Mã máy x86 (SIMD 4x float sử dụng SSE1 & AVX 128 bit) 94 byte
Mã máy x86 (gấp đôi SIMD sử dụng AVX 256 bit) 123 byte
floatvượt qua các trường hợp kiểm tra trong câu hỏi, nhưng với ngưỡng thoát vòng lặp đủ nhỏ để thực hiện điều đó, thật dễ dàng để nó bị mắc kẹt trong một vòng lặp vô hạn với các đầu vào ngẫu nhiên.
Các lệnh chính xác được đóng gói đơn SSE1 dài 3 byte, nhưng các lệnh SSE2 và AVX đơn giản dài 4 byte. (Các lệnh đơn vô hướng như sqrtsscũng dài 4 byte, đó là lý do tại sao tôi sử dụng sqrtpsmặc dù tôi chỉ quan tâm đến phần tử thấp. Nó thậm chí không chậm hơn sqrts trên phần cứng hiện đại). Tôi đã sử dụng AVX cho đích không phá hủy để lưu 2 byte so với Movaps + op.
Trong phiên bản kép, chúng ta vẫn có thể thực hiện một vài lần movlhpsđể sao chép các đoạn 64 bit (vì chúng ta thường chỉ quan tâm đến phần tử thấp của tổng số ngang). Tổng chiều ngang của vectơ SIMD 256 bit cũng cần thêm một phần vextractf128để có được một nửa cao, so với chiến lược 2x chậm nhưng nhỏ haddpsđể nổi . Cácdoublephiên bản cũng cần 2x hằng số 8 byte, thay vì 2x 4 byte. Nhìn chung, nó có kích thước gần bằng 4/3 kích thước của floatphiên bản.
mean(a,b) = mean(a,a,b,b)đối với cả 4 phương tiện này , vì vậy chúng tôi chỉ cần nhân đôi đầu vào tối đa 4 phần tử và không bao giờ phải thực hiện length = 2. Do đó, chúng ta có thể mã hóa cứng có nghĩa là hình học như root-root = sqrt (sqrt). Và chúng ta chỉ cần một hằng số FP , 4.0.
Chúng tôi có một vectơ SIMD duy nhất của cả 4 [a_i, b_i, c_i, d_i]. Từ đó, chúng tôi tính toán 4 phương tiện là vô hướng trong các thanh ghi riêng biệt và trộn chúng lại với nhau cho lần lặp tiếp theo. (Các thao tác ngang trên vectơ SIMD rất bất tiện, nhưng chúng tôi cần phải làm điều tương tự cho cả 4 yếu tố trong trường hợp đủ để nó cân bằng. Tôi đã bắt đầu phiên bản x87 này, nhưng nó rất dài và không vui.)
Điều kiện thoát vòng lặp của }while(quadratic - harmonic > 4e-5)(hoặc hằng số nhỏ hơn double) dựa trên câu trả lời R của @ RobinRyder và câu trả lời Java của Kevin Cruijssen : trung bình bậc hai luôn có độ lớn nhất và trung bình hài luôn luôn là nhỏ nhất (bỏ qua các lỗi làm tròn). Vì vậy, chúng ta có thể kiểm tra delta giữa hai cái đó để phát hiện sự hội tụ. Chúng tôi trả về giá trị trung bình số học là kết quả vô hướng. Nó thường nằm giữa hai cái đó và có lẽ là ít dễ bị lỗi làm tròn nhất.
Phiên bản float : có thể gọi được như float meanmean_float_avx(__m128);với giá trị arg và return trong xmm0. (Vì vậy, x86-64 System V, hoặc Windows x64 vectorcall, nhưng không phải x64 fastcall.) Hoặc tuyên bố sự trở lại kiểu như __m128vậy bạn có thể có được tại giá trị trung bình toàn phương và hài hòa để thử nghiệm.
Để điều này mất 2 đối số riêng biệt floattrong xmm0 và xmm1 sẽ tốn thêm 1 byte: chúng ta cần một số shufps8 (thay vì chỉ unpcklps xmm0,xmm0) để trộn lẫn với nhau và sao chép 2 đầu vào.
40 address align 32
41 code bytes global meanmean_float_avx
42 meanmean_float_avx:
43 00000000 B9[52000000] mov ecx, .arith_mean ; allows 2-byte call reg, and a base for loading constants
44 00000005 C4E2791861FC vbroadcastss xmm4, [rcx-4] ; float 4.0
45
46 ;; mean(a,b) = mean(a,b,a,b) for all 4 types of mean
47 ;; so we only ever have to do the length=4 case
48 0000000B 0F14C0 unpcklps xmm0,xmm0 ; [b,a] => [b,b,a,a]
49
50 ; do{ ... } while(quadratic - harmonic > threshold);
51 .loop:
52 ;;; XMM3 = geometric mean: not based on addition. (Transform to log would be hard. AVX512ER has exp with 23-bit accuracy, but not log. vgetexp = floor(lofg2(x)), so that's no good.)
53 ;; sqrt once *first*, making magnitudes closer to 1.0 to reduce rounding error. Numbers are all positive so this is safe.
54 ;; both sqrts first was better behaved, I think.
55 0000000E 0F51D8 sqrtps xmm3, xmm0 ; xmm3 = 4th root(x)
56 00000011 F30F16EB movshdup xmm5, xmm3 ; bring odd elements down to even
57 00000015 0F59EB mulps xmm5, xmm3
58 00000018 0F12DD movhlps xmm3, xmm5 ; high half -> low
59 0000001B 0F59DD mulps xmm3, xmm5 ; xmm3[0] = hproduct(sqrt(xmm))
60 ; sqrtps xmm3, xmm3 ; sqrt(hprod(sqrt)) = 4th root(hprod)
61 ; common final step done after interleaving with quadratic mean
62
63 ;;; XMM2 = quadratic mean = max of the means
64 0000001E C5F859E8 vmulps xmm5, xmm0,xmm0
65 00000022 FFD1 call rcx ; arith mean of squares
66 00000024 0F14EB unpcklps xmm5, xmm3 ; [quad^2, geo^2, ?, ?]
67 00000027 0F51D5 sqrtps xmm2, xmm5 ; [quad, geo, ?, ?]
68
69 ;;; XMM1 = harmonic mean = min of the means
70 0000002A C5D85EE8 vdivps xmm5, xmm4, xmm0 ; 4/x
71 0000002E FFD1 call rcx ; arithmetic mean (under inversion)
72 00000030 C5D85ECD vdivps xmm1, xmm4, xmm5 ; 4/. (the factor of 4 cancels out)
73
74 ;;; XMM5 = arithmetic mean
75 00000034 0F28E8 movaps xmm5, xmm0
76 00000037 FFD1 call rcx
77
78 00000039 0F14E9 unpcklps xmm5, xmm1 ; [arith, harm, ?,?]
79 0000003C C5D014C2 vunpcklps xmm0, xmm5,xmm2 ; x = [arith, harm, quad, geo]
80
81 00000040 0F5CD1 subps xmm2, xmm1 ; largest - smallest mean: guaranteed non-negative
82 00000043 0F2E51F8 ucomiss xmm2, [rcx-8] ; quad-harm > convergence_threshold
83 00000047 73C5 jae .loop
84
85 ; return with the arithmetic mean in the low element of xmm0 = scalar return value
86 00000049 C3 ret
87
88 ;;; "constant pool" between the main function and the helper, like ARM literal pools
89 0000004A ACC52738 .fpconst_threshold: dd 4e-5 ; 4.3e-5 is the highest we can go and still pass the main test cases
90 0000004E 00008040 .fpconst_4: dd 4.0
91 .arith_mean: ; returns XMM5 = hsum(xmm5)/4.
92 00000052 C5D37CED vhaddps xmm5, xmm5 ; slow but small
93 00000056 C5D37CED vhaddps xmm5, xmm5
94 0000005A 0F5EEC divps xmm5, xmm4 ; divide before/after summing doesn't matter mathematically or numerically; divisor is a power of 2
95 0000005D C3 ret
96 0000005E 5E000000 .size: dd $ - meanmean_float_avx
0x5e = 94 bytes
(Danh sách NASM được tạo bằng nasm -felf64 mean-mean.asm -l/dev/stdout | cut -b -34,$((34+6))-. Tách phần danh sách và khôi phục nguồn với cut -b 34- > mean-mean.asm)
Tổng số ngang SIMD và chia cho 4 (nghĩa là trung bình số học) được triển khai trong một hàm riêng mà chúng tôi call(với một con trỏ hàm để khấu hao chi phí của địa chỉ). Với 4/xtrước / sau, hoặc x^2trước và sqrt sau, chúng ta có được trung bình hài và trung bình bậc hai. (Thật đau đớn khi viết các divhướng dẫn này thay vì nhân với một đại diện chính xác 0.25.)
Trung bình hình học được thực hiện riêng với sqrt nhân và chuỗi. Hoặc với một sqrt đầu tiên để giảm cường độ lũy thừa và có thể giúp độ chính xác bằng số. Nhật ký không có sẵn, chỉ floor(log2(x))qua AVX512 vgetexpps/pd. Exp là loại có sẵn thông qua AVX512ER (chỉ Xeon Phi), nhưng chỉ với độ chính xác 2 ^ -23.
Trộn các hướng dẫn AVX 128 bit và SSE kế thừa không phải là vấn đề về hiệu năng. Việc trộn AVX 256 bit với SSE cũ có thể có trên Haswell, nhưng trên Skylake, nó chỉ có khả năng tạo ra sự phụ thuộc sai tiềm năng cho các hướng dẫn SSE. Tôi nghĩ rằng doublephiên bản của tôi tránh được bất kỳ chuỗi dep mang theo vòng lặp không cần thiết và tắc nghẽn về độ trễ / thông lượng div / sqrt.
Phiên bản đôi:
108 global meanmean_double_avx
109 meanmean_double_avx:
110 00000080 B9[E8000000] mov ecx, .arith_mean
111 00000085 C4E27D1961F8 vbroadcastsd ymm4, [rcx-8] ; float 4.0
112
113 ;; mean(a,b) = mean(a,b,a,b) for all 4 types of mean
114 ;; so we only ever have to do the length=4 case
115 0000008B C4E37D18C001 vinsertf128 ymm0, ymm0, xmm0, 1 ; [b,a] => [b,a,b,a]
116
117 .loop:
118 ;;; XMM3 = geometric mean: not based on addition.
119 00000091 C5FD51D8 vsqrtpd ymm3, ymm0 ; sqrt first to get magnitude closer to 1.0 for better(?) numerical precision
120 00000095 C4E37D19DD01 vextractf128 xmm5, ymm3, 1 ; extract high lane
121 0000009B C5D159EB vmulpd xmm5, xmm3
122 0000009F 0F12DD movhlps xmm3, xmm5 ; extract high half
123 000000A2 F20F59DD mulsd xmm3, xmm5 ; xmm3 = hproduct(sqrt(xmm0))
124 ; sqrtsd xmm3, xmm3 ; xmm3 = 4th root = geomean(xmm0) ;deferred until quadratic
125
126 ;;; XMM2 = quadratic mean = max of the means
127 000000A6 C5FD59E8 vmulpd ymm5, ymm0,ymm0
128 000000AA FFD1 call rcx ; arith mean of squares
129 000000AC 0F16EB movlhps xmm5, xmm3 ; [quad^2, geo^2]
130 000000AF 660F51D5 sqrtpd xmm2, xmm5 ; [quad , geo]
131
132 ;;; XMM1 = harmonic mean = min of the means
133 000000B3 C5DD5EE8 vdivpd ymm5, ymm4, ymm0 ; 4/x
134 000000B7 FFD1 call rcx ; arithmetic mean under inversion
135 000000B9 C5DB5ECD vdivsd xmm1, xmm4, xmm5 ; 4/. (the factor of 4 cancels out)
136
137 ;;; XMM5 = arithmetic mean
138 000000BD C5FC28E8 vmovaps ymm5, ymm0
139 000000C1 FFD1 call rcx
140
141 000000C3 0F16E9 movlhps xmm5, xmm1 ; [arith, harm]
142 000000C6 C4E35518C201 vinsertf128 ymm0, ymm5, xmm2, 1 ; x = [arith, harm, quad, geo]
143
144 000000CC C5EB5CD1 vsubsd xmm2, xmm1 ; largest - smallest mean: guaranteed non-negative
145 000000D0 660F2E51F0 ucomisd xmm2, [rcx-16] ; quad - harm > threshold
146 000000D5 77BA ja .loop
147
148 ; vzeroupper ; not needed for correctness, only performance
149 ; return with the arithmetic mean in the low element of xmm0 = scalar return value
150 000000D7 C3 ret
151
152 ; "literal pool" between the function
153 000000D8 95D626E80B2E113E .fpconst_threshold: dq 1e-9
154 000000E0 0000000000001040 .fpconst_4: dq 4.0 ; TODO: golf these zeros? vpbroadcastb and convert?
155 .arith_mean: ; returns YMM5 = hsum(ymm5)/4.
156 000000E8 C4E37D19EF01 vextractf128 xmm7, ymm5, 1
157 000000EE C5D158EF vaddpd xmm5, xmm7
158 000000F2 C5D17CED vhaddpd xmm5, xmm5 ; slow but small
159 000000F6 C5D35EEC vdivsd xmm5, xmm4 ; only low element matters
160 000000FA C3 ret
161 000000FB 7B000000 .size: dd $ - meanmean_double_avx
0x7b = 123 bytes
Khai thác thử nghiệm C
#include <immintrin.h>
#include <stdio.h>
#include <math.h>
static const struct ab_avg {
double a,b;
double mean;
} testcases[] = {
{1, 1, 1},
{1, 2, 1.45568889},
{100, 200, 145.568889},
{2.71, 3.14, 2.92103713},
{0.57, 1.78, 1.0848205},
{1.61, 2.41, 1.98965438},
{0.01, 100, 6.7483058},
};
// see asm comments for order of arith, harm, quad, geo
__m128 meanmean_float_avx(__m128); // or float ...
__m256d meanmean_double_avx(__m128d); // or double ...
int main(void) {
int len = sizeof(testcases) / sizeof(testcases[0]);
for(int i=0 ; i<len ; i++) {
const struct ab_avg *p = &testcases[i];
#if 1
__m128 arg = _mm_set_ps(0,0, p->b, p->a);
double res = meanmean_float_avx(arg)[0];
#else
__m128d arg = _mm_loadu_pd(&p->a);
double res = meanmean_double_avx(arg)[0];
#endif
double allowed_diff = (p->b - p->a) / 100000.0;
double delta = fabs(p->mean - res);
if (delta > 1e-3 || delta > allowed_diff) {
printf("%f %f => %.9f but we got %.9f. delta = %g allowed=%g\n",
p->a, p->b, p->mean, res, p->mean - res, allowed_diff);
}
}
while(1) {
double a = drand48(), b = drand48(); // range= [0..1)
if (a>b) {
double tmp=a;
a=b;
b=tmp; // sorted
}
// a *= 0.00000001;
// b *= 123156;
// a += 1<<11; b += (1<<12)+1; // float version gets stuck inflooping on 2048.04, 4097.18 at fpthreshold = 4e-5
// a *= 1<<11 ; b *= 1<<11; // scaling to large magnitude makes sum of squares loses more precision
//a += 1<<11; b+= 1<<11; // adding to large magnitude is hard for everything, catastrophic cancellation
#if 1
printf("testing float %g, %g\n", a, b);
__m128 arg = _mm_set_ps(0,0, b, a);
__m128 res = meanmean_float_avx(arg);
double quad = res[2], harm = res[1]; // same order as double... for now
#else
printf("testing double %g, %g\n", a, b);
__m128d arg = _mm_set_pd(b, a);
__m256d res = meanmean_double_avx(arg);
double quad = res[2], harm = res[1];
#endif
double delta = fabs(quad - harm);
double allowed_diff = (b - a) / 100000.0; // calculated in double even for the float case.
// TODO: use the double res as a reference for float res
// instead of just checking quadratic vs. harmonic mean
if (delta > 1e-3 || delta > allowed_diff) {
printf("%g %g we got q=%g, h=%g, a=%g. delta = %g, allowed=%g\n",
a, b, quad, harm, res[0], quad-harm, allowed_diff);
}
}
}
Xây dựng với:
nasm -felf64 mean-mean.asm &&
gcc -no-pie -fno-pie -g -O2 -march=native mean-mean.c mean-mean.o
Rõ ràng bạn cần một CPU có hỗ trợ AVX hoặc trình giả lập như Intel SDE. Để biên dịch trên máy chủ mà không cần hỗ trợ AVX riêng, hãy sử dụng -march=sandybridgehoặc-mavx
Run: vượt qua các trường hợp kiểm thử được mã hóa cứng, nhưng đối với phiên bản float, các trường hợp kiểm tra ngẫu nhiên thường không đạt (b-a)/10000ngưỡng được đặt trong câu hỏi.
$ ./a.out
(note: empty output before the first "testing float" means clean pass on the constant test cases)
testing float 3.90799e-14, 0.000985395
3.90799e-14 0.000985395 we got q=3.20062e-10, h=3.58723e-05, a=2.50934e-05. delta = -3.5872e-05, allowed=9.85395e-09
testing float 0.041631, 0.176643
testing float 0.0913306, 0.364602
testing float 0.0922976, 0.487217
testing float 0.454433, 0.52675
0.454433 0.52675 we got q=0.48992, h=0.489927, a=0.489925. delta = -6.79493e-06, allowed=7.23169e-07
testing float 0.233178, 0.831292
testing float 0.56806, 0.931731
testing float 0.0508319, 0.556094
testing float 0.0189148, 0.767051
0.0189148 0.767051 we got q=0.210471, h=0.210484, a=0.21048. delta = -1.37389e-05, allowed=7.48136e-06
testing float 0.25236, 0.298197
0.25236 0.298197 we got q=0.274796, h=0.274803, a=0.274801. delta = -6.19888e-06, allowed=4.58374e-07
testing float 0.531557, 0.875981
testing float 0.515431, 0.920261
testing float 0.18842, 0.810429
testing float 0.570614, 0.886314
testing float 0.0767746, 0.815274
testing float 0.118352, 0.984891
0.118352 0.984891 we got q=0.427845, h=0.427872, a=0.427863. delta = -2.66135e-05, allowed=8.66539e-06
testing float 0.784484, 0.893906
0.784484 0.893906 we got q=0.838297, h=0.838304, a=0.838302. delta = -7.09295e-06, allowed=1.09422e-06
Lỗi FP là đủ để bốn tác hại xuất hiện dưới 0 đối với một số đầu vào.
Hoặc không có a += 1<<11; b += (1<<12)+1;dấu vết:
testing float 2048, 4097
testing float 2048.04, 4097.18
^C (stuck in an infinite loop).
Không có vấn đề nào xảy ra với double. Nhận xét printftrước mỗi bài kiểm tra để thấy rằng đầu ra trống (không có gì từ if(delta too high)khối).
TODO: sử dụng doublephiên bản làm tài liệu tham khảo cho floatphiên bản, thay vì chỉ nhìn vào cách chúng hội tụ với tứ phương.