Python 2 + PySCIPOpt , 267 byte
from pyscipopt import*
R=input()
m=Model()
V,C=m.addVar,m.addCons
a,b,c=V(),V(),V()
m.setObjective(c)
C(a*b<=c)
P=[]
for r in R:
x,y=V(),V();C(r<=x);C(x<=a-r);C(r<=y);C(y<=b-r)
for u,v,s in P:C((x-u)**2+(y-v)**2>=(r+s)**2)
P+=(x,y,r),
m.optimize()
m.printBestSol()
Làm thế nào nó hoạt động
Chúng tôi viết bài toán như sau: tối thiểu hóa c qua các biến a , b , c , x 1 , y 1 , Rò, x n , y n , trong đó
- ab ≤ c ;
- r i ≤ x i ≤ a - r i và r i ≤ y i ≤ b - y i , với 1 ≤ i ≤ n ;
- ( x i - x j ) 2 + ( y i - y j ) 2 ≥ ( r i + r j ) 2 , với 1 ≤ j < i ≤ n .
Rõ ràng, chúng tôi đang sử dụng một thư viện tối ưu hóa bên ngoài trên các ràng buộc này, nhưng bạn không thể đưa chúng vào bất kỳ trình tối ưu hóa cũ nào, ngay cả Mathicala cũng NMinimizebị kẹt ở cực tiểu cục bộ cho các trường hợp thử nghiệm nhỏ này. Nếu bạn nhìn kỹ vào các ràng buộc, bạn sẽ thấy rằng chúng tạo thành một chương trình bậc hai bị ràng buộc theo phương pháp bậc hai và việc tìm kiếm tối ưu toàn cầu cho QCQP không lồi là NP-hard. Vì vậy, chúng ta cần một số phép thuật cực kỳ mạnh mẽ. Tôi đã chọn bộ giải SCIP độ bền công nghiệp , đây là bộ giải QCQP toàn cầu duy nhất tôi có thể tìm thấy với nhiều giấy phép miễn phí cho sử dụng học thuật. Hạnh phúc, nó có một số ràng buộc Python rất tốt đẹp.
Đầu vào và đầu ra
Vượt qua danh sách bán kính trên stdin, thích [5,3,1.5]. Những buổi biểu diễn đầu ra objective value:diện tích hình chữ nhật, x1, x2kích thước hình chữ nhật, x3diện tích hình chữ nhật một lần nữa, x4, x5đầu tiên tọa độ trung tâm vòng tròn, x6, x7vòng tròn thứ hai tọa độ trung tâm, vv
Các trường hợp thử nghiệm
[5,3,1.5] ↦ 157.459666673757
SCIP Status : problem is solved [optimal solution found]
Solving Time (sec) : 0.04
Solving Nodes : 187
Primal Bound : +1.57459666673757e+02 (9 solutions)
Dual Bound : +1.57459666673757e+02
Gap : 0.00 %
objective value: 157.459666673757
x1 10 (obj:0)
x2 15.7459666673757 (obj:0)
x3 157.459666673757 (obj:1)
x4 5 (obj:0)
x5 5 (obj:0)
x6 7 (obj:0)
x7 12.7459666673757 (obj:0)
x8 1.5 (obj:0)
x9 10.4972522849871 (obj:0)
[9,4,8,2] ↦ 709.061485909243
Điều này tốt hơn giải pháp của OP. Kích thước chính xác là 18 x 29 + 6√3.
SCIP Status : problem is solved [optimal solution found]
Solving Time (sec) : 1.07
Solving Nodes : 4650
Primal Bound : +7.09061485909243e+02 (6 solutions)
Dual Bound : +7.09061485909243e+02
Gap : 0.00 %
objective value: 709.061485909243
x1 18 (obj:0)
x2 39.3923047727357 (obj:0)
x3 709.061485909243 (obj:1)
x4 9 (obj:0)
x5 30.3923047727357 (obj:0)
x6 14 (obj:0)
x7 18.3923048064677 (obj:0)
x8 8 (obj:0)
x9 8 (obj:0)
x10 2 (obj:0)
x11 19.6154311552252 (obj:0)
[18,3,1] ↦ 1295.999999999
SCIP Status : problem is solved [optimal solution found]
Solving Time (sec) : 0.00
Solving Nodes : 13
Primal Bound : +1.29599999999900e+03 (4 solutions)
Dual Bound : +1.29599999999900e+03
Gap : 0.00 %
objective value: 1295.999999999
x1 35.9999999999722 (obj:0)
x2 36 (obj:0)
x3 1295.999999999 (obj:1)
x4 17.9999999999722 (obj:0)
x5 18 (obj:0)
x6 32.8552571627738 (obj:0)
x7 3 (obj:0)
x8 1 (obj:0)
x9 1 (obj:0)
Trường hợp thưởng
[1,2,3,4,5] ↦ 230.244214912998
SCIP Status : problem is solved [optimal solution found]
Solving Time (sec) : 401.31
Solving Nodes : 1400341
Primal Bound : +2.30244214912998e+02 (16 solutions)
Dual Bound : +2.30244214912998e+02
Gap : 0.00 %
objective value: 230.244214912998
x1 13.9282031800476 (obj:0)
x2 16.530790960676 (obj:0)
x3 230.244214912998 (obj:1)
x4 1 (obj:0)
x5 9.60188492354373 (obj:0)
x6 11.757778088743 (obj:0)
x7 3.17450418828415 (obj:0)
x8 3 (obj:0)
x9 13.530790960676 (obj:0)
x10 9.92820318004764 (obj:0)
x11 12.530790960676 (obj:0)
x12 5 (obj:0)
x13 5 (obj:0)
[3,4,5,6,7] ↦ 553.918025310597
SCIP Status : problem is solved [optimal solution found]
Solving Time (sec) : 90.28
Solving Nodes : 248281
Primal Bound : +5.53918025310597e+02 (18 solutions)
Dual Bound : +5.53918025310597e+02
Gap : 0.00 %
objective value: 553.918025310597
x1 21.9544511351279 (obj:0)
x2 25.2303290086403 (obj:0)
x3 553.918025310597 (obj:1)
x4 3 (obj:0)
x5 14.4852813557912 (obj:0)
x6 4.87198593295855 (obj:0)
x7 21.2303290086403 (obj:0)
x8 16.9544511351279 (obj:0)
x9 5 (obj:0)
x10 6 (obj:0)
x11 6 (obj:0)
x12 14.9544511351279 (obj:0)
x13 16.8321595389753 (obj:0)
[3,4,5,6,7,8] ↦ 777.87455544487
SCIP Status : problem is solved [optimal solution found]
Solving Time (sec) : 218.29
Solving Nodes : 551316
Primal Bound : +7.77874555444870e+02 (29 solutions)
Dual Bound : +7.77874555444870e+02
Gap : 0.00 %
objective value: 777.87455544487
x1 29.9626413867546 (obj:0)
x2 25.9614813640722 (obj:0)
x3 777.87455544487 (obj:1)
x4 13.7325948669477 (obj:0)
x5 15.3563780595534 (obj:0)
x6 16.0504838821134 (obj:0)
x7 21.9614813640722 (obj:0)
x8 24.9626413867546 (obj:0)
x9 20.7071098175984 (obj:0)
x10 6 (obj:0)
x11 19.9614813640722 (obj:0)
x12 7 (obj:0)
x13 7 (obj:0)
x14 21.9626413867546 (obj:0)
x15 8.05799919177801 (obj:0)
