Mục tiêu

Mục tiêu của thử thách này là tạo ra một hàm ntính toán số cách phân chia n X 1lưới thành các hình tam giác trong đó tất cả các đỉnh của các hình tam giác đều nằm trên các điểm lưới.

Thí dụ

Ví dụ: có 14 cách để phân vùng lưới 2 x 1, do đó, f(2) = 14thông qua các phân vùng sau trong đó các phân vùng có 2, 2, 2, 2, 4 và 2 hướng khác nhau tương ứng.

Chấm điểm

Đây là mã golf , vì vậy mã ngắn nhất sẽ thắng.

05AB1E , 13 byte

·LÉœÙεÅγo;P}O

Cổng câu trả lời Jelly của @Bubbler .

Rất chậm do hoán vị dựng sẵn.

Hãy thử trực tuyến hoặc xác minh bốn đầu vào đầu tiên .

Giải trình:

·                # Double the (implicit) input
 L               # Create a list in the range [1, doubled_input]
  É              # Check for each if they're odd (1 if truthy, 0 is falsey)
                 # We now have a list of n 0s and n 1s (n being the input)
   œ             # Get all permutations of that list
    Ù            # Only leave the unique permutations
     ε     }     # Map each permutation to:
      Åγ         #  Run-length encode the current value (short for `γ€g`)
        o        #  Take 2 to the power for each
         ;       #  Halve each
          P      #  Take the product of the mapped permutation
            O    # Sum all mapped values together (and output implicitly)

Haskell , 60 55 54 52 byte

Sau khi vẽ và lập trình rất nhiều ví dụ, tôi nhận ra rằng đây cũng giống như vấn đề của các tân binh:

$(n+1) \times (n+1)$$(0,0)$$(n,n)$$+(1,0)$$+(0,1)$

$1 \times n$

Cảm ơn @PeterTaylor cho -6 byte và @PostLeftGarfHunter cho -2 byte!

b 0=1
b 1=2
b n=div((10*n-6)*b(n-1)-9*(n-2)*b(n-2))n

Hãy thử trực tuyến!

Haskell , 42 byte

0?0=1
a?b=sum[a?i+i?a|i<-[0..b-1]]
f n=n?n

Hãy thử trực tuyến!

Một triển khai khá trực tiếp mà đệ quy trên 2 biến.

Đây là cách chúng ta có thể có được giải pháp này. Bắt đầu với mã thực hiện một công thức đệ quy trực tiếp:

54 byte

0%0=1
a%b=sum$map(a%)[0..b-1]++map(b%)[0..a-1]
f n=n%n

Hãy thử trực tuyến!

Sử dụng giải thích di chuyển tân binh của flawr , a%blà số đường dẫn đưa rook từ đó (a,b)đến (0,0), chỉ sử dụng di chuyển giảm tọa độ. Di chuyển đầu tiên giảm ahoặc giảm b, giữ nguyên khác, do đó công thức đệ quy.

49 byte

a?b=sum$map(a%)[0..b-1]
0%0=1
a%b=a?b+b?a
f n=n%n

Hãy thử trực tuyến!

Chúng ta có thể tránh sự lặp lại map(a%)[0..b-1]++map(b%)[0..a-1]bằng cách lưu ý rằng hai nửa giống nhau avà bhoán đổi. Cuộc gọi phụ trợ a?bđếm các đường dẫn nơi di chuyển đầu tiên giảm avà do đó, đếm các đường dẫn b?adi chuyển đầu tiên giảm b. Đây là nói chung khác nhau, và họ thêm vào a%b.

Tổng kết trong a?bcũng có thể được viết như một sự hiểu biết danh sách a?b=sum[a%i|i<-[0..b-1]].

42 byte

0?0=1
a?b=sum[a?i+i?a|i<-[0..b-1]]
f n=n?n

Hãy thử trực tuyến!

Cuối cùng, chúng tôi thoát khỏi %và chỉ viết đệ quy ?bằng cách thay thế a%ibằng a?i+i?atrong cuộc gọi đệ quy.

Trường hợp cơ sở mới khiến điều này ?mang lại kết quả gấp đôi so với ?phiên bản 49 byte, kể từ đó 0?0=1, chúng ta sẽ có 0%0=0?0+0?0=2. Điều này cho phép sử dụng xác định f n=n?nmà không cần giảm một nửa mà chúng ta cần phải làm.

CJam (24 byte)

{2,*e!{e`0f=:(1b2\#}%1b}

Bản demo trực tuyến

Điều này sử dụng cách tiếp cận của Bubbler về tổng các hoán vị n0 và n1.

Mổ xẻ

{         e# Define a block
  2,*     e#   Given input n, create an array of n 0s and n 1s
  e!      e#   Generate all permutations of that array
  {       e#   Map:
    e`    e#     Run-length encode
    0f=:( e#     Extract just the lengths and decrement them
    1b    e#     Sum
    2\#   e#     Raise 2 to the power of that sum
  }%
  1b      e#  Sum the mapped values
}

Cách tiếp cận khác (28 byte)

{_1aa{_2$,f{j}@@,f{j}+1b}2j}

Bản demo trực tuyến

Mổ xẻ

Các hình tam giác đều có một cạnh ngang và hai cạnh liên kết các đường ngang. Dán nhãn các cạnh không nằm ngang bằng một tuple của hai hợp âm x của chúng và sắp xếp theo từ vựng. Sau đó, cạnh đầu tiên là (0,0), cạnh cuối cùng (n,n)và hai cạnh liên tiếp khác nhau ở một trong hai vị trí. Điều này tạo ra một đệ quy đơn giản, mà tôi đã thực hiện bằng cách sử dụng toán tử đệ quy được ghi nhớ j:

{            e# Define a block
  _          e#   Duplicate the argument to get n n
  1aa        e#   Base case for recursion: 0 0 => 1
  {          e#   Recursive body taking args a b
    _2$,f{j} e#     Recurse on 0 b up to a-1 b
    @@,f{j}  e#     Recurse on a 0 up to a b-1
    +1b      e#     Combine and sum
  }2j        e#   Memoised recursion with 2 args
}

chú thích

Đây không phải là lần đầu tiên tôi muốn fjđược hỗ trợ trong CJam. Ở đây nó cũng sẽ đưa số điểm xuống còn 24 byte. Có lẽ tôi nên thử viết một bản vá ...

Thạch , ₁₅ 14 byte

Ø.xŒ!QŒɠ€’§2*S

Hãy thử trực tuyến!

-1 byte dựa trên nhận xét của Peter Taylor.

Sử dụng minh họa của flawr trực tiếp, thay vì công thức kết quả.

Làm thế nào nó hoạt động

Ø.xŒ!QŒɠ€’§2*S    Main link (monad). Input: positive integer N.
Ø.x               Make an array containing N zeros and ones
   Œ!Q            All unique permutations
      Œɠ€         Run-length encode on each permutation
         ’§       Decrement and sum each
           2*S    Raise to power of 2 and sum

Đi tất cả các tuyến đường có thể trên một lưới vuông. Số cách để di chuyển các đơn vị L theo một hướng là một rook là 2**(L-1). Áp dụng điều này cho mọi tuyến đường và tổng hợp số cách để đi qua từng tuyến đường.

Than , 44 31 byte

gạch bỏ 44 vẫn là thường xuyên 44

Ｆ⊕θ«≔⟦⟧ηＦ⊕θ⊞ηΣ∨⁺ηＥυ§λκ¹⊞υη»Ｉ⊟⊟υ

Hãy thử trực tuyến! Giải thích: Hoạt động bằng cách tính toán số cách để phân chia một hình thang có độ dài cạnh đối diện m,nthành các hình tam giác mà tất cả nằm trên các số nguyên. Đây chỉ đơn giản là một trường hợp chung của hình chữ nhật có kích thước ntrong câu hỏi. Số lượng phân vùng được đưa ra đệ quy dưới dạng tổng của số lượng phân vùng cho tất cả các mặt m,0..n-1và n,0..m-1. Điều này tương đương với vấn đề tổng quát của các tân binh, OEIS A035002 . Mã chỉ đơn giản là tính toán số lượng phân vùng làm việc 0,0cho đến khi n,nsử dụng các giá trị được tính toán trước đó.

Ｆ⊕θ«

Vòng qua các hàng 0..n.

≔⟦⟧η

Bắt đầu với một hàng trống.

Ｆ⊕θ

Vòng qua các cột trong hàng 0..n.

⊞ηΣ∨⁺ηＥυ§λκ¹

Lấy hàng cho đến nay và các giá trị trong các hàng trước tại cột hiện tại và thêm tổng cộng vào hàng hiện tại. Tuy nhiên, nếu không có giá trị nào cả, thì thay thế 1bằng tổng.

⊞υη»

Thêm hàng đã hoàn thành vào danh sách các hàng cho đến nay.

Ｉ⊟⊟υ

Xuất giá trị cuối cùng được tính toán.

JavaScript (ES6),  45 44  42 byte

Sử dụng công thức đệ quy được tìm thấy bởi Peter Taylor và flawr .

f=n=>n<2?n+1:(10-6/n)*f(--n)+9/~n*f(--n)*n

Hãy thử trực tuyến!

Pari / GP , 43 byte

Theo OEIS , chức năng tạo ra chuỗi này là

n->Vec(sqrt((1-x)/(1-9*x)+O(x^n++))+1)[n]/2

Hãy thử trực tuyến!

Python 3 , 51 byte

lambda n:-~n*(n<2)or(10-6/n)*f(n-1)-(9-18/n)*f(n-2)

Hãy thử trực tuyến!

Cảng câu trả lời của flawr