Cho thấy một vấn đề trong X không phải là X-Complete

Các lý thuyết hiện sinh của đồng Real là trong pspace , nhưng tôi không biết cho dù đó là pspace-Complete . Nếu tôi tin rằng đó không phải là trường hợp, làm thế nào tôi có thể chứng minh điều đó?

Tổng quát hơn, với một vấn đề trong một số lớp X phức tạp , làm thế nào tôi có thể chỉ ra rằng nó không phải là X-Complete ? Ví dụ: X có thể là NP , PSPACE , EXPTIME .

Trên thực tế việc chứng minh không phải là P S P A C E -complete (dưới, giả sử, giảm thời gian đa thức) sẽ cực kỳ khó thực hiện.$X$$PSPACE$

Nếu , sau đó tất cả không tầm thường (tức là, không ∅ và không Σ ⋆ vấn đề) và vô hạn trong P S P Một C E là P S P Một C E -complete dưới giảm thời gian đa thức. Vì lý thuyết hiện sinh của các thực thể có thuộc tính không tầm thường và vô hạn này, chứng minh rằng nó không phải là P S P A C E -complete sẽ ám chỉ P ≠ P S P A $P=PSPACE$$\varnothing$$\Sigma^{\star}$$PSPACE$$PSPACE$ $PSPACE$ . (Xemcâu trả lời cho câu hỏi này trên CSTheory.SEđể có bản phác thảo bằng chứng.)$P \neq PSPACE$

Một vấn đề trong không phải là X -complete nếu có bất kỳ vấn đề nào khác trong X không thể khắc phục được. Một phương pháp đơn giản (nhưng có thể chỉ có hiệu quả trên các ví dụ tầm thường) sẽ được chứng minh vấn đề của bạn cũng là trong một số lớp độ phức tạp khác Y như rằng Y ⊂ X .$X$$X$$X$$Y$$Y \subset X$

$EXPTIME$$P$N P P P = N $P \subsetneq EXPTIME$$NP$$P$$P = NP$

Nhìn vào câu trả lời được chấp nhận cho câu hỏi này trên MathOverflow, Những kỹ thuật nào tồn tại để chỉ ra rằng một vấn đề chưa hoàn thành NP? . Nó trả lời trường hợp khi X = NP.

Như Ryan đã viết, chứng minh rằng một vấn đề không khó là không dễ.

Đặt là một vấn đề trong lớp phức tạp và được đóng giảm mức giảm wrt . Chứng minh rằng không phải là -hard wrt tương đương với việc tách lớp phức tạp thu được bằng cách đóng wrt . Bây giờ, nếu là khó khăn cho một lớp wrt , sau đó nó có nghĩa là tách từ . Như bạn đã biết, không có nhiều kết quả phân tách.X S ≤ Q X ≤ Q ≤ Q Y ≤ Y $Q$$X$$S$$\leq$$Q$$X$$\leq$$Q$$\leq$$Q$$Y$$\leq$$Y$$X$

Trong trường hợp của bạn, , và . ≤ = ≤ P m Y = $X = \mathsf{PSpace}$$\leq = \leq^\mathsf{P}_m$$Y=\mathsf{P}$

Bởi vì chúng tôi không thể chứng minh kết quả như vậy vào lúc này (với ngoại lệ có thể có của Ryan :), thay vì chứng minh rằng không phải là -hard, chúng tôi cho thấy rằng nó thuộc lớp phức tạp được cho là nhỏ hơn . Ví dụ: nếu bạn cho thấy nằm trong , thì nó sẽ được coi là bằng chứng mạnh mẽ cho không phải là -hard. (Trong ngôn ngữ của các nhà logic học, nếu bạn không thể chứng minh một kết quả vô điều kiện, hãy thử chứng minh một điều kiện giả định một tuyên bố khó chứng minh nhưng được tin tưởng rộng rãi như ).X X T h ∃ ( R , + , × , 0 , 1 ) P H Q X P ≠ P S p một c $Q$$X$$X$$\mathrm{Th}_\exists(\mathbb{R,+,\times,0,1})$$\mathsf{PH}$$Q$$X$$\mathsf{P}\neq\mathsf{PSpace}$