Có bao nhiêu máy Turing chạy trong thời gian

Tôi nghĩ rằng một nửa trận chiến trong việc trả lời câu hỏi này nằm ở việc xây dựng nó một cách chính xác! Một công cụ tìm kiếm không bật lên nhiều, vì vậy tôi đã tự hỏi liệu đây là một câu hỏi nổi tiếng hay được nghiên cứu kỹ.

Suy nghĩ của tôi: Tôi nghĩ cách đơn giản nhất để hình thành câu hỏi này như trong tiêu đề của tôi: Cho các hằng số , có bao nhiêu TM chạy trong các bước hoặc ít hơn trên tất cả các đầu vào của kích thước và có bao nhiêu TM sử dụng hình vuông băng hoặc ít hơn trên tất cả các đầu vào có kích thước ? Đây có vẻ là cách trực tiếp và đơn giản nhất để đặt câu hỏi, nhưng chúng ta có thể muốn đặt lại câu hỏi theo một cách khác - ví dụ, được cung cấp một hàm , có bao nhiêu TM chạy trong thời gian trên các đầu vào có kích thước cho tất cả (hoặc các TM này "dày đặc" như thế nào)? Điều này có vẻ khó hơn với tôi. $t,s,k \in \mathbb{N}$ $t$ $k$ $s$ $k$ $p(k)$ $p(k)$ $k$ $k$

Có lẽ chúng ta nên sửa một bảng chữ cái băng (hoặc đánh số Godel ??). Chúng ta có thể coi hai TM có sơ đồ trạng thái đẳng cấu khác nhau là giống nhau hoặc khác nhau.

Vấn đề trước mắt là có một số lượng vô hạn: Lấy bất kỳ TM nào thỏa mãn các tiêu chí và thêm "trạng thái chết". Tôi có thể nghĩ ra hai cách để đối phó với điều này. Đầu tiên (mà tôi không thích) là thêm một tham số bổ sung: có bao nhiêu TM có mô tả có độ dài thỏa mãn các tiêu chí? Thứ hai (mà tôi thích) là xem xét hai TM tương đương với các đầu vào có kích thước nếu, đối với tất cả các đầu vào như vậy, các TM có chính xác cùng một hành vi (nhập cùng trạng thái và ghi / di chuyển trên băng giống hệt nhau). Sau đó, chúng tôi sẽ giới hạn ở TM tối thiểu trong mỗi lớp tương đương hoặc chỉ hỏi có bao nhiêu lớp tương đương thỏa mãn các tiêu chí. $\leq L$ $\leq k$

Chỉnh sửa: Như Vor đã chỉ ra trong các bình luận, vấn đề với cách tiếp cận thứ hai là về cơ bản nó giống như một mạch ở điểm đó. Vậy làm thế nào về cái đầu tiên? Hoặc có một cách đẹp hơn để chính thức hóa câu hỏi này?

Bất kỳ tài liệu tham khảo / tài liệu, suy nghĩ, hoặc câu trả lời sẽ rất thú vị và đánh giá cao!

— sử dụng
nguồn

Nếu bạn chọn , bạn có các hàm boolean riêng biệt . Vì vậy, nếu k <= t bạn nhận được ít nhất TM khác biệt ... và có lẽ chúng đủ để ngừng đếm các biến thể / tham số khác :-).

Σ = {0, 1}

$\Sigma = \{0,1\}$

2^{(2^{k})}

$2^{(2^k)}$

{0, 1}^{k} \to {0, 1}

$\{0,1\}^k \rightarrow \{0,1\}$

2^{(2^{k})}

$2^{(2^k)}$

— Vor

@Vor, tôi thấy tại sao có nhiều hàm boolean, nhưng tại sao tất cả chúng đều chạy đúng lúc

O (k)

$O(k)$ ... hmm, tôi đoán bởi vì chúng tôi chỉ xây dựng một DFA khác nhau cho mỗi người và biến nó thành sơ đồ trạng thái của TM của chúng tôi? OK, vì vậy để làm cho câu hỏi thú vị, tôi nên suy nghĩ về việc xác định lại hoặc thêm các ràng buộc mới.

— usul

Có thể dễ dàng hơn để hỏi về các ngôn ngữ thay vì TM và trong trường hợp đó, câu hỏi này thực sự liên quan đến các câu hỏi mở về sự phân tách lớp phức tạp, nói cách khác, có lẽ có cách để hình thành điều này tương đương với việc hỏi P =? NP, v.v. có thể xem xét vận tốc của TM tức là tỷ lệ

t (n) / s (n)

$t(n)/s(n)$ ... Ngoài ra, chủ đề này có thể được nghiên cứu thực nghiệm phần nào cho các ngôn ngữ "nhỏ" ...

— vzn

Câu trả lời:

Được $k$ , xem xét các tập hợp của $\mathcal{M}_k = \{ M_i \mid i \in \mathbb{N} \}$ với $M_i$ Được định nghĩa bởi

if |x| = k
  accept
else
  simulate TM i on x

Bộ $\mathcal{M}_k$ là tập hợp con của các máy Turing mà bạn muốn tính cho tất cả $s,t$ . Vì nó là vô hạn, tập hợp bạn muốn đếm cũng vô hạn.

Theo như tôi có thể nói, kết quả này ổn định trước mọi hạn chế mà bạn áp đặt miễn là bạn không hạn chế tập hợp tất cả các máy Turing khả thi là hữu hạn.

— Raphael
nguồn

Điều gì về việc thêm tương đương sau: hai máy tương đương với "mod k" nếu chúng hoạt động theo cùng một cách trên các đầu vào có kích thước k (có thể là phép chia đôi modulo). Bây giờ có ý nghĩa khi yêu cầu kích thước của các lớp tương đương - mod k.

— cody

@cody Những lớp đó cũng vô hạn. Thay đổi trong việc xây dựng elsechi nhánh của tôi count to i on the tape; rejectvà bạn nhận được một bộ chấp nhận vô hạn cho

Σ^{k}

$\Sigma^k$ ; cấu trúc tương tự về cơ bản hoạt động cho tất cả các ngôn ngữ (có thể quyết định).

— Raphael

Tôi xin lỗi, tôi bối rối, dường như mọi thứ trong nhánh 'khác' của bạn đều không liên quan đến "mod k", vì nó chỉ định hành vi trong trường hợp | x | là -không- k.

— cody

@cody: Có, và không. Tất cả các máy được mô tả chấp nhận cùng một tập hợp con của

Σ^{k}

$\Sigma^k$ Vì vậy, chúng là modulo tương đương

k

$k$ (nếu tôi hiểu chính xác những gì bạn muốn). Tuy nhiên, có vô số các elsenhánh như vậy , vì vậy lớp tương đương chứa vô số phần tử. Và, cho đến nay, yêu cầu của tôi, điều đó đúng với tất cả các lớp tương đương, vì một công trình tương tự luôn hoạt động. (Về cơ bản, tuyên bố là: mọi ngôn ngữ được chấp nhận bởi vô số TM. Hoặc thậm chí: đối với mỗi TM, có vô số các ngôn ngữ tương đương đầu ra khác.)

— Raphael

vì vậy đề xuất của tôi là xác định tất cả các TM hoạt động khác nhau bên ngoài

Σ^{k}

$\Sigma^k$ . Trong trường hợp đó nó vẫn còn rõ ràng rằng có vô cùng nhiều loại máy chấp nhận cùng một ngôn ngữ trong

Σ^{k}

$\Sigma^k$ . Tuy nhiên, không rõ ràng có vô số những người làm việc trong không gian và thời gian bị ràng buộc.

— cody

Câu hỏi của bạn liên quan chặt chẽ đến vấn đề hải ly bận rộn . Nó yêu cầu số lượng ký hiệu tối đa một $n$ -state Turing machine với 2 ký hiệu đầu ra luôn dừng ghi trước khi tạm dừng. Chức năng của $n$ định nghĩa theo cách này là không tính toán được.

— vonbrand
nguồn

chắc chắn, có một số kết nối, nhưng tôi chủ yếu quan tâm đến câu hỏi cho một số chức năng tính toán

t (k)

$t(k)$ ... Tôi không thấy cách sử dụng BB trong trường hợp đó.

— usul

bạn hỏi một số câu hỏi và hình thành một số ý tưởng thú vị thường gần như liên quan đến các câu hỏi mở về sự tách lớp phức tạp. ví dụ P =? NP có thể được định dạng lại khi hỏi về "bao nhiêu" ngôn ngữ NP (-hard) có thể được thực thi trong thời gian P. tuy nhiên có lẽ không có quá nhiều kết quả lý thuyết (hoặc nói cách khác) trong lĩnh vực này. có một số bài viết lý thuyết đưa ra giới hạn về cả độ phức tạp của thời gian / không gian của SAT sẽ chạm vào câu hỏi của bạn. tuy nhiên có lẽ nghiên cứu gần nhất với điều này là phân tích thực nghiệm về các TM, được gợi ý trong câu trả lời khác của vonbrand, ví dụ như với nghiên cứu hải ly bận rộn.

có một nghiên cứu tương tự nhưng tương đối hiếm hoi, xem xét các TM được tạo ra theo kinh nghiệm với "đồng hồ", ví dụ như P-time, v.v ... đây là một tham chiếu như vậy từ năm 2013. nó liệt kê các TM với đồng hồ thời gian P và xem xét / cho các mẫu fractal trong kết quả / được tạo ra "sơ đồ không gian thời gian" (còn được gọi là "tableaus tính toán"). một cách tiếp cận khác là xem xét các mẫu "hữu hạn nhỏ", ví dụ như giới hạn $t, s, k$ (và cả các tham số khác như trạng thái TM liệt kê).

Kích thước Fractal so với độ phức tạp tính toán Joost J. Joosten, Fernando Soler-Toscano, Hector Zenil

— vzn
nguồn