Có bất kỳ hai cây bao trùm của một đồ thị đơn giản luôn có một số cạnh chung?

Tôi đã thử một vài trường hợp và thấy bất kỳ hai cây bao trùm của một đồ thị đơn giản đều có một số cạnh phổ biến. Tôi có nghĩa là tôi không thể tìm thấy bất kỳ ví dụ truy cập cho đến nay. Nhưng tôi cũng không thể chứng minh hay bác bỏ điều này. Làm thế nào để chứng minh hoặc bác bỏ phỏng đoán này?

Không, hãy xem xét đồ thị hoàn chỉnh $K_4$ :

Nó có các cây bao quanh cạnh khác nhau:

Đối với những độc giả quan tâm hơn, có một số nghiên cứu về sự phân rã đồ thị thành các cây bao quanh cạnh nhau .

$n$$k$

$K_{4k+2}$${2k+1}$

$K_{2n}$

Bạn có thể tìm kiếm thêm. Ví dụ: tìm kiếm Google để phân tách biểu đồ thành các cây bao trùm .

$K_4$

Không, không đúng khi có hai cây bao trùm của đồ thị có các cạnh chung.

Hãy xem xét biểu đồ bánh xe:

Bạn có thể tạo một cây bao trùm với các cạnh "bên trong" vòng lặp và một cây khác từ vòng lặp bên ngoài.

$K_n$$n\geq4$

$2$

$K_n$$n\geq4$$n\geq4$$2$

$2$

1. $2$$2$
2. Có bất kỳ đồ thị nào khác ngoài bánh xe hoặc bánh xe như sơ đồ con của nó có các cây bao quanh với các cạnh rời nhau không?

$K_{2k}$

$0\leq i < k$

$n$$n+1$

Nếu biểu đồ có một cây cầu (tức là một cạnh mà việc loại bỏ sẽ ngắt kết nối biểu đồ), thì cạnh này phải thuộc về mỗi cây bao trùm. Theo trực giác, một cây cầu là cạnh duy nhất kết nối hai điểm cuối của nó và do đó nhất thiết phải thuộc về mỗi sơ đồ con được kết nối.

Mặt khác, nếu một cạnh của đồ thị thuộc về một chu kỳ, thì tồn tại một cây bao trùm không chứa cạnh này.

Vì vậy, nếu mọi cạnh của đồ thị thuộc về một chu kỳ, thì không có cạnh nào chung cho tất cả các cây bao trùm (nghĩa là giao điểm của các bộ cạnh của các cây bao trùm là tập rỗng).