Cách liên hệ kích thước mạch với thời gian chạy của máy Turing

Từ http://rjlipton.wordpress.com/2009/05/27/arithatures-hierarchy-and-pnp/ ,

Xác định, là máy Turing xác định hoạt động như sau trên đầu vào . Máy xử lý như một chương trình xác định và mô phỏng trên đầu vào . Đồng thời, máy chạy bộ đếm dừng thực thi sau các bước . Nếu máy chấp nhận trước khi bộ đếm dừng, thì nó chấp nhận; mặt khác, nó từ chối.$M_{[x,c]}$$y$$x$$x$$y$$|y|^c$

Đặt là số tự nhiên nhỏ nhất để mắc lỗi trên đầu vào . Sau đó, nếu là đúng, hàm luôn được xác định.$f(i,c)$$M_{[i,c]}$$y$$P \neq NP$$f(i,c)$

Định lý: Giả sử có vô số trong đó tồn tại một sao cho Sau đó, với vô số , SAT có kích thước mạch .$i$$c$

$$f(i,c) > 2^{2^{|i|+c}}$$ $n$$n^{O(\log n)}$

Chứng minh: Đặt và sao cho Xác định . Lưu ý, đó nhiều nhất là . Khi đó, trên tất cả có độ dài là chính xác, vì . Kích thước của mạch mô phỏng máy Turing này trên các đầu vào có độ dài là đa thức trong, và thời gian chạy của máy. Máy, theo định nghĩa, chạy trong thời gian$i>1$$c$

$$f(i,c) > 2^{2^{|i|+c}}$$ $n = 2^{|i|+c-1}$$c$$\log n$$M_{[i,c]}$$y$$n$$y \leq 2^n = 2^{2^{|i|+c-1}} < f(i,c)$$n$$|i|$$n$$|y|^c \leq n^c \leq n^{\log n}$

Tôi không nhận được phần này. Bất cứ ai cũng có thể giải thích điều này (để chỉ định, Kích thước của mạch mô phỏng máy Turing này trên các đầu vào có độ dài là đa thức trong , và thời gian chạy của máy, trong trích dẫn)? (Vì vậy, câu hỏi là làm thế nào chúng ta có thể liên hệ thời gian chạy của máy Turing với kích thước của mạch.)$n$$|i|$$n$

Cách để chỉ ra rằng các mạch tương đương với TM như sau: đối với một TM, bạn mã hóa nó ở dạng nhị phân (tức là trạng thái, chuyển tiếp, v.v.)

Sau đó, bạn xây dựng một mạch có các cổng biểu thị các chuyển tiếp giữa mỗi cấu hình của TM. Vì các chuyển đổi cấu hình là cục bộ, nên bạn chỉ cần các cổng cục bộ (tức là các cổng phụ thuộc vào số lượng đầu vào không đổi).

Ý tưởng là bạn có thể tính toán cấu hình từ cấu hình bằng cách kiểm tra nội dung của 3 ô liền kề và nếu đầu máy có ở đó, hãy cập nhật chúng cho phù hợp. Thật là kỹ thuật để viết chính thức, nhưng đó là một bằng chứng đơn giản (Xem "Độ phức tạp tính toán" của Arora và Barak để biết bằng chứng).$c_i$$c_{i-1}$

Sử dụng bằng chứng này, bạn thấy rằng kích thước của mạch là đa thức trong thời gian chạy của máy và độ dài đầu vào, bởi vì mạch được xây dựng theo "cấp độ", trong đó mỗi cấp tương ứng với cấu hình của TM.