Số lượng từ có độ dài nhất định trong một ngôn ngữ thông thường

Có một đặc tính đại số của số lượng từ có độ dài nhất định trong một ngôn ngữ thông thường?

Wikipedia nêu một kết quả không chính xác:

Đối với bất kỳ ngôn ngữ thông thường $L$ nào tồn tại hằng số $\lambda_1,\,\ldots,\,\lambda_k$ và đa thức$p_1(x),\,\ldots,\,p_k(x)$ như vậy mà cho mỗi$n$ số$s_L(n)$ các từ có độ dài$n$ trong$L$ thỏa mãn phương trình $s_L(n)=p_1(n)\lambda_1^n+\dotsb+p_k(n)\lambda_k^n$ .

Nó không nói gì không gian $\lambda$ là sống trong ( $\mathbb{C}$ , tôi đoán) và xem chức năng bắt buộc phải có giá trị số nguyên không âm trên tất cả các $\mathbb{N}$ . Tôi muốn một tuyên bố chính xác, và một bản phác thảo hoặc tài liệu tham khảo cho bằng chứng.

Câu hỏi thưởng: là ngược lại, có nghĩa là được cung cấp một chức năng của hình thức này, có luôn luôn có một ngôn ngữ thông thường có số lượng từ trên mỗi độ dài bằng với chức năng này không?

_{Câu hỏi này khái quát Số từ trong ngôn ngữ thông thường $(00)^*$}

Với ngôn ngữ thông thường , hãy xem xét một số DFA chấp nhận L , gọi A là ma trận chuyển của nó ( A i j là số cạnh dẫn từ trạng thái i sang trạng thái j ), gọi x là vectơ đặc trưng của trạng thái ban đầu và để $L$$L$$A$$A_{ij}$$i$$j$$x$$y$ là vectơ đặc trưng của các trạng thái chấp nhận. Khi đó

$$s_L(n) = x^T A^n y.$$

Bang Jordan lý rằng trong số phức, là tương tự như một ma trận với các khối của một trong những hình thức ( λ ) , ( λ 1 0 λ ) , ( λ 1 0 0 λ 1 0 0 λ ) , ( λ 1 0 0 0 λ 1 0 0 0 λ 1 0 0 0 λ ) , ... Nếu λ ≠ 0 thứ quyền hạn của các khối là $A$

$$\begin{pmatrix} \lambda \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} \lambda & 1 \\ 0 & \lambda \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} \lambda & 1 & 0 \\ 0 & \lambda & 1 \\ 0 & 0 & \lambda \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} \lambda & 1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \lambda \end{pmatrix}, \ldots$$ $\lambda \neq 0$ thì $n$ Đây là cách chúng tôi đến các công thức: viết các khối nhưB=λ+N. Các lũy thừa liên tiếp củaNlà các đường chéo thứ cấp liên tiếp của ma trận. Sử dụng định lý nhị thức (sử dụng thực tế làλđi lại vớiN), Bn=(λ+n)N= $$\begin{pmatrix} \lambda^n \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} \lambda^n & n\lambda^{n-1} \\ 0 & \lambda^n \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} \lambda^n & n\lambda^{n-1} & \binom{n}{2} \lambda^{n-2} \\ 0 & \lambda^n & n\lambda^{n-1} \\ 0 & 0 & \lambda^n \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} \lambda^n & n\lambda^{n-1} & \binom{n}{2}\lambda^{n-2} & \binom{n}{3}\lambda^{n-3} \\ 0 & \lambda^n & n\lambda^{n-1} & \binom{n}{2}\lambda^{n-2} \\ 0 & 0 & \lambda^n & n\lambda^{n-1} \\ 0 & 0 & 0 & \lambda^n \end{pmatrix}, \ldots$$ $B = \lambda + N$$N$$\lambda$$N$ Khiλ=0, khối là nilpotent và chúng ta nhận được các ma trận sau (ký hiệu[n=k]là1nếun=kvà0nếu không): ( [ n = 0 ] ),( [ n = 0 ] [ n = 1 ] 0 [ ] ) $$B^n = (\lambda + n)^N = \lambda^n + n \lambda^{n-1} N + \binom{n}{2} \lambda^{n-2} N^2 + \cdots.$$ $\lambda = 0$$[n = k]$$1$$n=k$$0$ $$\begin{pmatrix} [n=0] \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} [n=0] & [n=1] \\ 0 & [n=0] \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} [n=0] & [n=1] & [n=2] \\ 0 & [n=0] & [n=1] \\ 0 & 0 & [n=0] \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} [n=0] & [n=1] & [n=2] & [n=3] \\ 0 & [n=0] & [n=1] & [n=2] \\ 0 & 0 & [n=0] & [n=1] \\ 0 & 0 & 0 & [n=0] \end{pmatrix}$$

$A^n$ đều thuộc dạng$\binom{n}{k} \lambda^{n-k}$ hoặc của hình thức $[n=k]$và chúng tôi suy luận rằng

$$s_L(n) = \sum_i p_i(n) \lambda_i^n + \sum_j c_j [n=j],$$ cho một số phức tạp $\lambda_i,c_j$ và đa thức phức tạp $p_i$. Đặc biệt, cho đủ lớn$n$, $$s_L(n) = \sum_i p_i(n) \lambda_i^n.$$ Đây là tuyên bố chính xác của kết quả.

Chúng tôi có thể tiếp tục và có được thông tin tiệm cận về $s_L(n)$, nhưng điều này đáng ngạc nhiên là không tầm thường. Nếu có một$\lambda_i$ độ lớn nhất, nói $\lambda_1$, sau đó

$$s_L(n) = p_1(n) \lambda_1^n (1 + o(1)).$$ Mọi thứ trở nên phức tạp hơn khi có một vài $\lambda$s có cường độ lớn nhất. Điều đó xảy ra rằng góc của chúng phải hợp lý (nghĩa là lên đến độ lớn, chúng là gốc rễ của sự thống nhất). Nếu LCM của mẫu số là$d$, then the asymptotics of $s_L$ will very according to the remainder of $n$ modulo $d$. For some of these remainders, all $\lambda$s of largest magnitude cancel, and then the asymptotics "drops", and we have to iterate this procedure. The interested reader can check the details in Flajolet and Sedgewick's Analytic Combinatorics, Theorem V.3. They prove that for some $d$, integers $p_0,\ldots,p_{d-1}$ and reals $\lambda_0,\ldots,\lambda_{d-1}$, $$s_L(n) = n^{p_{n\pmod{d}}} \lambda_{n\pmod{d}}^n (1 + o(1)).$$

Let $L \subseteq \Sigma^*$ a regular language and

$\qquad \displaystyle L(z) = \sum\limits_{n \geq 0} |L_n|z^n$

its generating function, where $L_n = L \cap \Sigma^n$ and so $|L_n|=s_L(n)$.

It is known that $L(z)$ is rational, i.e.

$\qquad \displaystyle \frac{P(z)}{Q(z)}$

with $P,Q$ polynomials; this is easiest seen by translating a right-linear grammar for $L$ into a (linear!) equation system whose solution is $L(z)$.

The roots of $Q$ are essentially responsible for the $|L_n|$, leading to the form stated on Wikipedia. This is immediately related with the method of characteristic polynomials for solving recurrences (via the recurrence which describes $(|L_n|)_{n \in \mathbb{N}}$) .