Cho các chiều dài cạnh liên tiếp s1, s2, s3... s_ncủa một n-gon được ghi trong một vòng tròn, tìm diện tích của nó. Bạn có thể cho rằng đa giác tồn tại. Ngoài ra, đa giác sẽ lồi và không tự giao nhau, điều này đủ để đảm bảo tính duy nhất. Các phần tử tích hợp đặc biệt giải quyết thách thức này, cũng như các hàm tích hợp tính toán chu vi hoặc chu vi, đều bị cấm (điều này khác với phiên bản trước của thử thách này).

Đầu vào: Độ dài cạnh của đa giác tuần hoàn; có thể được lấy làm tham số cho hàm, stdin, v.v.

Đầu ra: Diện tích của đa giác.

Câu trả lời phải chính xác đến 6 chữ số thập phân và phải chạy trong vòng 20 giây trên một máy tính xách tay hợp lý.

Đây là mã golf nên mã ngắn nhất sẽ thắng!

Các trường hợp thử nghiệm cụ thể:

[3, 4, 5] --> 6
[3, 4, 6] --> 5.332682251925386
[3, 4, 6, 7] --> 22.44994432064365
[5, 5, 5, 5] --> 25
[6, 6, 6, 6, 6] --> 61.93718642120281
[6.974973020933265, 2.2393294197257387, 5.158285083300981, 1.4845682771595603, 3.5957940796134173] --> 21.958390804292847
[7.353566082457831, 12.271766915518073, 8.453884922273897, 9.879017670784675, 9.493366404245332, 1.2050010402321778] --> 162.27641678140589

Trình tạo trường hợp thử nghiệm:

function randPolygon(n) {
  var left = 2 * Math.PI;
  var angles = [];
  for (var i = 0; i < n - 1; ++i) {
    var r = Math.random() * left;
    angles.push(r);
    left -= r;
  }
  angles.push(left);
  var area = 0;
  var radius = 1 + Math.random() * 9;
  for (var i = 0; i < angles.length; ++i) area += radius * radius * Math.sin(angles[i]) / 2;
  var sideLens = angles.map(function(a) {
    return Math.sin(a / 2) * radius * 2;
  });

  document.querySelector("#radius").innerHTML = radius;
  document.querySelector("#angles").innerHTML = "[" + angles.join(", ") + "]";
  document.querySelector("#inp").innerHTML = "[" + sideLens.join(", ") + "]";
  document.querySelector("#out").innerHTML = area;

  draw(angles);
}

function draw(angles) {
  var canv = document.querySelector("#diagram"),
    ctx = canv.getContext("2d");
  var size = canv.width
  ctx.clearRect(0, 0, size, size);
  ctx.beginPath();
  ctx.arc(size / 2, size / 2, size / 2, 0, 2 * Math.PI, true);
  ctx.stroke();
  ctx.beginPath();
  ctx.moveTo(size, size / 2);
  var runningTotal = 0;
  for (var i = 0; i < angles.length; ++i) {
    runningTotal += angles[i];
    var x = Math.cos(runningTotal) * size / 2 + size / 2;
    var y = Math.sin(runningTotal) * size / 2 + size / 2;
    ctx.lineTo(x, y);
  }
  ctx.stroke();
}
document.querySelector("#gen").onclick = function() {
  randPolygon(parseInt(document.querySelector("#sideLens").value, 10));
}

<div id="hints">
  <p><strong>These are to help you; they are not part of the input or output.</strong>
  </p>
  Circumradius:
  <pre id="radius"></pre>
  Angles, in radians, of each sector (this are NOT the angles of the polygon):
  <pre id="angles"></pre>
</div>
<hr>
<div id="output">
  Input:
  <pre id="inp"></pre>
  Output:
  <pre id="out"></pre>
</div>
<hr>
<div id="draw">
  Diagram:
  <br />
  <canvas id="diagram" width="200" height="200" style="border:1px solid black"></canvas>
</div>

Number of side lengths:
<input type="number" id="sideLens" step="1" min="3" value="3" />
<br />
<button id="gen">Generate test case</button>

Python 2, 191 byte

from math import*
C=sorted(input());l,h=C[-1]/2,sum(C)
while h-l>1e-9:m=l+h;a=[asin(c/m)for c in C[:-1]];f=pi-sum(a);l,h=[l,m/2,h][m*sin(f)<C[-1]:][:2]
print sum(l*l*sin(2*t)for t in a+[f])/2

Sử dụng tìm kiếm nhị phân để tìm bán kính, sau đó tính diện tích của từng đoạn theo góc / bán kính.

Nó tìm thấy bán kính bằng cách đầu tiên tổng hợp tất cả trừ góc hợp âm lớn nhất và kiểm tra góc còn lại với hợp âm còn lại. Những góc đó sau đó cũng được sử dụng để tính diện tích của từng đoạn. Diện tích của một đoạn có thể âm, nếu góc của nó lớn hơn 180 độ.

Thực hiện có thể đọc được:

import math

def segment_angles(line_segments, r):
    return [2*math.asin(c/(2*r)) for c in line_segments]

def cyclic_ngon_area(line_segments):
    line_segments = list(sorted(line_segments))
    lo, hi = max(line_segments) / 2, sum(line_segments)
    while hi - lo > 1e-9:
        mid = (lo + hi) / 2
        angles = segment_angles(line_segments[:-1], mid)
        angles.append(2*math.pi - sum(angles))
        if 2 * mid * math.sin(angles[-1]/2) < line_segments[-1]:
            lo = mid
        else:
            hi = mid
    return sum([lo*lo * math.sin(a) / 2 for a in angles])

Octave, 89 byte

r=sum(s=input(''));while sum(a=asin(s/2/r))<pi r*=1-1e-4;b=a;end;disp(sum(cos(b).*s/2*r))

Giải trình

Các góc được akéo dài bởi một đoạn có chiều dài slà 2*asin(s/2/r), cho một chu vi r. Diện tích của nó là cos(a)*s/2*r.

Thuật toán

1. Đặt rthành một cái gì đó quá lớn, chẳng hạn như chu vi.
2. Nếu góc tích lũy nhỏ hơn 2pi, giảm rvà lặp lại bước 2.
3. Tính diện tích.