Có mã nhị phân có chiều dài 6, kích thước 32 và khoảng cách 2 không?

Vấn đề là chứng minh hay bác bỏ sự tồn tại của $C$ , st, $|c| = 6,\forall c\in C$ ; $|C| = 32$ ; $d(c_i,c_j)\geq2,1\leq i<j\leq32$ . ( $d$ là viết tắt của khoảng cách hamming)

Tôi đã cố gắng xây dựng một mã thỏa mãn. Điều tốt nhất tôi có thể nhận được là để cho $C = C'\times C'$ , một nối của $C' = \{000,011,110,101\}$ , trong đó có kích thước 16. 32 sẽ xảy ra là các lý thuyết trên ràng buộc về kích thước, bây giờ tôi không biết phải làm gì tiếp theo để giải quyết vấn đề.

Vâng, có một bộ như vậy. Bạn đang thực sự đi đúng hướng để tìm ví dụ sau.

Đặt $C = \{c : |c|=6 \text{ and there are even number of 1's in c}\}$ . Bạn có thể kiểm tra như sau.

• $|C|=32$ .
• $d(u,v)\geq2$ cho tất cả các$u,v\in C$ ,$u\not=v$ . (Trong thực tế,$d(u,v)=2$ hoặc 4 hoặc 6.)

Dưới đây là bốn bài tập liên quan, được liệt kê theo thứ tự độ khó tăng dần. Như trong câu hỏi, chỉ có mã nhị phân được quan tâm.

Bài tập 1. Cho một ví dụ khác về một bộ gồm 32 từ có độ dài 6 và khoảng cách theo cặp ít nhất là 2.

Bài tập 2. Chỉ ra rằng chỉ có hai bộ như vậy, như được đưa ra trong câu trả lời và trong bài tập 1.

Bài tập 3. Tổng quát hóa từ trên thành các từ có độ dài bất kỳ và khoảng cách theo cặp ít nhất là 2. (Gợi ý, $32=2^{6-1}$ )

Bài tập 4. (khái quát hóa thêm trong câu trả lời của Yuval) Nếu $A(n,d)$ là kích thước tối đa của mã có độ dài $n$ và khoảng cách cặp tối thiểu $d$ , thì $A(d,2d)=A(n-1,2d-1)$ .

Tất cả các từ chẵn lẻ từ một mã tuyến tính với từ mã $2^{n-1}$ và khoảng cách tối thiểu $2$ .

Tổng quát hơn, nếu $A_2(n,d)$ là kích thước tối đa của mã có độ dài $n$ và khoảng cách tối thiểu $d$ , thì $A_2(n,2d) = A_2(n-1,2d-1)$ .