Số chu kỳ Hamilton trên biểu đồ Sierpiński

Tôi mới tham gia diễn đàn này và chỉ là một nhà vật lý làm điều này để giữ cho bộ não của anh ấy trong hình dạng, vì vậy xin vui lòng thể hiện sự duyên dáng nếu tôi không sử dụng ngôn ngữ thanh lịch nhất. Ngoài ra xin vui lòng để lại nhận xét, nếu bạn nghĩ rằng các thẻ khác sẽ phù hợp hơn.

Tôi cố gắng để giải quyết vấn đề này mà tôi cần phải tính toán số lượng Hamilton chu kỳ trong thứ trật tự Sierpinski-graph . (Vui lòng xem liên kết ở trên để biết định nghĩa và hình ảnh của đồ thị Sierpinki)n S $C(n)$$n$$S_n$

Tôi đã tìm thấy , nhưng tôi đã một cái gì đó, bởi vì giải pháp của tôi không khớp với giá trị đã cho . Lập luận của tôi bao gồm những suy nghĩ rất cơ bản, và tôi không thể tìm thấy sai lầm. Bất kỳ trợ giúp nào cũng được đánh giá rất cao. Ngay cả khi nó có vẻ dài, những suy nghĩ sẽ trở nên tầm thường nếu bạn nhìn vào biểu đồ trong khi theo dõi.C ( 5 ) = $C(n)$$C(5) = 71328803586048$

(a) Trong một đồ thị cho gọi các góc bên ngoài . Sau đó, tôi xác định các đại lượng sau: A , B , $S_n$$A,B,C$

A $N(n) :=$ số lượng đường đi Hamilton từ đến .$A$$C$

AC$\bar{N}(n) :=$ số lượng đường đi từ đến mà ghé thăm mỗi nút một lần trừ .$A$$C$$B$

Tôi cũng sẽ gọi các đường dẫn như vậy - hoặc -type đường dẫn sau đây.ˉ $N$$\bar{N}$

(b) Dễ dàng thấy rằng .$N(n)=\bar{N}(n)$

Lý do là như sau: Hãy xem xét một đường dẫn -type. Bắt đầu từ , đường dẫn này có dạng . Bằng cách thay thế phân đoạn bằng chúng tôi có được đường dẫn -type. Thao tác này ánh xạ duy nhất tất cả các đường dẫn -type sang các đường dẫn -type.A ( A , . . . , X 1 , B , X 2 , . . . , C ) ( X 1 , B , X 2 ) ( X 1 , X 2 ) ˉ N N ˉ $N$$A$$(A,...,X_1,B,X_2,...,C)$$(X_1,B,X_2)$$(X_1,X_2)$$\bar{N}$$N$$\bar{N}$

(c) Chúng tôi rút ra đệ quy .$N(n+1)=2N(n)^3$

Hãy xem xét một đường dẫn -type từ đến và biểu thị các tam giác con ở các góc ngoài theo , tương ứng. Rõ ràng là đường dẫn -type sẽ truy cập từng mục con chính xác một lần bắt đầu từ qua đến . Bây giờ hãy xem xét nút mà tại đó các và chạm vào. Có hai khả năng, khi điểm này được truy cập bởi đường dẫn, hoặc (i) trước khi rời hoặc (ii) sau khi nhậpA B A , B , C T A , T B , T C N T A T B T C Z T A T $N$$A$$B$$A,B,C$$T_A,T_B,T_C$$N$$T_A$$T_B$$T_C$$Z$$T_A$$T_C$$T_A$$T_C$. Trong những trường hợp ba subpath bên là các loại (i) hoặc (ii) , tương ứng. Với suy nghĩ này, chúng ta có thể đếm$T_A,T_B,T_C$ $N,N,\bar{N}$ $\bar{N},N,N$

$N(n+1)=N(n)N(n)\bar{N}(n)+\bar{N}(n)N(n)N(n)$ và với (b) chúng ta đến phía trên đệ quy.

(d) Chúng tôi giải đệ quy (c) với và thu được .N ( n ) = 2 3 0 + 3 1 + . . . + 3 n - $N(1)=1$$N(n)=2^{3^0+3^1+...+3^{n-2}}$

(e) Xem xét một chu kỳ Hamilton trong biểu đồ . Vì mỗi ba chuỗi con được kết nối với các nút khác chỉ qua hai nút, rõ ràng chu trình sẽ nhập chính xác từng chuỗi con một lần qua một nút kết nối, sau đó "điền" vào nó, cuối cùng sẽ rời khỏi nó qua nút kết nối khác. Do đó, chu trình Hamilton trong bao gồm ba đường dẫn -type trong các chuỗi con mà tất cả đều có cấu trúc của . Chúng ta có thể kết luận về số lượng chu kỳ HamiltonS n N S n - $S_n$$S_n$$N$$S_{n-1}$

$C(n) = N(n-1)^3$ .

Tuy nhiên, theo sau$n=5$

$C(5) = N(4)^3 = 8192^3=549755813888 \neq 71328803586048$

trong đó cái sau nên được lấy theo trang vấn đề (liên kết ở trên).

Cảm ơn một lần nữa cho bất kỳ sự giúp đỡ hoặc ý kiến.

Ý kiến ​​hay! Vấn đề dường như là ở bước . Thay thế trong -path bằng sẽ cung cấp một -path, nhưng không phải mọi -path sẽ chứa . Vì vậy, đây không phải là một bijection. Điều này chỉ nói .( X 1 , B , X 2 ) N ( X 1 , X 2 ) ˉ N ˉ N ( X 1 , X 2 ) N ( n ) ≤ ˉ N ( n $(b)$$(X_1,B,X_2)$$N$$(X_1,X_2)$$\bar{N}$$\bar{N}$$(X_1,X_2)$$N(n) \leq \bar{N}(n)$

Hoặc trên thực tế bạn có thể chỉ ra rằng , dẫn đến .N(n+1)=3N$\bar{N}(n) = 3N(n)/2$$N(n+1) = 3N^3$