Hầu như mọi hàm có thể được biểu diễn dưới dạng đa thức với các số hạng vô hạn.

Ví dụ, e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + x^4/4! + ...

Ví dụ, sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + ...

Các hệ số của các nđiều khoản -th tạo thành một chuỗi và hàm tương ứng được gọi là Hàm tạo của chuỗi.

Các hệ số của các nđiều khoản -th tạo thành một chuỗi.

Thông thường, nthuật ngữ -th sẽ có mẫu số là n!. Do đó, chúng tôi nhân hệ số n!với để có được một chuỗi khác, có Hàm tạo hàm mũ sẽ là hàm ban đầu.

Ví dụ, trình tự mà hàm mũ Tạo là e^xsẽ 1,1,1,1,....

Ví dụ, trình tự mà hàm mũ Tạo là sin(x)sẽ 0,1,0,-1,0,1,0,-1,....

Bài tập

Nhiệm vụ của bạn là để tìm ra nhạn -thứ của dãy mà hàm mũ Tạo là tan(x).

Tủ thử

n result
0 0
1 1
2 0
3 2
4 0
5 16
6 0
7 272
8 0
9 7936
10 0
11 353792
12 0
13 22368256
14 0
15 1903757312
16 0
17 209865342976
18 0
19 29088885112832
20 0
21 4951498053124096
22 0
23 1015423886506852352
24 0
25 246921480190207983616
26 0

(Sao chép từ đây .) (Cảnh báo: 0thuật ngữ -th khác nhau)

Ví dụ thực hiện

# copied from https://github.com/Mego/Seriously/blob/v2.0/SeriouslyCommands.py#L16
def memoized(f):
    memo = {}
    def m_fun(*args):
        if args in memo:
            return memo[args]
        else:
            res = f(*args)
            memo[args] = res
            return res
    return m_fun

# copied from https://github.com/Mego/Seriously/blob/v2.0/SeriouslyCommands.py#L169
@memoized
def binomial(n,r):
    if r > n:
        return 0
    elif r==n:
        return 1
    res = 1
    i = 1
    while i<=r:
        res *= (n+1-i)
        res /= i
        i+=1
    return int(res)

# 2*u(n+1) = Sum_{k=0..n} binomial(n, k)*u(k)*u(n-k)
# from A000111
@memoized
def u(n):
    if n<0: return 0
    if n==0: return 1
    if n==1: return 1
    return sum([binomial(n-1,k)*u(k)*u(n-1-k) for k in range(n)])//2     

def t(n):
    if n%2 == 0: return 0
    return u(n)

print('\n'.join([str(x) + ' ' + str(t(x)) for x in range(26)]))

Nghĩa là nó!

Người giới thiệu

• Tạo chức năng trên Wikipedia
• Hàm tạo số mũ trên Wikipedia
• Ví dụ về hàm tạo hàm mũ trên Wikipedia
• Tạo chức năng trên MathWorld
• Hàm tạo số mũ trên MathWorld
• Loạt Taylor trên Wikipedia
• Đạo hàm của 9 điều khoản đầu tiên của chuỗi yêu cầu
• Bắt buộc OEIS A009006 (Lưu ý rằng 0thuật ngữ -th khác nhau)
• Thuật toán
• OEIS A000111: số tăng / giảm

CJam ( 33 32 27 26 23 20 byte)

2,{ee::*_(@+.+}ri*0=

Bản demo trực tuyến

Mổ xẻ

Điều này về cơ bản thực hiện sự tái phát được mô tả bởi xnor .

2,        e# [0 1] represents the base case f(0,j) = j==1
{         e# Loop...
  ee::*   e#   Multiply each array element by its index
  _(@+.+  e#   Sum the array shifted left and the array shifted right
}ri*      e# ... n times
0=        e# Evaluate at j=0

Hoặc với một cách tiếp cận khá khác nhau, cho 23 byte:

ri_1&a{{1$+}*]W%0+}@*0=

Bản demo trực tuyến . Cảm ơn Dennis cho 3 byte.

Mổ xẻ

1a         e# Push [1]
{          e# Repeat...
  {1$+}*]  e#   Compute array of partial sums
  W%0+     e#   Reverse and append 0
}qi:A*     e# ... A times, where A is the input value
0=A1&*     e# Result is first element if A odd, and 0 otherwise

Hoặc với một cách tiếp cận rất khác nhau, với 29 byte:

qie!Ma-{W\+W+3ew{_$.=1=},!},,

Bản demo trực tuyến

Thật không may, một trường hợp đặc biệt là cần thiết cho đầu vào 0.

Mổ xẻ

qi            e# Take an integer n from stdin
e!            e#   Compute all permutations of [0 ... n-1]
Ma-           e#   Special-case n=0
{             e#   Filter...
  W\+W+       e#     Prepend and postpend -1
  3ew         e#     Take slices of 3 consecutive elements
  {           e#     Filter...
    _$.=1=    e#       Test whether the middle element is the second largest
  },!         e#     ... and require no matches
},,           e#   ... and count

Bạn có thể đang nghĩ "WTF?! Anh ấy đang trả lời sai câu hỏi." Nếu vậy, điều đó có thể hiểu được, nhưng cả hai phương pháp thực sự cho kết quả chính xác .

Julia, 40 38 32 byte

!n=2(2*4^n-2^n-0^n)abs(zeta(-n))

Đầu vào và đầu ra ở dạng BigFloats. Hãy thử trực tuyến!

Lý lịch

Chuỗi Maclaurin của hàm tiếp tuyến thỏa mãn danh tính

Bất cứ khi nào x nằm trong bán kính hội tụ của nó, trong đó B _n là số Bernoulli.

Vì B _{2 (n + 1)} và (-1) ⁿ có cùng dấu, B _{2n + 1} = 0 nếu n> 0 và B ₁ = 1/2 , chúng ta có thể viết lại như trên.

Hơn nữa, bất cứ khi nào n là số nguyên không âm, chúng ta có

trong đó ζ biểu thị hàm zeta Riemann .

Từ đó, với quy ước 0 ⁰ = 1 , nó tuân theo điều đó

đó là công thức thực hiện sử dụng.

Python, 57 byte

f=lambda i,j=0:~-j*f(i-1,j-1)-~j*f(i-1,j+1)if i else j==1

Ít chơi gôn hơn:

f=lambda i,j=0:j==1 if i==0 else (j-1)*f(i-1,j-1)+(j+1)*f(i-1,j+1)

Chúng ta có thể tính ihệ số thứ của hàm tạo hàm mũ bằng cách phân biệt ithời gian của hàm tiếp tuyến và đánh giá tại 0. Mỗi đạo hàm là một đa thức trong tan(x)và giá trị của nó là 0 là số hạng không đổi.

Chúng tôi bày tỏ một cách đệ quy hệ số tan(x)**jtrong ihàm thứ của tanvới chức năng f(i,j). Các biểu thức đệ quy xuất phát từ mối quan hệ tan(x)' = 1 + tan(x)**2.

Vì vậy, đạo hàm của tan(x)**jlà

j*tan(x)**(j-1)*(tan(x)**2+1), or equivalently
j*tan(x)**(j+1) + j*tan(x)**(j-1)

Vì vậy, người đóng góp vào tan(x)**jtrong iphái thứ đang tan(x)**(j-1)và tan(x)**(j+1)trong (i-1)phái sinh st, đều có hệ số tương đương với sức mạnh của nó. Điều này cho biểu thức đệ quy

f(i,j) = (j-1)*f(i-1,j-1) + (j+1)*f(i-1,j+1)

Lưu ý rằng chúng ta không cần loại trừ số mũ âm jvì dù sao chúng cũng đánh giá bằng 0 và không đóng góp vì việc vượt qua j=0mang lại cho một số nhân 0.

Trường hợp cơ sở i==0tương ứng với tan(x)chính nó j==1và các hệ số bằng không khác. Đánh giá cuối cùng xảy ra ở thời hạn không đổi j=0, được đặt làm giá trị mặc định.

Toán học, 20 byte

Tan@x~D~{x,#}/.x->0&

Phương pháp tiếp cận thẳng. Tính n đạo hàm ^thứ của tan (x) và đánh giá nó tại x = 0 .

Sử dụng

Haskell, 48 byte

0%1=1
0%_=0
i%j=sum[k*(i-1)%k|k<-[j+1,j-1]]
(%0)

Chúng ta có thể tính ihệ số thứ của hàm tạo hàm mũ bằng cách phân biệt ithời gian của hàm tiếp tuyến và đánh giá tại0 . Mỗi đạo hàm là một đa thức trong tan(x)và giá trị tại 0 là số hạng không đổi.

Chúng tôi bày tỏ một cách đệ quy hệ số tan(x)^jtrong ihàm thứ củatanvới chức năng i%j. Các biểu thức đệ quy xuất phát từ mối quan hệ tan(x)' = 1 + tan(x)^2.

Vì vậy, đạo hàm của tan(x)^jlà

j*tan(x)^(j-1)*(tan(x)^2+1), or equivalently
j*tan(x)^(j+1) + j*tan(x)^(j-1)

Vì vậy, người đóng góp vào tan(x)^jtrong iphái thứ đang tan(x)^(j-1)và tan(x)^(j+1)trong (i-1)phái sinh st, đều có hệ số tương đương với sức mạnh của nó.

Thạch , 12 11 byte

Ṛ+\;S
ḂÇ⁸¡Ḣ

Giống như câu trả lời CJam của Peter Taylor , điều này tính toán thuật ngữ thứ n của chuỗi lên / xuống của Euler nếu n là số lẻ và trường hợp đặc biệt thậm chí n là 0 .

Hãy thử trực tuyến! hoặc là xác minh tất cả các trường hợp thử nghiệm .

Làm thế nào nó hoạt động

ḂÇ⁸¡Ḣ  Main link. Argument: n

Ḃ       Bit; yield n's parity.
 Ç⁸¡    Apply the helper link (Ç) n (⁸) times.
    Ḣ   Head; retrieve the first element of the resulting list.


Ṛ+\;S   Helper link. Argument: A (list or 1/0)

Ṛ       Cast A to list (if necessary) and reverse the result.
 +\     Take the cumulative sum.
   ;S   Append the sum of A.

Sage, 26 byte

lambda n:tan(x).diff(n)(0)

Giống như các giải pháp khác trong các ngôn ngữ định hướng toán học, hàm này tính toán n đạo hàm thứ tan(x)và đánh giá nó tạix = 0 .

Dùng thử trực tuyến

J, 15 13 byte

Ngoài ra còn có dựng sẵn t:tính toán hệ số ^thứ n của hàm tạo hàm mũ của tan (x) .

(1&o.%2&o.)t:

Cảm ơn @ Leaky Nun đã nhắc nhở tôi về các trạng từ chuỗi Taylor trong J đã lưu 2 byte.

Thay thế cho 15 byte .

3 :'(3&o.d.y)0'

Một cách tiếp cận khác là tính đạo hàm ^thứ n của tan (x) và đánh giá nó tại x = 0 .

Lưu ý: Trong J , lượng bộ nhớ được sử dụng bởi hàm phái sinhd. tăng nhanh khi n vượt qua 10.

Sử dụng

   f =: (1&o.%2&o.)t:
   f 7
272
   (,.f"0) i. 11  NB. Additional commands are just for formatting the output
 0    0
 1    1
 2    0
 3    2
 4    0
 5   16
 6    0
 7  272
 8    0
 9 7936
10    0

Giải trình

(1&o.%2&o.)t:  Input: n
(         )    Define a monad (one argument function), call the input y
 1&o.          Get the trig function sin(x) and call it on y
      2&o.     Get the trig function cos(x) and call it on y
     %         Divide sin(y) by cos(y) to get tan(y)
           t:  Get the nth coefficient of the exponential generating series
               for that function and return

3 :'(3&o.d.y)0'  Input: n
3 :'          '  Define a monad (one argument function) with input y
     3&o.        Get the trig function tan(x)
           y     The input n
         d.      Get the nth derivative of tan(x)
             0   Evaluate the nth derivative at x = 0 and return

Julia, 39 37 byte

!n=(spdiagm((0:n,1:n+1),(1,-1))^n)[2]

Đã lưu 2 byte nhờ Dennis.

Không phải là giải pháp Julia ngắn nhất (xem giải pháp của Dennis), nhưng giải pháp này được thực hiện hoàn toàn bằng cách sử dụng logic phái sinh ... dưới dạng ma trận.

Về cơ bản, nó sử dụng thực tế là đạo hàm của tan (x) là 1 + tan (x) ^ 2. Vì vậy, vì đạo hàm của bất kỳ lũy thừa nào của tan (x), giả sử tan (x) ^ k, là k tan (x) ^ (k-1) tan (x) '= k tan (x) ^ (k-1) + k tan (x) ^ (k + 1), chúng ta có thể sử dụng công suất ma trận đơn giản trên ma trận với các giá trị phù hợp để tạo ra sự mở rộng, với hàng hoặc cột thứ hai (tùy theo cách xây dựng) giữ các đạo hàm của tan (x ) chinh no.

Vì vậy, chúng ta chỉ cần tìm hằng số trong biểu thức kết quả và đó là giá trị đầu tiên trong hàng hoặc cột tương ứng.

JavaScript (ES6), 127 45 byte

f=(n,m=0)=>n?++m*f(--n,m--)+--m*f(n,m):m-1?0:1

Giải pháp của cảng @ xnor.

Haskell, 95 93 byte

p=product
f n=sum[(-1)^(n`div`2+j+1)*j^n*p[k-j+1..n+1]`div`p[1..n+1-k+j]|k<-[1..n],j<-[0..k]]

Về cơ bản, nó là một triển khai của công thức chung với một số tối ưu hóa nhỏ.

MATLAB với Hộp công cụ tượng trưng, ​​84 byte

n=input('');syms x;c=coeffs(taylor(tan(x),'Order',n+1))*factorial(n);c(end)*mod(n,2)

Ví dụ chạy:

>> n=input('');syms x;c=coeffs(taylor(tan(x),'Order',n+1))*factorial(n);c(end)*mod(n,2)
7
ans =
272

>> n=input('');syms x;c=coeffs(taylor(tan(x),'Order',n+1))*factorial(n);c(end)*mod(n,2)
8
ans =
0

>> n=input('');syms x;c=coeffs(taylor(tan(x),'Order',n+1))*factorial(n);c(end)*mod(n,2)
9
ans =
7936

Haskell (quá nhiều byte)

Chỉ sử dụng các thao tác trên danh sách và kết quả của Raymond Manzoni :

c n = last $ map numerator $ zipWith (*) (scanl (*) (1) [2,3..]) (intersperse 0 $ foldr (.) id (replicate n (\xs->(xs ++ [(1%(1+2*length xs)) * (sum (zipWith (*) xs (reverse xs)))]))) [1])

Thật không may, điều này tràn ra cho các giá trị khiêm tốn n, vì nó sử dụng Intcác giá trị. Tôi sẽ cố gắng khắc phục vấn đề bằng cách sử dụng Integercác giá trị. Cho đến lúc đó, đề xuất được chào đón.

Tiên đề, 46 byte

f(n:NNI):NNI==(n=0=>0;eval(D(tan(x),x,n),x=0))

mã kiểm tra và kết quả

(32) -> [[i, f(i)] for i in 0..26]
   (32)
   [[0,0], [1,1], [2,0], [3,2], [4,0], [5,16], [6,0], [7,272], [8,0], [9,7936],
    [10,0], [11,353792], [12,0], [13,22368256], [14,0], [15,1903757312],
    [16,0], [17,209865342976], [18,0], [19,29088885112832], [20,0],
    [21,4951498053124096], [22,0], [23,1015423886506852352], [24,0],
    [25,246921480190207983616], [26,0]]
                                       Type: List List NonNegativeInteger