Độ sâu của đệ quy là gì nếu chúng ta chia một mảng thành

Chúng ta có một hàm lấy một mảng làm đầu vào. Nó chia một mảng thành các phần với kích thước bằng nhau trong đó là kích thước của phân đoạn. Nó tiếp tục phá vỡ từng phân đoạn cho đến khi chỉ còn hai yếu tố trong đó. Độ sâu của đệ quy này là gì?$\log_2(n)$$n$

Ví dụ về quy trình:

Đầu tiên chúng ta có phần tử và chia chúng thành các phần với kích thước bằng nhau. Mỗi phần này có các phần tử trong đó. Trong cấp độ đệ quy tiếp theo, chúng tôi sẽ chia từng phần con thành các phần với kích thước bằng nhau. Bây giờ chúng sẽ có các phần tử trong mỗi một trong số chúng. Và chúng tôi tiếp tục phá vỡ mảng theo cách này cho đến khi chúng tôi đạt được một phân đoạn chỉ có hai yếu tố trong đó.$n$$\log_2(n)$$\frac {n} {log_2(n)}$$log_2(\frac {n} {log_2(n)})$$\frac {\frac {n} {log_2(n)}} {log_2(\frac {n} {log_2(n)})}$

Để cho $f(n) = n/\log n$và biểu thị bằng $g(n)$ số lượng ứng dụng của $f$ nó cần để có được $n$dưới một số hằng số tùy ý. Một mặt,$f^{(t)}(n) \geq n/\log^t n$, và vì thế

$$g(n) \geq \log_{\log n} n = \frac{\log n}{\log \log n}.$$ Để có được giới hạn trên, hãy lưu ý rằng miễn là $f^{(t)}(n) \geq \sqrt{n}$, chúng ta có $\log f^{(t)}(n) \geq (\log n)/2$và vì vậy nó mất nhiều nhất $\log_{(\log n)/2} n = O(\log n/\log\log n)$ lặp đi lặp lại để giảm $n$ đến $\sqrt{n}$. Lập luận tương tự áp dụng cho việc giảm$\sqrt{n}$ đến $\sqrt[4]{n}$ và như vậy, và do đó $$g(n) \ll \frac{\log n}{\log\log n} + \frac{\log \sqrt{n}}{\log\log \sqrt{n}} + \frac{\log \sqrt[4]{n}}{\log\log \sqrt[4]{n}} + \cdots.$$ (Đây $\cdot \ll \cdot$ giống như $\cdot = O(\cdot)$.) Thông báo rằng $\log \sqrt{n} = \frac{1}{2} \log n$. Cho lớn$n$, chúng ta sẽ có $\log\log \sqrt{n} \geq \frac{2}{3} \log \log n$ (nói), và như vậy $$\frac{\log \sqrt{n}}{\log\log \sqrt{n}} \leq \frac{2}{3} \frac{\log n}{\log\log n}.$$ Do đó, tổng được chia thành một chuỗi hình học hội tụ và chúng tôi kết luận rằng $$g(n) = O\left(\frac{\log n}{\log\log n}\right).$$ Tổng cộng, chúng tôi nhận được rằng $$g(n) = \Theta\left(\frac{\log n}{\log \log n}\right).$$ Với nhiều công việc hơn, chúng ta có thể chứng minh một ước tính tinh tế hơn như $$g(n) \sim \frac{\log n}{\log \log n}.$$

Có vẻ như bạn đang đề cập đến logarit lặp, còn được gọi là $log *$chức năng. Đây là một hàm biểu thị số lần bạn có thể lấy logarit của một số cho đến khi nó tạo ra một số nhỏ hơn hoặc bằng 1.

Các $log*$chức năng phát triển rất chậm. Nó là nghịch đảo của tetration.

Xem thêm về điều đó ở đây .

Gọi n là kích thước của mảng. Đặt k = log2 (n). Ở bước đầu tiên, bạn chia cho k. Miễn là kích thước mảng nhiều hơn$n^{1/2}$, bạn chia cho nhiều hơn k / 2. Tôi muốn nói đây là O (log n / log log n).

(Luôn tách thành k phần sẽ tách log n / log k. Bạn đã hỏi trường hợp đặc biệt k = log n, do đó log n / log log n. Sau đó, bạn cần quyết định xem thu nhỏ k có tạo ra sự khác biệt hay không.)

Tất cả logarit dưới đây có nghĩa là logarit với cơ sở 2, $\log_2(\cdot)$.

---

Hãy để chúng tôi đặt tên cho chức năng được đưa ra trong câu hỏi $\operatorname{slog}$. ("slog" comes from splitting with log. It can also imply "smaller than log".) In precise terms, $\operatorname{slog}$ on $\Bbb N$ is defined by the following conditions.

• base case, $\operatorname{slog}(1)=0$ and $\operatorname{slog}(2)=1.$
• the recurrence relation, $\operatorname{slog}(n)=1+ \text{slog}\left(\left\lceil\dfrac{n}{ \lceil\log n\rceil}\right\rceil\right)$ for $n\gt2.$

We can prove the following proposition on the asymptotic behavior of $\operatorname{slog}(n)$.

$$\lim_{n\to\infty}\dfrac{\quad\text{ slog}(n)\quad}{\dfrac{\log n}{\log\log n}}=1.$$

Here is the basic idea of the proof.

$$\begin{align} \lim_{n\to\infty}\frac{\log n}{\log\log n}-\frac{\log \frac n{\log n}}{\log\log \frac n{\log n}} &=\lim_{m\to\infty}\frac{m}{\log m}-\frac{m-\log m}{\log(m-\log m)}\\ &=\lim_{m\to\infty}\frac{m}{\log m}-\frac{m-\log m}{\log m + \log(1- \frac{\log m}m)}\\ &=\lim_{m\to\infty}\frac{(\log m)^2+ m\log(1- \frac{\log m}m)}{(\log m)(\log m+ \log(1- \frac{\log m}m))}\\ &=\lim_{m\to\infty}\frac{(\log m)^2+ m(-\frac{\log m}m)}{(\log m)(\log m)}\\ &=1 \end{align}$$

Corollary. $\text{slog}(n)=\Theta\left(\dfrac{\log n}{\log\log n}\right)$.

---

The same conclusion holds if we define $\text{slog}(x)$ for $x>1$ with $\text{slog}(x)=1$ for $1\lt x\le 2$ and $\operatorname{slog}(n)=1+ \text{slog}\left(\dfrac{n}{ \log n}\right)$.

---

Exercise. Write the full proof of $\text{slog}(n)\sim \dfrac{\log n}{\log\log n}$.