Yêu cầu tổng hợp con

Hãy xem xét vấn đề sau.

Cho một tập$S$ số nguyên , một hàm$f : \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ và $k \in \mathbb{Z}$, quyết định thời tiết có $X \subseteq S$ như vậy mà $f\left(\sum_{x\in X}x\right)=k$.

Đây có còn được coi là một vấn đề tổng hợp con ?

Chẳng hạn, đã cho

$\qquad \displaystyle S=\{ −7, −3, −2, 5, 8\}$

và , tìm tập con sao cho với . Trong trường hợp này, một giải pháp là .$k=0$$X$$f\left(\sum_{x\in X}x\right)=0$$f(y)=-3+y$$X=\{ -3,-2,8 \}$

Nó phụ thuộc vào hình thức $f$. Nếu$f(x) = x$, sau đó nó giống hệt với tập hợp con. Nếu$f(x) = 0$, sau đó nó là một vấn đề nhỏ với một $O(1)$ giải pháp: trả lại $true$. Bạn có thể xác định$f$ theo những cách khác để làm cho câu hỏi trở nên khó khăn hơn hoặc ít hơn.

Xem bên dưới một sở thú phức tạp nhỏ tương ứng với các lựa chọn khác nhau của $f$:

• cho $f(x) = c$, vấn đề là $O(1)$( trả lại đúng$c = 0$).
• cho $f(x) = 0$ cho $x \geq 0$ và $f(x) = 1$ mặt khác, vấn đề là $O(n)$( tìm kiếm tuyến tính cho bất kỳ số nào lớn hơn 0 )
• cho $f(x) = 0$ cho $x \geq c$, $c > 0$, $f(x) = 1$ mặt khác, vấn đề không hơn $O(n \log n$) ( sắp xếp các mục trong tập hợp theo thứ tự giảm dần và xem liệu có bất kỳ tiền tố nào tổng hợp với một giải pháp làm việc không )
• cho $f(x) = ax + b$, vấn đề khó như tổng tập hợp con (theo nghĩa không chính thức và tôi không cung cấp một cấu trúc để chứng minh việc giảm từ tập hợp con này sang ... nếu tôi sai về điều này, xin vui lòng cho tôi biết !)
• cho $f(x) = 0$ nếu máy Turing được mã hóa bởi $x$Biểu diễn nhị phân dừng lại khi đưa ra biểu diễn nhị phân của $x$ làm đầu vào (cách khác, khi được cung cấp băng trống làm đầu vào và các loại sự cố tạm dừng tương tự) và $f(x) = 1$mặt khác, vấn đề là không thể giải quyết được ( một giải pháp cho vấn đề này$f$có thể giải quyết vấn đề tạm dừng )

Còn ai thấy vui nữa không?

Bạn có thể nhận được các vấn đề khó khăn tùy ý tùy thuộc vào $f$.

Để cho $A$là một ngôn ngữ. Định nghĩa$f$ như sau:

Xem xét thiết lập $S=\{x\}$. Có một tập hợp con không trống$X\subseteq S$ thứ $f(\Sigma_{x\in X} x) = 0$ iff $x \in A$.

Không đặt yêu cầu phức tạp $f$ bạn có thể nhận được các vấn đề khó khăn tùy ý.

Một trường hợp thú vị là khi $f$là độ phức tạp hạn chế, ví dụ thời gian đa thức tính toán. Trong trường hợp đó chúng ta có thể sử dụng nó để đảo ngược$f$, do đó, các vấn đề có thể khó khăn như đảo ngược hàm thời gian đa thức tùy ý (và giả sử rằng có các bộ tạo số psuedo-ngẫu nhiên tính toán thời gian rất khó đảo ngược trong thời gian phụ, điều đó có nghĩa là bạn không thể giải quyết vấn đề) $g$là một hàm tính toán thời gian đa thức tùy ý. Giả sử rằng chúng ta được đưa ra$y\in Range(g)$ và chúng tôi muốn tìm một $x$ thứ $g(x)=y$. Định nghĩa$f(x)=g(x)$. Để cho$S= \{0,1,2,4,8,\ldots, 2^m\}$ cho lớn phù hợp $m$ (để chắc chắn rằng một tiền đề của $y$có thể được biểu diễn dưới dạng tổng của các số trong tập hợp). Ở mỗi bộ, chúng tôi sẽ xóa một số$2^i$ từ tập hợp và kiểm tra nếu vẫn còn một tập hợp con $X$ thứ $f(\Sigma_{x\in X} x)=y$. Nếu câu trả lời là có, chúng tôi biết có một giải pháp không cần số đó, vì vậy chúng tôi xóa nó khỏi$S$vĩnh viễn Nếu câu trả lời là không, chúng tôi biết rằng chúng tôi cần số đó cho tất cả các giải pháp. Sau$m$ các bước chúng ta sẽ có một bộ $S$ đó là một giải pháp và không có tập hợp con của nó là một giải pháp, vì vậy chúng tôi có thể trả về $x=\Sigma_{x \in S} x$ như câu trả lời của chúng tôi

Mặt khác, nếu $f$ là thời gian đa thức tính toán, vấn đề sẽ ở $\mathsf{NP}$.

Trong trường hợp đặc biệt là hàm $f$ là tuyến tính, vì $\Sigma$ đi lại với các hàm tuyến tính, vấn đề cũng giống như giải quyết tập hợp con $f(S) = \{ f(x) \mid x \in S\}$. Miễn là hàm tuyến tính không phải là hằng số, vấn đề sẽ khó như tổng tập hợp con, tức là$\mathsf{NP\text{-}hard}$ (nếu bạn muốn giải quyết thể hiện tổng hợp con $(S,k)$, ứng dụng $f^{-1}$ cho các thành viên của $S$ để có được $S'$ và sau đó sử dụng phiên bản sửa đổi trên $(S',k)$ để giải quyết nó).

(Thủ thuật này cũng sẽ hoạt động cho trường hợp tổng quát hơn trong đó hàm $f$ là thời gian đa thức tính toán và có nghịch đảo cũng là thời gian tính toán đa thức.)

Đúng, đây vẫn là bài toán tổng con , nhưng thay vì tìm tập con có tổng là$0$, bạn được yêu cầu phải có một số tiền bằng với một thứ khác (trong ví dụ của bạn là 3, nói chung là $f^{-1}(0)$, có thể là một bộ số nếu $f$là nhiều đến một ).

Điều này không thay đổi nhiều khó khăn của vấn đề đối với tính từ $f$, nhưng mặt khác phụ thuộc vào số lượng tiền tố $f^{-1}(0)$có. Như đã nêu, nếu$f(y)=0$, vấn đề trở nên tầm thường.