Toán học đằng sau việc chuyển đổi từ cơ sở nào sang cơ sở nào mà không qua cơ sở 10?

Tôi đã xem xét toán học đằng sau việc chuyển đổi từ bất kỳ cơ sở nào sang bất kỳ cơ sở nào. Đây là nhiều hơn về việc xác nhận kết quả của tôi hơn bất cứ điều gì. Tôi đã tìm thấy những gì dường như là câu trả lời của tôi trên mathforum.org nhưng tôi vẫn không chắc liệu mình có đúng không. Tôi có việc chuyển đổi từ cơ sở lớn hơn sang cơ sở nhỏ hơn được rồi vì đơn giản chỉ cần lấy chữ số đầu tiên nhân với cơ sở bạn muốn thêm lặp lại chữ số tiếp theo. Vấn đề của tôi xuất hiện khi chuyển đổi từ cơ sở nhỏ hơn sang cơ sở lớn hơn. Khi làm điều này họ nói về cách bạn cần chuyển đổi cơ sở lớn hơn mà bạn muốn thành cơ sở nhỏ hơn mà bạn có. Một ví dụ sẽ là từ cơ sở 4 sang cơ sở 6, bạn cần chuyển đổi số 6 thành cơ sở 4 nhận được 12. Sau đó, bạn chỉ cần làm điều tương tự như khi bạn chuyển đổi từ lớn sang nhỏ. Khó khăn của tôi với điều này là có vẻ như bạn cần biết một số trong cơ sở khác là gì. Vì vậy, tôi cần phải biết 6 là gì trong cơ sở 4. Điều này tạo ra một vấn đề lớn trong tâm trí của tôi bởi vì sau đó tôi sẽ cần một bảng. Có ai biết một cách để làm điều này trong một thời trang tốt hơn.

Tôi nghĩ rằng một chuyển đổi cơ sở sẽ giúp nhưng tôi không thể tìm thấy bất kỳ công việc đó. Và từ trang web tôi thấy có vẻ như cho phép bạn chuyển đổi từ cơ sở sang cơ sở mà không cần thông qua cơ sở 10 nhưng trước tiên bạn cần biết cách chuyển đổi số đầu tiên từ cơ sở sang cơ sở. Điều đó làm cho nó trở nên vô nghĩa.

Các nhà bình luận đang nói rằng tôi cần có khả năng chuyển đổi một chữ cái thành một số. Nếu vậy tôi đã biết điều đó. Đó không phải là vấn đề của tôi. Vấn đề của tôi là để chuyển đổi một cơ sở lớn thành một cơ sở nhỏ, trước tiên tôi cần chuyển đổi số cơ sở tôi có thành số cơ sở tôi muốn. Khi làm điều này, tôi đánh bại mục đích bởi vì nếu tôi có khả năng chuyển đổi các căn cứ này sang các căn cứ khác thì tôi đã giải quyết được vấn đề của mình.

Chỉnh sửa: Tôi đã tìm ra cách chuyển đổi từ các cơ sở nhỏ hơn hoặc bằng 10 thành các cơ sở khác nhỏ hơn hoặc bằng 10. Tôi cũng có thể đi từ một cơ sở lớn hơn 10 đến bất kỳ cơ sở nào có giá trị từ 10 trở xuống. Vấn đề bắt đầu khi chuyển đổi từ một cơ sở lớn hơn 10 sang một cơ sở khác lớn hơn 10. Hoặc đi từ một cơ sở nhỏ hơn 10 đến một cơ sở lớn hơn 10. Tôi không cần mã Tôi chỉ cần toán học cơ bản đằng sau nó có thể áp dụng cho mã.

Đây có vẻ là một câu hỏi rất cơ bản đối với tôi, vì vậy xin lỗi nếu tôi giảng cho bạn một chút. Điểm quan trọng nhất để bạn tìm hiểu ở đây là một số không phải là biểu diễn chữ số của nó . Một số là một đối tượng toán học trừu tượng, trong khi biểu diễn chữ số của nó là một thứ cụ thể, cụ thể là một chuỗi các ký hiệu trên một tờ giấy (hoặc một chuỗi các bit trong bộ nhớ tính toán, hoặc một chuỗi các âm thanh mà bạn tạo ra khi bạn giao tiếp một số). Điều làm bạn bối rối là thực tế là bạn không bao giờ nhìn thấy một con số mà luôn luôn đại diện cho chữ số của nó. Vì vậy, cuối cùng bạn nghĩ rằng con số là đại diện.

Do đó, câu hỏi chính xác cần đặt ra không phải là "làm thế nào để tôi chuyển đổi từ cơ sở này sang cơ sở khác" mà là "làm thế nào để tôi tìm ra số nào được biểu thị bằng một chuỗi chữ số đã cho" và "làm cách nào để tìm đại diện chữ số của a số đã cho ".

Vì vậy, chúng ta hãy tạo ra hai hàm trong Python, một hàm để chuyển đổi biểu diễn chữ số thành số và một hàm khác để làm ngược lại. Lưu ý: khi chúng tôi chạy chức năng Python tất nhiên sẽ in trên màn hình số nó có trong cơ sở 10. Nhưng điều này không có nghĩa là máy tính đang giữ số ở cơ sở 10 (không phải vậy). Nó không liên quan như thế nào máy tính đại diện cho các con số.

def toDigits(n, b):
    """Convert a positive number n to its digit representation in base b."""
    digits = []
    while n > 0:
        digits.insert(0, n % b)
        n  = n // b
    return digits

def fromDigits(digits, b):
    """Compute the number given by digits in base b."""
    n = 0
    for d in digits:
        n = b * n + d
    return n

Hãy để chúng tôi kiểm tra những điều này:

>>> toDigits(42, 2)
[1, 0, 1, 0, 1, 0]
>>> toDigits(42, 3)
[1, 1, 2, 0]
>>> fromDigits([1,1,2,0],3)
42

Được trang bị các chức năng chuyển đổi, vấn đề của bạn được giải quyết dễ dàng:

def convertBase(digits, b, c):
    """Convert the digits representation of a number from base b to base c."""
    return toDigits(fromDigits(digits, b), c)

Một thử nghiệm:

>>> convertBase([1,1,2,0], 3, 2) 
[1, 0, 1, 0, 1, 0]

Lưu ý: chúng tôi đã không thông qua đại diện cơ sở 10! Chúng tôi đã chuyển đổi đại diện cơ sở thành số, và sau đó số thành cơ sở c . Con số không có trong bất kỳ đại diện. (Trên thực tế, máy tính phải đại diện cho nó bằng cách nào đó và nó đã đại diện cho nó bằng cách sử dụng tín hiệu điện và những thứ thú vị xảy ra trong chip, nhưng chắc chắn đó không phải là 0 và 1.)$b$$c$

Tôi nghĩ rằng cách tốt nhất để hiểu điều này là trong cuộc thảo luận với người ngoài hành tinh (ít nhất là tương tự).

Định nghĩa là một số trong cơ sở $x$$b$ có nghĩa là là một chuỗi các chữ số < b .$x$$<b$

Ví dụ Chuỗi các chữ số 10010011011 là một số trong cơ sở 2, chuỗi 68416841531 là một số trong cơ sở 10, BADCAFE là một số trong cơ sở 16.

Bây giờ Giả sử tôi lớn lên trên hành tinh quux nơi tất cả mọi người được dạy để làm việc tại cho toàn bộ cuộc sống của họ, và tôi gặp bạn của những người được sử dụng để cơ sở b . Vì vậy, bạn chỉ cho tôi một số, và tôi phải làm gì? Tôi cần một cách để giải thích nó:$q$$b$

Định nghĩa Tôi có thể diễn giải một số trong cơ sở (Lưu ý: b là một số trong cơ sở q ) theo công thức sau$b$$b$$q$

$$\begin{array}{rcl} [\![\epsilon]\!] &=& 0 \\ [\![\bar s d]\!] &=& [\![\bar s]\!] \times b + d \end{array}$$

nơi biểu thị chuỗi rỗng, và ˉ s d biểu thị một chuỗi kết thúc bằng các chữ số d . Xem bằng chứng của tôi rằng bổ sung thêm$\epsilon$$\bar s d$$d$ cho một giới thiệu về ký hiệu này.

Vậy chuyện gì đã xảy ra ở đây? Bạn đã cho tôi một số ở cơ sở và tôi đã giải thích nó thành cơ sở q mà không có bất kỳ triết lý kỳ lạ nào về những con số thực sự là gì.$b$$q$

Chìa khóa Chìa khóa cho điều này là và + Tôi có các hàm hoạt động trên các số q cơ sở . Đây là các thuật toán đơn giản được định nghĩa đệ quy trên các số q cơ sở (chuỗi các chữ số).$\times$$+$$q$$q$

---

Điều này có vẻ hơi trừu tượng vì tôi đã sử dụng các biến thay vì số thực tế trong suốt. Vì vậy, chúng ta hãy giả sử bạn là một sinh vật cơ sở 13 (sử dụng những biểu tượng ) và tôi đã quen với cơ sở 7 (mà là nhiều hơn nữa hợp lý) sử dụng những biểu tượng alpha beta gamma delta ρ ζ ξ .$0123456789XYZ$$\alpha \beta \gamma \delta \rho \zeta \xi$

Vì vậy, tôi đã thấy bảng chữ cái của bạn và lập bảng như vậy:

$$\begin{array}{|c|c||c|c||c|c|} \hline 0 & \alpha & 1 & \beta & 2 & \gamma \\ 3 & \delta & 4 & \rho & 5 & \zeta \\ 6 & \xi & 7 & \beta\alpha & 8 & \beta\beta \\ 9 & \beta\gamma & X & \beta\delta & Y & \beta\rho \\ & & Z & \beta\zeta & & \\ \hline \end{array}$$

$\beta\xi$

$60Z8$

$$\begin{array}{rcl} [\![60Z8]\!] &=& \xi (\beta\xi)^3 + \alpha (\beta\xi)^2 + \beta \zeta (\beta\xi) + \beta\beta \\ \end{array}$$

Vì vậy, tôi bắt đầu bằng cách nhân ra nhưng đây là công cụ học lớp cho tôi, tôi nhớ lại:$\beta \zeta \times \beta\xi$

Bảng nhân Quux

$$\begin{array}{|c|cccccc|} \hline \\ \times & \beta & \gamma & \delta & \rho & \zeta & \xi \\ \hline \beta & \beta & \gamma & \delta & \rho & \zeta & \xi \\ \gamma & \gamma & \rho & \xi & \beta\beta & \beta\delta & \beta\zeta \\ \delta & \delta & \xi & \beta\gamma & \beta\zeta & \gamma\beta & \gamma\rho \\ \rho & \rho & \beta\beta & \beta\zeta & \gamma\gamma & \gamma\xi & \delta\delta \\ \zeta & \zeta & \beta\delta & \gamma\beta & \gamma\xi & \delta\rho & \rho\gamma \\ \xi & \xi & \beta\zeta & \gamma\rho & \delta\delta & \rho\gamma & \zeta\beta \\ \beta\alpha & \beta\alpha & \gamma\alpha & \delta\alpha & \rho\alpha & \zeta\alpha & \xi\alpha \\ \hline \end{array}$$

$\beta \zeta \times \beta\xi$

$$\begin{array}{ccc} & \beta & \zeta \\ \times & \beta & \xi \\ \hline & \xi & \gamma \\ & \rho & \\ \beta & \zeta & \\ \hline \delta & \beta & \gamma \\ \gamma & & \\ \end{array}$$

vì vậy tôi đã có được điều này đến nay

$$\begin{array}{rcl} [\![60Z8]\!] &=& \xi (\beta\xi)^3 + \alpha (\beta\xi)^2 + \beta \zeta (\beta\xi) + \beta\beta \\ &=& \xi (\beta\xi)^3 + \alpha (\beta\xi)^2 + \delta \beta \gamma + \beta\beta \\ \end{array}$$

Bây giờ tôi cần thực hiện bổ sung bằng thuật toán đã được đề cập trước đó:

$$\begin{array}{ccc} \delta & \beta & \gamma \\ & \beta & \beta \\ \hline \delta & \gamma & \delta \\ \end{array}$$

vì thế

$$\begin{array}{rcl} [\![60Z8]\!] &=& \xi (\beta\xi)^3 + \alpha (\beta\xi)^2 + \beta \zeta (\beta\xi) + \beta\beta \\ &=& \xi (\beta\xi)^3 + \alpha (\beta\xi)^2 + \delta \beta \gamma + \beta\beta \\ &=& \xi (\beta\xi)^3 + \alpha (\beta\xi)^2 + \delta \gamma \delta \\ \end{array}$$

$$[\![60Z8]\!] = \zeta\delta\xi\gamma\rho.$$

---

$q$$b$$q$

Đây chỉ là một cấu trúc lại (Python 3) mã của Andrej . Trong số mã của Andrej được thể hiện thông qua một danh sách các chữ số (vô hướng), trong khi các mã số sau đây được thể hiện thông qua một danh sách các ký hiệu được lấy từ một chuỗi tùy chỉnh :

def v2r(n, base): # value to representation
    """Convert a positive number to its digit representation in a custom base."""
    b = len(base)
    digits = ''
    while n > 0:
        digits = base[n % b] + digits
        n  = n // b
    return digits

def r2v(digits, base): # representation to value
    """Compute the number represented by string 'digits' in a custom base."""
    b = len(base)
    n = 0
    for d in digits:
        n = b * n + base[:b].index(d)
    return n

def b2b(digits, base1, base2):
    """Convert the digits representation of a number from base1 to base2."""
    return v2r(r2v(digits, base1), base2)

Để thực hiện chuyển đổi từ giá trị sang biểu diễn trong cơ sở tùy chỉnh:

>>> v2r(64,'01')
'1000000'
>>> v2r(64,'XY')
'YXXXXXX'
>>> v2r(12340,'ZABCDEFGHI') # decimal base with custom symbols
'ABCDZ'

Để thực hiện chuyển đổi từ đại diện (trong cơ sở tùy chỉnh) sang giá trị:

>>> r2v('100','01')
4
>>> r2v('100','0123456789') # standard decimal base
100
>>> r2v('100','01_whatevr') # decimal base with custom symbols
100
>>> r2v('100','0123456789ABCDEF') # standard hexadecimal base
256
>>> r2v('100','01_whatevr-jklmn') # hexadecimal base with custom symbols
256

Để thực hiện chuyển đổi cơ sở từ cơ sở này sang cơ sở khác:

>>> b2b('1120','012','01')
'101010'
>>> b2b('100','01','0123456789')
'4'
>>> b2b('100','0123456789ABCDEF','01')
'100000000'

Hoạt động cơ bản của hội tụ cơ sở là toDigits()hoạt động của câu trả lời @AndrejBauer. Tuy nhiên, để làm cho nó không cần phải tạo một số trong biểu diễn bên trong của các số, về cơ bản là một chuyển đổi từ và đại diện cho cơ sở 2. Bạn có thể thực hiện các hoạt động cần thiết trong đại diện cơ sở ban đầu.

Vì vậy, bước đầu tiên là thực hiện thao tác phân chia modulo lặp đi lặp lại

def convertBase(n,original_base,destination_base):
    digits = []    
    while not is_zero(n):
        digits.insert(0,modulo_div(n,original_base,destination_base))
    return digits

Vì biểu diễn bên trong là các chữ số, người ta phải tạo một hàm được xác định để kiểm tra zero

def is_zero(n):
    for d in n:
        if d != 0:
            return False
    return True

Cuối cùng, người ta phải thực hiện thao tác modulo_div, đây thực sự là sự phân chia tiêu chuẩn theo cơ sở đích như chúng ta đã học ở trường.

def modulo_div(n,original_base,destination_base):
    carry = 0
    for i in range(len(n)):
        d = n[i]
        d+=original_base*carry 
        carry = d%destination_base 
        d=(d//destination_base)
        n[i] = d
        #print(i,d,carry)
    return carry

chỉ cần kiểm tra để xác minh mã là chính xác:

print(convertBase([1,1,2,0], 3, 2))
#[1, 0, 1, 0, 1, 0]

print(convertBase([1, 0, 1, 0, 1, 0], 2, 3))
#[1, 1, 2, 0]

Tôi biết một cách dễ dàng để thực hiện chuyển đổi cơ sở mà không yêu cầu chương trình máy tính. Đó là bằng cách xác định một cách để chuyển đổi từ bất kỳ cơ sở nào sang cơ sở 2 và ngược lại và sau đó chuyển đổi từ cơ sở này sang cơ sở khác bằng cách chuyển đổi từ cơ sở đầu tiên sang cơ sở 2 sau đó chuyển đổi từ cơ sở 2 sang cơ sở khác. 2 rất dễ dàng để nhân hoặc chia trong bất kỳ cơ sở.

Để chuyển đổi từ bất kỳ cơ sở nào sang cơ sở 2, tất cả những gì bạn phải làm là nhận ra rằng với bất kỳ số nào, nếu bạn lấy ký hiệu cơ sở 2 của nó và bắt đầu từ 0 và sau đó cho mỗi chữ số theo thứ tự từ trái sang phải gấp đôi nếu chữ số đó bằng 0 và gấp đôi thêm 1 nếu chữ số đó là 1, bạn sẽ nhận được chính số đó. Bây giờ với số đó trong bất kỳ cơ sở nào, bạn có thể chia cho 2 trong cơ sở đó để lấy thương số và phần còn lại. Nếu phần còn lại là 1, chữ số nhị phân cuối cùng là 1 và nếu phần còn lại là 0, chữ số nhị phân cuối cùng là 0. Chia cho 2 lần nữa. Nếu phần còn lại là 1, chữ số cuối cùng thứ hai là 1 và nếu phần còn lại là 0, chữ số cuối cùng thứ hai là 0 và cứ thế cho đến khi bạn nhận được thương số là 0.

Để chuyển đổi từ cơ sở 2 sang bất kỳ cơ sở nào, tất cả những gì bạn phải làm là ở cơ sở đó, bắt đầu từ 0, sau đó cho mỗi chữ số nhị phân đi từ trái sang phải, tăng gấp đôi trong cơ sở đó nếu chữ số đó là 0 và gấp đôi sau đó thêm 1 vào đó cơ sở nếu chữ số đó là 1.

Bạn có thể chuyển đổi từ cơ sở n sang cơ sở 10 mà không cần chuyển đổi sang một số cơ sở trung gian.

Ví dụ, để chuyển đổi từ cơ sở n sang cơ sở 9, bạn sử dụng thuật toán để chuyển đổi sang cơ sở 10 và thay thế 10 phút 10 bằng Thay đổi 9. Tương tự cho bất kỳ cơ sở khác.