71. ¬¬¬B → ((¬¬B → ¬B) → ¬B) MP 70,62
72. (¬¬¬B → ((¬¬B → ¬B) → ¬B)) → ((¬¬¬B → (¬¬B → ¬B)) → (¬¬¬B → ¬B)) LS2
73. (¬¬¬B → (¬¬B → ¬B)) → (¬¬¬B → ¬B) MP 72,71
74. ¬¬¬B → ¬B MP 73,69
75. (¬¬¬B → ¬B) → (B → ¬¬B) LS3
76. B → ¬¬B MP 75,74
77. (B → ¬¬B) → (¬¬A → (B → ¬¬B)) LS1
78. ¬¬A → (B → ¬¬B) MP 77,76
79. (¬¬A → (B → ¬¬B)) → ((¬¬A → B) → (¬¬A → ¬¬B)) LS2
80. (¬¬A → B) → (¬¬A → ¬¬B) MP 79,78
81. ((¬¬A → B) → (¬¬A → ¬¬B)) → ((A → B) → ((¬¬A → B) → (¬¬A → ¬¬B))) LS1
82. (A → B) → ((¬¬A → B) → (¬¬A → ¬¬B)) MP 81,80
83. ((A → B) → ((¬¬A → B) → (¬¬A → ¬¬B))) → (((A → B) → (¬¬A → B)) → ((A → B) → (¬¬A → ¬¬B))) LS2
84. ((A → B) → (¬¬A → B)) → ((A → B) → (¬¬A → ¬¬B)) MP 83,82
85. (A → B) → (¬¬A → ¬¬B) MP 84,43
86. (¬¬A → ¬¬B) → (¬B → ¬A) LS3
87. ((¬¬A → ¬¬B) → (¬B → ¬A)) → ((A → B) → ((¬¬A → ¬¬B) → (¬B → ¬A))) LS1
88. (A → B) → ((¬¬A → ¬¬B) → (¬B → ¬A)) MP 87,86
89. ((A → B) → ((¬¬A → ¬¬B) → (¬B → ¬A))) → (((A → B) → (¬¬A → ¬¬B)) → ((A → B) → (¬B → ¬A))) LS2
90. ((A → B) → (¬¬A → ¬¬B)) → ((A → B) → (¬B → ¬A)) MP 89,88
91. (A → B) → (¬B → ¬A) MP 90,85

Hãy thử trực tuyến!

Một phiên bản dễ đọc hơn cho con người bằng cách sử dụng 5 bổ đề:

Lemma 1: From A → B and B → C, instantiate A → C. (5 steps)

1. B → C                                         given
2. (B → C) → (A → (B → C))                       L.S.1
3. A → (B → C)                                   M.P. (1,2)
4. (A → (B → C)) → ((A → B) → (A → C))           L.S.2
5. (A → B) → (A → C)                             M.P. (3,4)
6. A → B                                         given
7. A → C                                         M.P. (6,5)

Lemma 2: ¬A → (A → B) (7 steps)

1. ¬A → (¬B → ¬A)                                L.S.1
2. (¬B → ¬A) → (A → B)                           L.S.3
3. ¬A → (A → B)                                  Lemma 1 (1,2)

Lemma 3: From A → (B → C) and A → B, instantiate A → C. (3 steps)

1. A → (B → C)                                   given
2. (A → (B → C)) → ((A → B) → (A → C))           L.S.2
3. (A → B) → (A → C)                             M.P. (1,2)
4. A → B                                         given
5. A → C                                         M.P. (4,3)

Lemma 4: ¬¬A → A (31 steps)

1. ¬A → (A → ¬(B → (¬A → A)))                    Lemma 2
2. (¬A → (A → ¬(B → (¬A → A)))) → 
   ((¬A → A) → (¬A → ¬(B → (¬A → A))))           L.S.2
3. (¬A → A) → (¬A → ¬(B → (¬A → A)))             M.P. (1,2)
4. (¬A → ¬(B → (¬A → A))) →((B → (¬A → A)) → A)  L.S.3
5. (¬A → A) → ((B → (¬A → A)) → A)               Lemma 1 (3,4)
6. (¬A → A) → (B → (¬A → A))                     L.S.1
7. (¬A → A) → A                                  Lemma 3 (5,6)
8. ¬¬A → (¬A → A)                                Lemma 2
9. ¬¬A → A                                       Lemma 1 (8,7)

Lemma 5: (A → B) → (¬¬A → B) (43 steps)

1. (A → B) → (¬¬A → (A → B))                     L.S.1
2. (¬¬A → (A → B)) → ((¬¬A → A) → (¬¬A → B))     L.S.2
3. (A → B) → ((¬¬A → A) → (¬¬A → B))             Lemma 1 (1,2)
4. ¬¬A → A                                       Lemma 4
5. (¬¬A → A) → ((A → B) → (¬¬A → A))             L.S.1
6. (A → B) → (¬¬A → A)                           M.P. (4,5)
7. (A → B) → (¬¬A → B)                           Lemma 3 (3,6)

Theorem: (A → B) → (¬B → ¬A)

1. (A → B) → (¬¬A → B)                           Lemma 5
2. ¬¬¬B → ¬B                                     Lemma 4
3. (¬¬¬B → ¬B) → (B → ¬¬B)                       L.S.3
4. B → ¬¬B                                       M.P. (2,3)
5. (B → ¬¬B) → (¬¬A → (B → ¬¬B))                 L.S.1
6. ¬¬A → (B → ¬¬B)                               M.P. (4,5)
7. (¬¬A → (B → ¬¬B)) → ((¬¬A → B) → (¬¬A → ¬¬B)) L.S.2
8. (¬¬A → B) → (¬¬A → ¬¬B)                       M.P. (6,7)
9. (A → B) → (¬¬A → ¬¬B)                         Lemma 1 (1,8)
10.(¬¬A → ¬¬B) → (¬B → ¬A)                       L.S.3
11.(A → B) → (¬B → ¬A)                           Lemma 1 (9,10)

59 bước

Norman Megill, tác giả của Metamath đã nói với tôi về một bằng chứng 59 bước, mà tôi sẽ đăng ở đây trong wiki cộng đồng này. Bản gốc có thể được tìm thấy trong định lý 2.16 trên trang này.

http://us.metamath.org/mmsolitaire/pmproofs.txt

Norm nói: Trang này sẽ cung cấp rất nhiều thử thách để bạn đánh bại!

Đây là bằng chứng

((P -> Q) -> (~ Q -> ~ P)); ! *2.16
((P -> Q) -> (~ Q -> ~ P)); ! Result of proof
DD2D1DD2D13DD2D1DD22D2DD2D13DD2D1311D2D1D3DD2DD2D13DD2D1311
; ! 59 steps

Bằng chứng là trong ký hiệu Ba Lan, vì vậy nó bắt đầu từ kết luận và tiếp tục ngược cho đến khi mọi thuật ngữ đã được bão hòa bởi một tiên đề. Ánh xạ ký tự như sau: "1" là LS tiên đề 1, "2" là tiên đề LS 2, "3" là tiên đề LS 3 và "D" là Modus Ponens.

Đây là bằng chứng ở định dạng được đề xuất của @ WW

01 ax-1          $a |- ( ¬ ¬ ¬ B → ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) )
02 ax-1          $a |- ( ¬ ¬ ¬ B → ( ¬ ¬ ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) → ¬ ¬ ¬ B ) )
03 ax-3          $a |- ( ( ¬ ¬ ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) → ¬ ¬ ¬ B ) → ( ¬ ¬ B → ¬ ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) ) )
04 ax-1          $a |- ( ( ( ¬ ¬ ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) → ¬ ¬ ¬ B ) → ( ¬ ¬ B → ¬ ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) ) ) → ( ¬ ¬ ¬ B → ( ( ¬ ¬ ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) → ¬ ¬ ¬ B ) → ( ¬ ¬ B → ¬ ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) ) ) ) )
05 3,4 ax-mp     $a |- ( ¬ ¬ ¬ B → ( ( ¬ ¬ ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) → ¬ ¬ ¬ B ) → ( ¬ ¬ B → ¬ ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) ) ) )
06 ax-2          $a |- ( ( ¬ ¬ ¬ B → ( ( ¬ ¬ ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) → ¬ ¬ ¬ B ) → ( ¬ ¬ B → ¬ ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) ) ) ) → ( ( ¬ ¬ ¬ B → ( ¬ ¬ ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) → ¬ ¬ ¬ B ) ) → ( ¬ ¬ ¬ B → ( ¬ ¬ B → ¬ ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) ) ) ) )
07 5,6 ax-mp     $a |- ( ( ¬ ¬ ¬ B → ( ¬ ¬ ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) → ¬ ¬ ¬ B ) ) → ( ¬ ¬ ¬ B → ( ¬ ¬ B → ¬ ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) ) ) )
08 2,7 ax-mp     $a |- ( ¬ ¬ ¬ B → ( ¬ ¬ B → ¬ ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) ) )
09 ax-3          $a |- ( ( ¬ ¬ B → ¬ ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) ) → ( ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) → ¬ B ) )
10 ax-1          $a |- ( ( ( ¬ ¬ B → ¬ ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) ) → ( ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) → ¬ B ) ) → ( ¬ ¬ ¬ B → ( ( ¬ ¬ B → ¬ ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) ) → ( ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) → ¬ B ) ) ) )
11 9,10 ax-mp    $a |- ( ¬ ¬ ¬ B → ( ( ¬ ¬ B → ¬ ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) ) → ( ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) → ¬ B ) ) )
12 ax-2          $a |- ( ( ¬ ¬ ¬ B → ( ( ¬ ¬ B → ¬ ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) ) → ( ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) → ¬ B ) ) ) → ( ( ¬ ¬ ¬ B → ( ¬ ¬ B → ¬ ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) ) ) → ( ¬ ¬ ¬ B → ( ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) → ¬ B ) ) ) )
13 11,12 ax-mp   $a |- ( ( ¬ ¬ ¬ B → ( ¬ ¬ B → ¬ ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) ) ) → ( ¬ ¬ ¬ B → ( ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) → ¬ B ) ) )
14 8,13 ax-mp    $a |- ( ¬ ¬ ¬ B → ( ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) → ¬ B ) )
15 ax-2          $a |- ( ( ¬ ¬ ¬ B → ( ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) → ¬ B ) ) → ( ( ¬ ¬ ¬ B → ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) ) → ( ¬ ¬ ¬ B → ¬ B ) ) )
16 14,15 ax-mp   $a |- ( ( ¬ ¬ ¬ B → ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) ) → ( ¬ ¬ ¬ B → ¬ B ) )
17 1,16 ax-mp    $a |- ( ¬ ¬ ¬ B → ¬ B )
18 ax-3          $a |- ( ( ¬ ¬ ¬ B → ¬ B ) → ( B → ¬ ¬ B ) )
19 17,18 ax-mp   $a |- ( B → ¬ ¬ B )
20 ax-1          $a |- ( ( B → ¬ ¬ B ) → ( A → ( B → ¬ ¬ B ) ) )
21 19,20 ax-mp   $a |- ( A → ( B → ¬ ¬ B ) )
22 ax-2          $a |- ( ( A → ( B → ¬ ¬ B ) ) → ( ( A → B ) → ( A → ¬ ¬ B ) ) )
23 21,22 ax-mp   $a |- ( ( A → B ) → ( A → ¬ ¬ B ) )
24 ax-1          $a |- ( ( A → ¬ ¬ B ) → ( ¬ ¬ A → ( A → ¬ ¬ B ) ) )
25 ax-1          $a |- ( ¬ ¬ A → ( ¬ ¬ ( A → ¬ ¬ B ) → ¬ ¬ A ) )
26 ax-3          $a |- ( ( ¬ ¬ ( A → ¬ ¬ B ) → ¬ ¬ A ) → ( ¬ A → ¬ ( A → ¬ ¬ B ) ) )
27 ax-1          $a |- ( ( ( ¬ ¬ ( A → ¬ ¬ B ) → ¬ ¬ A ) → ( ¬ A → ¬ ( A → ¬ ¬ B ) ) ) → ( ¬ ¬ A → ( ( ¬ ¬ ( A → ¬ ¬ B ) → ¬ ¬ A ) → ( ¬ A → ¬ ( A → ¬ ¬ B ) ) ) ) )
28 26,27 ax-mp   $a |- ( ¬ ¬ A → ( ( ¬ ¬ ( A → ¬ ¬ B ) → ¬ ¬ A ) → ( ¬ A → ¬ ( A → ¬ ¬ B ) ) ) )
29 ax-2          $a |- ( ( ¬ ¬ A → ( ( ¬ ¬ ( A → ¬ ¬ B ) → ¬ ¬ A ) → ( ¬ A → ¬ ( A → ¬ ¬ B ) ) ) ) → ( ( ¬ ¬ A → ( ¬ ¬ ( A → ¬ ¬ B ) → ¬ ¬ A ) ) → ( ¬ ¬ A → ( ¬ A → ¬ ( A → ¬ ¬ B ) ) ) ) )
30 28,29 ax-mp   $a |- ( ( ¬ ¬ A → ( ¬ ¬ ( A → ¬ ¬ B ) → ¬ ¬ A ) ) → ( ¬ ¬ A → ( ¬ A → ¬ ( A → ¬ ¬ B ) ) ) )
31 25,30 ax-mp   $a |- ( ¬ ¬ A → ( ¬ A → ¬ ( A → ¬ ¬ B ) ) )
32 ax-3          $a |- ( ( ¬ A → ¬ ( A → ¬ ¬ B ) ) → ( ( A → ¬ ¬ B ) → A ) )
33 ax-1          $a |- ( ( ( ¬ A → ¬ ( A → ¬ ¬ B ) ) → ( ( A → ¬ ¬ B ) → A ) ) → ( ¬ ¬ A → ( ( ¬ A → ¬ ( A → ¬ ¬ B ) ) → ( ( A → ¬ ¬ B ) → A ) ) ) )
34 32,33 ax-mp   $a |- ( ¬ ¬ A → ( ( ¬ A → ¬ ( A → ¬ ¬ B ) ) → ( ( A → ¬ ¬ B ) → A ) ) )
35 ax-2          $a |- ( ( ¬ ¬ A → ( ( ¬ A → ¬ ( A → ¬ ¬ B ) ) → ( ( A → ¬ ¬ B ) → A ) ) ) → ( ( ¬ ¬ A → ( ¬ A → ¬ ( A → ¬ ¬ B ) ) ) → ( ¬ ¬ A → ( ( A → ¬ ¬ B ) → A ) ) ) )
36 34,35 ax-mp   $a |- ( ( ¬ ¬ A → ( ¬ A → ¬ ( A → ¬ ¬ B ) ) ) → ( ¬ ¬ A → ( ( A → ¬ ¬ B ) → A ) ) )
37 31,36 ax-mp   $a |- ( ¬ ¬ A → ( ( A → ¬ ¬ B ) → A ) )
38 ax-2          $a |- ( ( ¬ ¬ A → ( ( A → ¬ ¬ B ) → A ) ) → ( ( ¬ ¬ A → ( A → ¬ ¬ B ) ) → ( ¬ ¬ A → A ) ) )
39 37,38 ax-mp   $a |- ( ( ¬ ¬ A → ( A → ¬ ¬ B ) ) → ( ¬ ¬ A → A ) )
40 ax-2          $a |- ( ( ¬ ¬ A → ( A → ¬ ¬ B ) ) → ( ( ¬ ¬ A → A ) → ( ¬ ¬ A → ¬ ¬ B ) ) )
41 ax-2          $a |- ( ( ( ¬ ¬ A → ( A → ¬ ¬ B ) ) → ( ( ¬ ¬ A → A ) → ( ¬ ¬ A → ¬ ¬ B ) ) ) → ( ( ( ¬ ¬ A → ( A → ¬ ¬ B ) ) → ( ¬ ¬ A → A ) ) → ( ( ¬ ¬ A → ( A → ¬ ¬ B ) ) → ( ¬ ¬ A → ¬ ¬ B ) ) ) )
42 40,41 ax-mp   $a |- ( ( ( ¬ ¬ A → ( A → ¬ ¬ B ) ) → ( ¬ ¬ A → A ) ) → ( ( ¬ ¬ A → ( A → ¬ ¬ B ) ) → ( ¬ ¬ A → ¬ ¬ B ) ) )
43 39,42 ax-mp   $a |- ( ( ¬ ¬ A → ( A → ¬ ¬ B ) ) → ( ¬ ¬ A → ¬ ¬ B ) )
44 ax-1          $a |- ( ( ( ¬ ¬ A → ( A → ¬ ¬ B ) ) → ( ¬ ¬ A → ¬ ¬ B ) ) → ( ( A → ¬ ¬ B ) → ( ( ¬ ¬ A → ( A → ¬ ¬ B ) ) → ( ¬ ¬ A → ¬ ¬ B ) ) ) )
45 43,44 ax-mp   $a |- ( ( A → ¬ ¬ B ) → ( ( ¬ ¬ A → ( A → ¬ ¬ B ) ) → ( ¬ ¬ A → ¬ ¬ B ) ) )
46 ax-2          $a |- ( ( ( A → ¬ ¬ B ) → ( ( ¬ ¬ A → ( A → ¬ ¬ B ) ) → ( ¬ ¬ A → ¬ ¬ B ) ) ) → ( ( ( A → ¬ ¬ B ) → ( ¬ ¬ A → ( A → ¬ ¬ B ) ) ) → ( ( A → ¬ ¬ B ) → ( ¬ ¬ A → ¬ ¬ B ) ) ) )
47 45,46 ax-mp   $a |- ( ( ( A → ¬ ¬ B ) → ( ¬ ¬ A → ( A → ¬ ¬ B ) ) ) → ( ( A → ¬ ¬ B ) → ( ¬ ¬ A → ¬ ¬ B ) ) )
48 24,47 ax-mp   $a |- ( ( A → ¬ ¬ B ) → ( ¬ ¬ A → ¬ ¬ B ) )
49 ax-3          $a |- ( ( ¬ ¬ A → ¬ ¬ B ) → ( ¬ B → ¬ A ) )
50 ax-1          $a |- ( ( ( ¬ ¬ A → ¬ ¬ B ) → ( ¬ B → ¬ A ) ) → ( ( A → ¬ ¬ B ) → ( ( ¬ ¬ A → ¬ ¬ B ) → ( ¬ B → ¬ A ) ) ) )
51 49,50 ax-mp   $a |- ( ( A → ¬ ¬ B ) → ( ( ¬ ¬ A → ¬ ¬ B ) → ( ¬ B → ¬ A ) ) )
52 ax-2          $a |- ( ( ( A → ¬ ¬ B ) → ( ( ¬ ¬ A → ¬ ¬ B ) → ( ¬ B → ¬ A ) ) ) → ( ( ( A → ¬ ¬ B ) → ( ¬ ¬ A → ¬ ¬ B ) ) → ( ( A → ¬ ¬ B ) → ( ¬ B → ¬ A ) ) ) )
53 51,52 ax-mp   $a |- ( ( ( A → ¬ ¬ B ) → ( ¬ ¬ A → ¬ ¬ B ) ) → ( ( A → ¬ ¬ B ) → ( ¬ B → ¬ A ) ) )
54 48,53 ax-mp   $a |- ( ( A → ¬ ¬ B ) → ( ¬ B → ¬ A ) )
55 ax-1          $a |- ( ( ( A → ¬ ¬ B ) → ( ¬ B → ¬ A ) ) → ( ( A → B ) → ( ( A → ¬ ¬ B ) → ( ¬ B → ¬ A ) ) ) )
56 54,55 ax-mp   $a |- ( ( A → B ) → ( ( A → ¬ ¬ B ) → ( ¬ B → ¬ A ) ) )
57 ax-2          $a |- ( ( ( A → B ) → ( ( A → ¬ ¬ B ) → ( ¬ B → ¬ A ) ) ) → ( ( ( A → B ) → ( A → ¬ ¬ B ) ) → ( ( A → B ) → ( ¬ B → ¬ A ) ) ) )
58 56,57 ax-mp   $a |- ( ( ( A → B ) → ( A → ¬ ¬ B ) ) → ( ( A → B ) → ( ¬ B → ¬ A ) ) )
59 23,58 ax-mp   $a |- ( ( A → B ) → ( ¬ B → ¬ A ) )

Hãy thử trực tuyến!

Đây là trong The Proof Incredible Machine

png svg