Số FLOP (phép toán dấu phẩy động) để lũy thừa

Số lượng các phép toán dấu phẩy động cần thiết để thực hiện lũy thừa (sức mạnh của) là gì?

Giả sử phép nhân của hai số float sử dụng một FLOP, số lượng thao tác cho sẽ là . Tuy nhiên, có cách nào nhanh hơn để làm điều này? Làm thế nào nó hoạt động nếu không phải là một số nguyên?$x^n$$n-1$$n$

Giả sử phép nhân giữa hai số sử dụng một FLOP, số lượng thao tác cho sẽ là . Tuy nhiên, có cách nào nhanh hơn để làm điều này ...$x^n$$n-1$

Chắc chắn là có một cách nhanh hơn để làm điều này đối với các số nguyên không âm. Ví dụ: . Phải mất một phép nhân để tính , thêm một lần nữa để tính , thêm một lần nữa để tính và hai lần nữa để nhân ba số đó. Điều này cho thấy một chi phí đơn giản và một thuật toán đơn giản.$x^{14}=x^{8}x^{4}x^{2}$$x^2$$x^4$$x^8$

• Chuyển đổi công suất nguyên không âm sang cơ sở 2.
• Đếm số lượng của những người trong đại diện này.
• Thêm sức mạnh của hai tương ứng với bit khác không có ý nghĩa nhất trong biểu diễn này.
• Trừ đi một.

Điều này mang lại một thuật toán ngắn gọn cho bất kỳ công suất nguyên không âm. Thuật toán này là hiệu quả nhất, lên tới . Thuật toán này gợi ý sáu phép nhân là cần thiết để tính kể từ . Tuy nhiên, 15 là 120 trong cơ sở 3 và 30 trong cơ sở 5, cả hai đều ngụ ý rằng chỉ cần năm phép nhân để tính : từ cơ sở ba đại diện và từ đại diện năm cơ sở. Số phép nhân tối thiểu cần thiết để tính trong đó là số nguyên không âm thực tế là một bài toán hoàn thành NP$x^{14}$$x^{15}$$x^{15}=x^8x^4x^2x$$x^{15}$$x^{15}=(x^3)^4x^3$$x^{15}=(x^5)^3$$x^n$$n$. Nhưng nó ít hơn rất nhiều so với phép nhân .$n-1$

... và nó hoạt động như thế nào nếu không phải là số nguyên?$n$

Có một số thủ thuật người ta có thể sử dụng nếu là hợp lý. Nhưng nếu là số thực và là số thực không âm, người ta phải sử dụng các kỹ thuật gần đúng. (Ví dụ: các kỹ thuật gần đúng được sử dụng hai lần trong khi tính toán .)$n$$x$$n$$\exp(n\ln(x))$

Sử dụng phép nhân n-1 sẽ khá daft. Ví dụ: nếu n = 1024, bạn chỉ cần bình phương x mười lần. Trường hợp xấu nhất là 2 * log_2 (n). Bạn có thể tra cứu Donald Knuth, Nghệ thuật lập trình máy tính, để biết một số chi tiết làm thế nào để làm điều đó nhanh hơn. Có một số tình huống, như n = 1023, trong đó bạn sẽ bình phương x mười lần cho x ^ 1024, sau đó chia cho x.

Bạn có thể sử dụng công thức

Nếu bạn chỉ muốn sử dụng phép nhân, khi là số tự nhiên, bạn có thể sử dụng bình phương lặp lại , sử dụng phép nhân . Đối với khác , phép nhân một mình không đủ.$n$$O(\log n)$$n$

Mọi người nói với bạn những gì xảy ra khi là một số nguyên.$n$

Về điều đó khi không, thậm chí có thể không tồn tại một cách để thực hiện phép lũy thừa dấu phẩy động.

Nó được gọi là Thế lưỡng nan của Trình tạo bảng , cho biết dung lượng bộ nhớ bạn cần không bị ràng buộc:

Không có cách chung nào tồn tại để dự đoán có bao nhiêu chữ số phụ sẽ phải được thực hiện để tính toán một biểu thức siêu việt và làm tròn nó chính xác với một số chữ số được gán trước.
Ngay cả thực tế (nếu đúng) rằng một số hữu hạn các chữ số phụ cuối cùng sẽ đủ có thể là một định lý sâu sắc.

Nếu bạn nghiêm túc về vấn đề này, bạn có thể không cố gắng tìm một giải pháp có số lần nhân thấp nhất, nhưng với thời gian thực hiện thấp nhất.

Hãy xem xét một mô hình trong đó bạn có thể bắt đầu phép nhân trong mỗi chu kỳ, nhưng mỗi phép nhân có một số chu kỳ cố định, giả sử là 3 chu kỳ. Một phương pháp tính x ^ n với k phép nhân có thể mất 3k chu kỳ (nếu mỗi phép nhân phụ thuộc vào kết quả được tính toán trước đó), trong khi phương pháp aa sử dụng nhiều phép nhân có thể chạy nhanh hơn.

Ví dụ: Để tính x ^ 15, bạn có thể tính theo thứ tự đó x ^ 2 = x * x, x ^ 3 = (x ^ 2) * x, x ^ 6 = (x ^ 3) ^ 2, x ^ 7 = x ^ 6 * x, x ^ 14 = (x ^ 7) ^ 2, x ^ 15 = x ^ 14 * x. Sáu phép nhân, nhưng mỗi phép nhân phụ thuộc vào số trước.

Hoặc bạn tính x ^ 2, x ^ 4 = (x ^ 2) ^ 2, x ^ 3 = x ^ 2 * x, x ^ 5 = (x ^ 4) * x, x ^ 15 = x ^ 5 * x ^ 3, vì vậy bạn chỉ có bốn phép nhân tùy thuộc vào kết quả trước đó.