Làm thế nào để tìm tập độc lập tối đa của đồ thị có hướng?

Tôi đang cố gắng giải quyết vấn đề này .

Vấn đề : Đưa ra$n$ số nguyên dương, nhiệm vụ của bạn là chọn số nguyên tối đa để không có hai số $a, b$ trong đó $a$ chia hết cho $b$.

Tôi phải tìm bộ độc lập tối đa và kích thước của bộ này. Kích thước có thể được tìm thấy bởi định lý König . Nhưng làm thế nào tôi có thể tìm thấy Tập độc lập tối đa (tức là đỉnh nào là một phần của tập hợp).

Tôi cũng đã thực hiện một số tìm kiếm và tìm thấy một cái gì đó ở đây :

If removing a vertex does not change minimum path cover then I can get the desired result without that vertex.

Nhưng tôi không hiểu định lý cơ bản. Bất kỳ trợ giúp sẽ rất hữu ích.

Bạn đang cố gắng tìm độ rộng của vị trí được xác định bởi tập hợp con đã cho của số nguyên và mối quan hệ chia hết. Độ rộng là số lượng tối đa của các chuỗi chống, tương đương với tập hợp tối đa các phần tử không thể so sánh được trong poset.

Điều này tương ứng chính xác với tập độc lập tối đa trong Biểu đồ so sánh , trong đó mỗi số nguyên là một đỉnh và có một cạnh từ$u$ đến $v$ nếu và chỉ nếu $u$ chia $v$.

Tìm tập hợp độc lập tối đa nói chung là một vấn đề khó, nhưng đồ thị so sánh là trường hợp đặc biệt tồn tại thuật toán hiệu quả.

Định lý của Dilworth đặc trưng cho chiều rộng của bất kỳ vị trí nào dưới dạng phân vùng của vị trí thành chuỗi (nguồn để đường dẫn chìm trong biểu đồ so sánh được định hướng). Định lý của Dilworth tương đương với định lý của König về Kết hợp Bipartite , như bạn đã đề xuất, dẫn đến một thuật toán. Biểu đồ lưỡng cực mà bạn xây dựng để sử dụng định lý của Konig và tìm tập độc lập tối đa thông qua kết hợp lưỡng cực được mô tả đơn giản trong liên kết Wikipedia ở trên. Để hoàn thiện, chúng tôi bao gồm nó ở đây (ở dạng chú thích):

"Xác định đồ thị lưỡng cực $G = (U,V,E)$ Ở đâu $U = V = S$ [tập hợp số nguyên] và trong đó (u, v) là một cạnh trong $G$ khi nào $u < v \in S$ [số nguyên $u$ chia số nguyên $v$]. Theo định lý của König, tồn tại một kết hợp$M$ trong $G$và một tập hợp các đỉnh $C$ trong $G$, sao cho mỗi cạnh trong biểu đồ chứa ít nhất một đỉnh trong $C$ và như vậy $M$ và $C$ có cùng số lượng $m$.

"Để cho $A$ là tập hợp các phần tử của S không tương ứng với bất kỳ đỉnh nào trong $C$; sau đó$A$ có ít nhất $n - m$ các yếu tố (có thể nhiều hơn nếu $C$chứa các đỉnh tương ứng với cùng một phần tử ở cả hai phía của phần lưỡng cực). Để cho$P$ là một gia đình của chuỗi được hình thành bao gồm $x$ và $y$ trong cùng một chuỗi bất cứ khi nào có một cạnh $(x,y)$ ở M$; then$P$has$chuỗi n - m $. Do đó, chúng tôi đã xây dựng một antichain và một phân vùng thành các chuỗi có cùng số lượng. "

Tập hợp các nhãn đỉnh khác nhau (số nguyên) trong $A$ là câu trả lời cho câu hỏi của bạn

Phần 3 của bài viết Thuật toán trực tuyến cho Phân vùng chuỗi của Dilworth của Ikiz và Garg mô tả hai thuật toán ngoại tuyến khác nhau để tính toán phân vùng chuỗi, và do đó, tập hợp độc lập mà bạn đang tìm kiếm. Một trong những thuật toán dựa trên phương pháp so khớp Bipartite.