Cho một hằng số k, tìm cây gốc lớn nhất có thể, nếu với mọi đường dẫn từ gốc đến lá, tổng số arity của các nút của nó bằng k?

Ví dụ, đây là tất cả các cây có thể cho trường hợp $k=3$ : Trên mỗi nút được viết là arity của nó (= số lượng con).

Mặc dù điều này có thể giải quyết được bằng lập trình động, tôi nghĩ rằng đã có một kết quả kết hợp về điều này (chính xác hoặc một giới hạn trên hạt khá mịn). Có ai biết nó không?

Biên tập:

Kích thước của cây là số nút mà nó có, vì vậy cây lớn nhất sẽ là cây có số nút tối đa.

Đặt $B(n)$ là kích thước của cây lớn nhất, trong đó các hương vị của mỗi con đường từ gốc đến lá cộng với $n$ .

Nếu gốc của một cây như vậy có arity $k$ , thì các đường dẫn cho mỗi cây con $k$ phải cộng tới $n-k$ . Khi subtrees phải được tối ưu, cây có kích thước $1+k\cdot B(n-k)$ .

Một công thức $B(n)$ chỉ tối đa hóa mà biểu hiện qua $k$ , sử dụng các giá trị trước đó $B(n-1), B(n-2),\dots$ .

$1,2,3,5,7,11,16,23,34,\dots$

Giải thích về chuỗi có: "Tổng tối đa của x0 + x0 * x1 + ... + x0 * x1 * ... * xk trên tất cả các tác phẩm x0 + ... + xk = n". Đó thực sự là cùng một chuỗi: nếu chuỗi các aromatic dọc theo đường dẫn từ gốc là x0, x1, ..., xk chúng sẽ tổng hợp thành n và số nút thực sự là công thức đã cho.

Một nhận xét khác tại Sloane rất thú vị: "Với n> = 8, giải pháp trở thành tuần hoàn: a (3n + k) = 3 + 3a (3n - 3 + k)". Điều này dường như cho thấy rằng đối với các giá trị lớn hơn 24 gốc của cây luôn có ba con.