Bối cảnh: số Ramsey $R(r,s)$ cho số lượng tối thiểu của đỉnh $v$ trong đồ thị đầy đủ $K_v$ như vậy mà một màu đỏ / xanh cạnh màu của $K_v$ có ít nhất một màu đỏ $K_r$ hoặc một màu xanh $K_s$ . Giới hạn cho lớn hơn , $r, s$ rất khó thiết lập.

Nhiệm vụ của bạn là để sản xuất các số $R(r,s)$ cho $1 \le r,s \le 5$ .

Đầu vào

Hai số nguyên với 1 ≤ r ≤ 5 và 1 ≤ s ≤ 5 .$r, s$$1 \le r \le 5$$1 \le s \le 5$

Đầu ra

như được đưa ra trong bảng này:$R(r,s)$

  s   1    2    3    4      5
r +--------------------------
1 |   1    1    1    1      1
2 |   1    2    3    4      5
3 |   1    3    6    9     14
4 |   1    4    9   18     25
5 |   1    5   14   25  43-48

Lưu ý rằng và s có thể hoán đổi cho nhau: R ( r , s ) = R ( s , r ) .$r$$s$$R(r,s) = R(s,r)$

Đối với bạn có thể xuất bất kỳ số nguyên nào trong khoảng từ 43 đến 48 . Tại thời điểm câu hỏi này được đăng, đây là những giới hạn được biết đến nhiều nhất.$R(5,5)$$43$$48$

JavaScript (ES6), 51 49 byte

Đưa đầu vào theo cú pháp currying (r)(s).

r=>s=>--r*--s+[9,1,,13,2,,3,27,6][r<2|s<2||r*s%9]

Hãy thử trực tuyến!

Làm sao?

Là một xấp xỉ đầu tiên, chúng tôi sử dụng công thức:

 0  0  0  0  0
 0  1  2  3  4
 0  2  4  6  8
 0  3  6  9 12
 0  4  8 12 16

Nếu chúng ta có , chúng ta chỉ cần thêm 1 :$\min(r,s)<3$$1$

 1  1  1  1  1
 1  2  3  4  5
 1  3  -  -  -
 1  4  -  -  -
 1  5  -  -  -

Mặt khác, chúng tôi thêm một giá trị được chọn từ bảng tra cứu có khóa được xác định bởi:$k$

 k:                    table[k]:           (r-1)(s-1):         output:
 -  -  -  -  -         -  -  -  -  -       -  -  -  -  -       -  -  -  -  -
 -  -  -  -  -         -  -  -  -  -       -  -  -  -  -       -  -  -  -  -
 -  -  4  6  8   -->   -  -  2  3  6   +   -  -  4  6  8   =   -  -  6  9 14
 -  -  6  0  3         -  -  3  9 13       -  -  6  9 12       -  -  9 18 25
 -  -  8  3  7         -  -  6 13 27       -  -  8 12 16       -  - 14 25 43

JavaScript (Node.js) , 56 55 byte

f=(x,y)=>x<2|y<2||f(x,y-1)+f(x-1,y)-(x*y==12)-7*(x+y>8)

Hãy thử trực tuyến! Tôi nhận thấy rằng bảng giống với tam giác của Pascal nhưng có hệ số hiệu chỉnh. Chỉnh sửa: Đã lưu 1 byte nhờ @sundar.

Thạch ,  17  16 byte

’ScḢƊ_:¥9“ ı?0‘y

Hãy thử trực tuyến! Hoặc xem một bộ thử nghiệm .

Thay thế 0với +, ,, -, ., hoặc /để thiết lập bằng với 43 , 44 , 45 , 46 , hoặc 47 tương ứng (chứ không phải là 48 ở đây).$R(5,5)$$43$$44$$45$$46$$47$$48$

Làm sao?

Kể từ chúng ta có thể thấy rằng:$R(r,s)\leq R(r-1,s)+R(r,s-1)$

Đây là ’ScḢƊvà sẽ sản xuất:

 1  1  1  1  1
 1  2  3  4  5
 1  3  6 10 15
 1  4 10 20 35
 1  5 15 35 70

Nếu chúng tôi trừ đi một cho mỗi lần chín kết quả, chúng tôi sẽ liên kết ba mục tiêu nữa với mục tiêu của chúng tôi (điều này đạt được với _:¥9):

 1  1  1  1  1
 1  2  3  4  5
 1  3  6  9 14
 1  4  9 18 32
 1  5 14 32 63

$32$$63$y“ ı?0‘y

’ScḢƊ_:¥9“ ı?0‘y - Link: list of integers [r, s]
’                - decrement              [r-1, s-1]
    Ɗ            - last 3 links as a monad i.e. f([r-1, s-1]):
 S               -   sum                  r-1+s-1 = r+s-2
   Ḣ             -   head                 r-1
  c              -   binomial             r+s-2 choose r-1
        9        - literal nine
       ¥         - last 2 links as a dyad i.e. f(r+s-2 choose r-1, 9):
      :          -   integer division     (r+s-2 choose r-1)//9
     _           -   subtract             (r+s-2 choose r-1)-((r+s-2 choose r-1)//9)
         “ ı?0‘  - code-page index list   [32,25,63,48]
               y - translate              change 32->25 and 63->48

Python 2 , 62 byte

def f(c):M=max(c);u=M<5;print[48,25-u*7,3*M+~u-u,M,1][-min(c)]

Hãy thử trực tuyến!

Python 2 , 63 byte

def f(c):M=max(c);print[48,M%2*7+18,3*~-M+2*(M>4),M,1][-min(c)]

Hãy thử trực tuyến!

Điều này thật nực cười, tôi sẽ sớm hối hận vì đã đăng bài này ... Nhưng eh, ¯ \ _ () _ /. Cạo sạch 1 byte nhờ loại Jonathan Allan của chúng tôi :). Có lẽ sẽ sớm bị vượt qua khoảng 20 byte mặc dù ...

Julia 0,6 , 71 61 59 57 byte

A->((r,s)=sort(A);r<3?s^~-r:3r+(s^2-4s+3)*((r==s)+r-2)-3)

Hãy thử trực tuyến!

Ungolfed (tốt, dễ đọc hơn một chút):

function f_(A)
  (r, s) = sort(A)

  if r < 3
    result = s^(r-1)
  else
    result = 3*r + 
               (s^2 - 4*s + 3) * ((r == s) + r - 2) -
               3
  end

  return result
end

Nó làm gì?

Lấy đầu vào là mảng Achứa r và s. Giải nén mảng thành r và s với số nhỏ hơn là r, sử dụng (r,s)=sort(A).

$s^{r - 1}$$s^0 = 1$$s^1 = s$
r<3?s^(r-1)r<3?s^~-r

Đối với những người khác, tôi bắt đầu nhận thấy rằng đầu ra là:

• $2\times3 + [0, 3, 8]$
• $2\times4 + \ \ [10, 17]$
• $2\times5 + \ \ \ \ \ [35]$

(Ban đầu tôi làm việc với f (5,5) = 45 để thuận tiện.)

Điều này trông giống như một mô hình có khả năng sử dụng - tất cả chúng đều có 2rđiểm chung, 17 là 8 * 2 + 1, 35 là 17 * 2 + 1, 10 là 3 * 3 + 1. Tôi bắt đầu với việc trích xuất giá trị cơ sở từ [0, 3, 8], vì [0 3 8][s-2](sau này trở thành ngắn hơn (s^2-4s+3)).

Cố gắng để có được các giá trị chính xác cho r = 3, 4 và 5 với điều này đã trải qua nhiều giai đoạn, bao gồm

2r+[0 3 8][s-2]*(r>3?3-s+r:1)+(r-3)^3+(r>4?1:0)

và

2r+(v=[0 3 8][s-2])+(r-3)*(v+1)+(r==s)v

Mở rộng cái sau và đơn giản hóa nó dẫn đến mã được đăng.

x86, 49 37 byte

Không được tối ưu hóa lắm, chỉ khai thác các thuộc tính của ba hàng đầu tiên của bảng. Trong khi tôi đang viết điều này, tôi nhận ra rằng mã về cơ bản là một bảng nhảy để một bảng nhảy có thể tiết kiệm nhiều byte. Đầu vào trong eaxvà ebx, đầu ra trong eax.

-12 bằng cách kết hợp các trường hợp r >= 3vào một bảng tra cứu (ban đầu chỉ là r >= 4) và sử dụng đề xuất cmp/ jae/ jnevới các cờ vẫn được đặt để chỉ r1,r2,r3được phân biệt bởi một cmp! Cũng lập chỉ mục vào bảng thông minh bằng cách sử dụng bù không đổi.

start:
        cmp     %ebx, %eax
        jbe     r1
        xchg    %eax, %ebx              # ensure r <= s

r1:
        cmp     $2, %al             
        jae     r2                      # if r == 1: ret r
        ret

r2:     
        jne     r3                      # if r == 2: ret s 
        mov     %ebx, %eax
        ret

r3:
        mov     table-6(%ebx,%eax),%al  # use r+s-6 as index
        sub     %al, %bl                # temp = s - table_val
        cmp     $-10, %bl               # equal if s == 4, table_val == 14
        jne     exit
        add     $4, %al                 # ret 18 instead of 14 

exit:
        ret                        

table:
        .byte   6, 9, 14, 25, 43

Hexdump

00000507  39 d8 76 01 93 3c 02 73  01 c3 75 03 89 d8 c3 8a  |9.v..<.s..u.....|
00000517  84 03 21 05 00 00 28 c3  80 fb f6 75 02 04 04 c3  |..!...(....u....|
00000527  06 09 0e 19 2b                                    |....+|

Python 2 , 70 byte

f=lambda R,S:R<=S and[1,S,[6,9,14][S-3],[18,25][S&1],45][R-1]or f(S,R)

Hãy thử trực tuyến!

MATL, 25 21 byte

+2-lGqXnt8/k-t20/k6*-

Dùng thử trên MATL Online

Cố gắng chuyển câu trả lời Jelly của Jonathan Allan sang MATL.

+2-lGqXn$\binom{r+s-2}{r-1}$

t8/k - nhân đôi số đó, chia cho 8 và sàn

- - trừ đi kết quả trước đó (Chúng tôi trừ đi số lần 8 đi, thay vì 9 trong câu trả lời Jelly. Kết quả là giống nhau cho tất cả trừ 35 và 70, ở đây đưa ra 31 và 62.)

t20/k - nhân đôi kết quả đó, chia cho 20 và sàn (cho 0 cho kết quả đã đúng, 1 cho 31, 3 cho 62)

6* - nhân số đó với 6

- - trừ đi từ kết quả (31 - 6 = 25, 62 - 18 = 44)

Lớn hơn:

+t2-lGqXntb9<Q3w^/k-t20>+

Dùng thử trên MATL Online

Python 3 , 74 byte

lambda *a:[[1]*5,[2,3,4,5],[6,9,14],[18,25],[43]][min(a)-1][max(a)-min(a)]

Hãy thử trực tuyến!

Proton , 52 byte

Gần cổng câu trả lời Python của tôi .

c=>[48,(M=max(c))%2*7+18,3*M-(M>4?1:3),M,1][-min(c)]

Hãy thử trực tuyến!

Java 8, 62 byte

(r,s)->--r*--s+new int[]{9,1,0,13,2,0,3,27,6}[r<2|s<2?1:r*s%9]

Hàm Lambda, cổng câu trả lời JavaScript của Arnauld . Hãy thử trực tuyến tại đây .

Java, 83 byte

int f(int x,int y){return x<2|y<2?1:f(x,y-1)+f(x-1,y)-(x*y==12?1:0)-7*(x+y>8?1:0);}

Hàm đệ quy, cổng trả lời JavaScript của Neil . Hãy thử trực tuyến tại đây .

C (gcc), 57 byte

f(x,y){x=x<2|y<2?:f(x,y-1)+f(x-1,y)-(x*y==12)-7*(x+y>8);}

Hàm đệ quy, cổng trả lời JavaScript của Neil . Hãy thử trực tuyến tại đây .

C (gcc), 63 byte

f(r,s){r=--r*--s+(int[]){9,1,0,13,2,0,3,27,6}[r<2|s<2?:r*s%9];}

Câu trả lời JavaScript của cảng Arnauld . Hãy thử trực tuyến tại đây .