9

Vấn đề

Cho một giá trị n, hãy tưởng tượng một phong cảnh núi được ghi trong một tham chiếu (0, 0) đến (2n, 0). Không có khoảng trắng giữa các sườn dốc và cả ngọn núi không xuống dưới trục x. Vấn đề cần giải quyết là: cho n (xác định kích thước của cảnh quan) và số k của các đỉnh (k luôn nhỏ hơn hoặc bằng n), có bao nhiêu tổ hợp núi có thể với các đỉnh k?

Đầu vào

n người đại diện cho chiều rộng của cảnh quan và k là số lượng đỉnh.

Đầu ra

Chỉ cần số lượng kết hợp có thể.

Thí dụ

Cho n = 3 và k = 2 câu trả lời là 3 kết hợp.

Chỉ cần đưa ra một ví dụ trực quan, chúng là như sau:

   /\     /\      /\/\
/\/  \   /  \/\  /    \

là 3 kết hợp có thể sử dụng vị trí 6 (3 * 2) và 2 đỉnh.

Chỉnh sửa: - thêm ví dụ -

n  k  result
2  1  1
4  1  1
4  3  6
5  2  10

Điều kiện chiến thắng

Luật golf tiêu chuẩn được áp dụng. Đệ trình ngắn nhất tính bằng byte thắng.

code-golf combinatorics recursion

— kết hợpD
nguồn

4

Đây có giống như "tìm số biểu thức của ncặp ngoặc đơn phù hợp có chứa chính xác các ktrường hợp ()" không?

— xnor

4

https://oeis.org/A001263 ?

— xnor

@xnor đúng vậy.

— Jonathan Allan

4

Bạn có thể muốn cập nhật thử thách với một tiêu đề rõ ràng hơn, chẳng hạn như tính toán số Narayana .

— Arnauld

Bạn có thể xác nhận xem có kphải xử lý đầu vào bằng 0 hay không? Nếu vậy, một đầu vào có giá trị nbằng 0 ( kcũng bằng 0 theo định nghĩa) phải được xử lý?

— Jonathan Allan

7

Python, 40 byte

f=lambda n,k:k<2or~-n*n*f(n-1,k-1)/~-k/k

Hãy thử trực tuyến!

Sử dụng tái phát $a_{n,1} = 1$ , $a_{n,k} = \frac{n(n-1)}{k(k-1)}a_{n-1,k-1}$ .

— Anders Kaseorg
nguồn

6

Thạch , 7 byte

cⱮṫ-P÷⁸

Hãy thử trực tuyến!

Đưa đầu vào như nsau đó k. Sử dụng công thức

$N(n,k)=\frac{1}{n}\binom{n}{k}\binom{n}{k-1}$

mà tôi tìm thấy trên Wikipedia .

cⱮṫ-P÷⁸
c        Binomial coefficient of n and...
 Ɱ       each of 1..k
  ṫ-     Keep the last two. ṫ is tail, - is -1.
    P    Product of the two numbers.
     ÷   Divide by
      ⁸  n.

7 byte

Mỗi dòng hoạt động trên chính nó.

,’$c@P÷
c@€ṫ-P÷

Đưa đầu vào như ksau đó n.

7 byte

cⱮ×ƝṪ÷⁸

Cảm ơn Jonathan Allan cho cái này.

— Đông Nam
nguồn

Đợi ... đuôi được tự động định nghĩa là 2 số? (Không biết Jelly chút nào, chỉ là một câu hỏi ngớ ngẩn)

— Quintec

@Quintec Có hai chức năng đuôi. Một ( Ṫ) chỉ lấy phần tử cuối cùng của một đối số và một phần tử tôi đã sử dụng ( ṫ) có hai đối số. Đối số nắm tay là một danh sách và đối số thứ hai là một số (Trong trường hợp của tôi được -1đại diện bởi một -trong mã) cho bạn biết có bao nhiêu phần tử để lưu. Có -1hai yếu tố là cách tốt nhất để xác địnhṫ

— dylnan

Gotcha, cảm ơn! Tôi thấy cách thạch được xây dựng cho golf ... hehe

— Quintec

1

Một biến thể khác cho 7 f (n, k):cⱮ×ƝṪ÷⁸

— Jonathan Allan

4

JavaScript (ES6), 33 30 byte

Đã lưu 3 byte nhờ @Shaggy

Đưa đầu vào là (n)(k).

n=>g=k=>--k?n*--n/-~k/k*g(k):1

Hãy thử trực tuyến!

Thực hiện định nghĩa đệ quy được sử dụng bởi Anders Kaseorg .

JavaScript (ES7), 59 58 49 45 byte

Đưa đầu vào là (n)(k).

n=>k=>k/n/(n-k+1)*(g=_=>k?n--/k--*g():1)()**2

Hãy thử trực tuyến!

Tính toán:

{một}_{n, k} = = \frac{1}{k} (\binom{n - 1}{k - 1}) (\binom{n}{k - 1}) = = \frac{1}{n} (\binom{n}{k}) (\binom{n}{k - 1}) = = \frac{1}{n} {(\binom{n}{k})}^{2} \times \frac{k}{n - k + 1}

$a_{n,k}=\frac{1}{k}\binom{n-1}{k-1}\binom{n}{k-1}=\frac{1}{n}\binom{n}{k}\binom{n}{k-1}=\frac{1}{n}\binom{n}{k}^2\times\frac{k}{n-k+1}$

Bắt nguồn từ A001263 (công thức đầu tiên).

— Arnauld
nguồn

-3 byte với currying.

— Shaggy

@Shaggy Doh ... Cảm ơn. Bản sửa đổi số 7 cuối cùng trông giống như bản sửa đổi số 1 nên có. : p

— Arnauld

3

Ngôn ngữ Wolfram (Mathicala) , 27 byte

Ba phiên bản, tất cả cùng chiều dài:

(b=Binomial)@##b[#,#2-1]/#&

Binomial@##^2#2/(#-#2+1)/#&

1/(Beta[#2,d=#-#2+1]^2d##)&

Hãy thử trực tuyến!(Chỉ là phiên bản đầu tiên, nhưng bạn có thể sao chép và dán để thử các phiên bản khác.)

\frac{n! (n - 1)!}{k! (k - 1)! (n - k)! (n - k - 1)!}

$\frac{n!(n-1)!}{k!(k-1)!(n-k)!(n-k-1)!}$

— Misha Lavrov
nguồn

2

J , 17 11 byte

]%~!*<:@[!]

Hãy thử trực tuyến!

Đưa ra nnhư là lý lẽ đúng,k như là bên trái. Sử dụng cùng một công thức như câu trả lời Jelly của dylnan và giải pháp APL của Quintec.

Giải trình:

            ] - n  
           !  - choose
       <:@[   - k-1
      *       - multiplied by
     !        - n choose k
   %~         - divided by
  ]           - n

— Galen Ivanov
nguồn

2

APL (Dyalog), 19 18 16 12 byte

⊢÷⍨!×⊢!⍨¯1+⊣

Cảm ơn @Galen Ivanov cho -4 byte

Sử dụng danh tính trong chuỗi OEIS. Mất k bên trái và n bên phải.

TIO

— Quintec
nguồn

⊢÷⍨!×⊢!⍨¯1+⊣cho 12 byte , đối số đảo ngược

— Galen Ivanov

@GalenIvanov Cảm ơn, APL ngầm của tôi cực kỳ yếu

— Quintec

APL của tôi không tốt, tôi chỉ có cơ hội để dùng thử, sau giải pháp J của tôi :)

— Galen Ivanov

1

Ruby , 50 byte

->l,n{eval [[*n..l]*2*?*,l,n,[*1..l-=n]*2,l+1]*?/}

Hãy thử trực tuyến!

— GB
nguồn

1

Lisp thông thường , 76 byte

(defun x(n k)(cond((= k 1)1)(t(*(/(* n(1- n))(* k(1- k)))(x(1- n)(1- k))))))

Hãy thử trực tuyến!

— JRowan
nguồn

Bạn có thể lưu 2 byte bằng cách xóa khoảng trắng sau \ và sau x

— Galen Ivanov

1

Chỉ cần cập nhật cảm ơn

— JRowan

Đề xuất (*(1- x)x)thay vì(* x(1- x))

— trần mèo

1

Perl 6 , 33 byte

{[*] ($^n-$^k X/(2..$k X-^2))X+1}

Hãy thử trực tuyến!

Sử dụng công thức

{một}_{n, k} = = (\binom{n - 1}{k - 1}) \times \frac{1}{k} (\binom{n}{k - 1}) = = Π_{Tôi = = 1}^{k - 1} (\frac{n - k}{Tôi} + 1) \times Π_{Tôi = = 2}^{k} (\frac{n - k}{Tôi} + 1)

$a_{n,k}=\binom{n-1}{k-1}\times\frac{1}{k}\binom{n}{k-1}=\prod_{i=1}^{k-1}(\frac{n-k}{i}+1)\times\prod_{i=2}^{k}(\frac{n-k}{i}+1)$

Giải trình

{[*]                            }  # Product of
     ($^n-$^k X/                   # n-k divided by
                (2..$k X-^2))      # numbers in ranges [1,k-1], [2,k]
                             X+1   # plus one.

Phiên bản thay thế, 39 byte

{combinations(|@_)²/(1+[-] @_)/[/] @_}

Hãy thử trực tuyến!

Sử dụng công thức từ câu trả lời của Arnauld:

{một}_{n, k} = = \frac{1}{n} {(\binom{n}{k})}^{2} \times \frac{k}{n - k + 1}

$a_{n,k}=\frac{1}{n}\binom{n}{k}^2\times\frac{k}{n-k+1}$

— nwellnhof
nguồn

0

Thạch , 8 byte

,’$c’}P:

Một liên kết dyadic chấp nhận nở bên trái và kbên phải mang lại số lượng.

Hãy thử trực tuyến!

— Jonathan Allan
nguồn

0

Stax , 9 byte

ÇäO╪∙╜5‼O

Chạy và gỡ lỗi nó

Tôi đang sử dụng công thức của dylnan trong stax.

Giải nén, không ghi chú và nhận xét chương trình trông như thế này.

        program begins with `n` and `k` on input stack
{       begin block for mapping
  [     duplicate 2nd element from top of stack (duplicates n)
  |C    combinatorial choose operation
m       map block over array, input k is implicitly converted to [1..k]
O       push integer one *underneath* mapped array
E       explode array onto stack
*       multiply top two elements - if array had only element, then the pushed one is used
,/      pop `n` from input stack and divide

Chạy cái này

— đệ quy
nguồn

0

APL (NARS), 17 ký tự, 34 byte

{⍺÷⍨(⍵!⍺)×⍺!⍨⍵-1}

kiểm tra:

  f←{⍺÷⍨(⍵!⍺)×⍺!⍨⍵-1}
  (2 f 1)(4 f 1)(4 f 3)(5 f 2)    
1 1 6 10

— RosLuP
nguồn

Kết hợp khác nhau có thể

Python, 40 byte

Thạch , 7 byte

JavaScript (ES6), 33 30 byte

JavaScript (ES7), 59 58 49 45 byte

Ngôn ngữ Wolfram (Mathicala) , 27 byte

J , 17 11 byte

Giải trình:

APL (Dyalog), 19 18 16 12 byte

Ruby , 50 byte

Lisp thông thường , 76 byte

Perl 6 , 33 byte

Giải trình

Phiên bản thay thế, 39 byte

Thạch , 8 byte

Stax , 9 byte

APL (NARS), 17 ký tự, 34 byte