Một con mèo gần như không có khối lượng được thả trong không gian (đừng lo lắng, với bộ đồ không gian và mọi thứ) tại điểm (x, y, z)với vận tốc (vx, vy, vz). Có một hành tinh cố định, vô cùng dày đặc (có thể tích bằng 0) tại điểm (0, 0, 0)và nó thu hút các vật thể ở khoảng cách rvới gia tốc 1/r^2. Theo lực hấp dẫn của Newton, vật thể đi đâu sau thời gian t?

Gần như không có khối lượng trong trường hợp này có nghĩa là bạn đang xuất ra giá trị của lim (mass --> 0) <position of cat>. Khối lượng bị ảnh hưởng bởi trọng lực của hành tinh, nhưng hành tinh không bị ảnh hưởng bởi trọng lực của mèo. Nói cách khác, cơ thể trung tâm là cố định.

Điều này hơi giống với Code Golf: Số phận của tàu vũ trụ là gì? [phiên bản dấu phẩy động] , nhưng điều này khác bởi vì nó đang đo độ chính xác.

Bạn có thể triển khai giải pháp dựa trên mô phỏng, phải chạy trong vòng chưa đầy 3 giây, HOẶC bạn có thể thực hiện chương trình cung cấp giá trị chính xác (cũng phải chạy trong chưa đầy 3 giây). Xem chi tiết ghi bàn dưới đây. Nếu bạn thực hiện một mô phỏng, nó không phải chính xác, nhưng điểm của bạn sẽ thấp hơn vì không chính xác.

Đầu vào : x y z vx vy vz t, không nhất thiết là các số nguyên biểu thị tọa độ x, y, z, vận tốc theo các hướng x, y và z tương ứng. Nó được đảm bảo rằng tốc độ của con mèo hoàn toàn thấp hơn tốc độ thoát ở độ cao đó. Đầu vào có thể được lấy từ bất cứ đâu, bao gồm các tham số cho một chức năng. Chương trình phải chạy trong chưa đầy ba giây trên máy tính xách tay của tôi t < 2^30, điều đó có nghĩa là, nếu bạn đang chạy một mô phỏng, bạn phải điều chỉnh dấu thời gian của mình cho phù hợp. Nếu bạn dự định đạt giới hạn 3 giây cho mọi trường hợp thử nghiệm, hãy đảm bảo có một tham số có thể điều chỉnh có thể làm cho nó chính xác hơn / kém chính xác hơn để tăng tốc độ, để tôi có thể làm cho nó chạy trong ba giây trên máy tính của mình.

Đầu ra : x y z, vị trí sau thời gian t.

Vì vấn đề hai cơ thể có thể được giải quyết một cách hoàn hảo, theo lý thuyết là có thể có được một câu trả lời hoàn hảo, chính xác.

Chấm điểm : Đối với mọi trường hợp kiểm tra, lỗi được xác định là khoảng cách giữa đầu ra của bạn và đầu ra "đúng". Đầu ra thực được định nghĩa là đầu ra mà đoạn trích trường hợp thử nghiệm tạo ra. Nếu sai số nhỏ hơn 10^(-8), lỗi được làm tròn xuống không. Điểm của bạn là lỗi trung bình trên 100 (hoặc nhiều hơn) các trường hợp kiểm tra ngẫu nhiên. Nếu bạn viết một câu trả lời hoàn toàn chính xác, bạn sẽ nhận được điểm 0; Điểm số thấp nhất sẽ thắng và mối quan hệ sẽ bị phá vỡ bởi độ dài mã.

Các trường hợp thử nghiệm :

1 0 0 0 -1 0 1000000000 --> 0.83789 -0.54584 0

Trong trường hợp này, quỹ đạo có hình tròn hoàn hảo với chu kỳ 2 * pi, do đó, sau khi quay vòng 159154943 lần, con mèo kết thúc ở khoảng (0,83789, -0,54584). Đây không phải là trường hợp thử nghiệm mà mã của bạn sẽ được kiểm tra; tuy nhiên, nếu bạn gửi một câu trả lời hoàn toàn chính xác, bạn có thể muốn kiểm tra nó trên này.

Đoạn mã dưới đây tạo ra các trường hợp thử nghiệm bổ sung ngẫu nhiên và sẽ được sử dụng để đánh giá bài nộp; cho tôi biết nếu có lỗi với điều này:

var generateTestCase = function() {
  var periapsis = Math.random() * 10 + 0.5;
  var circularVelocity = Math.sqrt(1 / periapsis);
  var escapeVelocity = Math.sqrt(2) * circularVelocity;
  var v = Math.random() * (escapeVelocity - circularVelocity) + circularVelocity;
  var a = 1 / (2 / periapsis - v * v);
  var ecc = (a - periapsis) * (2 / periapsis - v * v);
  var semiLatus = a * (1 - ecc * ecc);
  var angM = Math.sqrt(semiLatus);
  var period = 2 * Math.PI * a * Math.sqrt(a);
  var getCoordAfterTime = function(t) {
    var meanAnomaly = t / (a * Math.sqrt(a));

    function E(e, M, n) {
      var result = M;
      for (var k = 1; k <= n; ++k) result = M + e * Math.sin(result);
      return result;
    }
    var eAnomaly = E(ecc, meanAnomaly, 10000);
    var radius = a * (1 - ecc * Math.cos(eAnomaly));
    var theta = Math.acos((semiLatus / radius - 1) / ecc);
    if (t > period / 2) theta = -theta;
    return {
      r: radius,
      t: theta,
      x: radius * Math.cos(theta),
      y: radius * Math.sin(theta)
    };
  }
  var t1 = Math.random() * period;
  var p1 = getCoordAfterTime(t1);
  var v1 = Math.sqrt(2 / p1.r - 1 / a);
  var velocityAngle1 = Math.acos(angM / p1.r / v1);
  var horizontal = Math.atan(-p1.x / p1.y);
  if (t1 < period / 2) {
    velocityAngle1 *= -1;
    horizontal += Math.PI;
  }
  var vx = v1 * Math.cos(horizontal + velocityAngle1);
  var vy = v1 * Math.sin(horizontal + velocityAngle1);
  var t2 = Math.random() * period;
  var p2 = getCoordAfterTime(t2);
  var v2 = Math.sqrt(2 / p2.r - 1 / a);
  var dummyPeriods = Math.floor(Math.random() * 100) * period + period;
  var rotate = function(x, y, z, th1, th2, th3) {
    var x1 = x * Math.cos(th1) - y * Math.sin(th1);
    var y1 = x * Math.sin(th1) + y * Math.cos(th1);
    var z1 = z;
    var x2 = x1 * Math.cos(th2) + z1 * Math.sin(th2);
    var y2 = y1;
    var z2 = -x1 * Math.sin(th2) + z1 * Math.cos(th2);
    var x3 = x2;
    var y3 = y2 * Math.cos(th3) - z2 * Math.sin(th3);
    var z3 = y2 * Math.sin(th3) + z2 * Math.cos(th3);
    return [x3, y3, z3];
  }
  var th1 = Math.random() * Math.PI * 2,
    th2 = Math.random() * 2 * Math.PI,
    th3 = Math.random() * 2 * Math.PI;
  var input = rotate(p1.x, p1.y, 0, th1, th2, th3)
    .concat(rotate(vx, vy, 0, th1, th2, th3))
    .concat([t2 - t1 + dummyPeriods]);
  var output = rotate(p2.x, p2.y, 0, th1, th2, th3);
  return input.join(" ") + " --> " + output.join(" ");
}
var $ = function(x) {
  return document.querySelector(x);
}
$("#onetestcase").onclick = function() {
  $("#result1").innerHTML = generateTestCase();
}
$("#huntestcases").onclick = function() {
  var result = [];
  for (var i = 0; i < 100; ++i) result.push(generateTestCase());
  $("#result100").innerHTML = result.join("\n");
}

<div>
  <button id="onetestcase">Generate</button>
  <pre id="result1"></pre>
</div>
<div>
  <button id="huntestcases">Generate 100 test cases</button>
  <pre id="result100"></pre>
</div>

Python 3.5 + NumPy, chính xác, 186 byte

from math import*
def o(r,v,t):
 d=(r@r)**.5;W=2/d-v@v;U=W**1.5;b=[0,t*U+9]
 while 1:
  a=sum(b)/2;x=1-cos(a);y=sin(a)/U;k=r@v*x/W+d*y*W
  if a in b:return k*v-r*x/W/d+r
  b[k+a/U-y>t]=a

Đây là một giải pháp chính xác, sử dụng một công thức tôi thiết kế dựa trên Jesper Göranssonhis, Symmetries của vấn đề Kepler, năm 2015 . Nó sử dụng tìm kiếm nhị phân để giải phương trình siêu việt Ax + B cos x + C sin x = D, không có giải pháp dạng đóng.

Hàm dự kiến ​​vị trí và vận tốc sẽ được truyền vào dưới dạng mảng NumPy:

>>> from numpy import array
>>> o(array([1,0,0]),array([0,-1,0]),1000000000)
array([ 0.83788718, -0.54584345,  0.        ])
>>> o(array([-1.1740058273269156,8.413493259550673,0.41996042044140003]),array([0.150014367067652,-0.09438816345868332,0.37294941703455975]),7999.348650387233)
array([-4.45269544,  6.93224929, -9.27292488])

Javascript

Đây chỉ là để có được quả bóng lăn, vì dường như không ai được đăng câu trả lời. Đây là một cách rất ngây thơ, đơn giản có thể được cải thiện rất nhiều:

function simulate(x, y, z, vx, vy, vz, t) {
  var loops = 1884955; // tune this parameter
  var timestep = t / loops;
  for (var i = 0; i < t; i += timestep) {
    var distanceSq = x*x + y*y + z*z; // distance squared from origin
    var distance = Math.sqrt(distanceSq);
    var forceMag = 1/distanceSq; // get the force of gravity
    var forceX = -x / distance * forceMag;
    var forceY = -y / distance * forceMag;
    var forceZ = -z / distance * forceMag;
    vx += forceX * timestep;
    vy += forceY * timestep;
    vz += forceZ * timestep;
    x += vx * timestep;
    y += vy * timestep;
    z += vz * timestep;
  }
  return [x, y, z];
}

Kiểm tra:

simulate(1, 0, 0, 0, -1, 0, Math.PI*2) --> [0.9999999999889703, -0.0000033332840909716455, 0]

Này, đó là khá tốt. Nó có lỗi khoảng 3.333 * 10 ^ (- 6) không đủ để làm tròn xuống ... nó gần.

Chỉ để cho vui:

console.log(simulate(1, 0, 0, 0, -1, 0, 1000000000))
--> [-530516643639.4616, -1000000000.0066016, 0]

Ồ tốt; vì vậy nó không phải là tốt nhất

Và trên một trường hợp thử nghiệm ngẫu nhiên từ máy phát điện:

simulate(-1.1740058273269156,8.413493259550673,0.41996042044140003,0.150014367067652,-0.09438816345868332,0.37294941703455975,7999.348650387233)
-->    [-4.528366392498373, 6.780385554803544, -9.547824236472668]
Actual:[-4.452695438880813, 6.932249293597744, -9.272924876103785]

Với một lỗi chỉ khoảng 0,32305!

Điều này có thể được cải thiện rất nhiều bằng cách sử dụng một cái gì đó như tích hợp Verlet hoặc một số thuật toán ưa thích. Trên thực tế, những thuật toán đó thậm chí có thể đạt được điểm hoàn hảo, mặc dù là mô phỏng.