Tại sao P và P / poly không giống nhau?

Định nghĩa của P là một ngôn ngữ có thể được quyết định bởi thuật toán thời gian đa thức. Định nghĩa của P / poly có thể được hiểu là một ngôn ngữ có thể được quyết định bởi một mạch có kích thước đa thức (xem http://pages.cs.wisc.edu/~jyc/02-810notes/lecture09.pdf ). Bây giờ, tại sao một mạch có kích thước đa thức không thể được mô phỏng trong thời gian đa thức?

Điểm về mạch là một mạch có số lượng đầu vào cố định. Điều này có nghĩa rằng, để xác định một ngôn ngữ, chúng ta cần một gia đình của các mạch $C_0, C_1, C_2, \dots$ như vậy mà mạch  $C_i$ sẽ cho bạn biết chuỗi có độ dài  $i$ đang trong ngôn ngữ, đối với mỗi  $i$ . Điều này không đòi hỏi phải có bất kỳ mối quan hệ nào giữa các mạch $C_i$ và  $C_{i+1}$ : chúng có thể hoàn toàn khác nhau. Đặc biệt, đối với mọi tập hợp  $S\subseteq\mathbb{N}$ , bạn có thể đặt khai báo $C_i=\mathrm{true}$ nếu$i\in S$ và$C_i=\mathrm{false}$ cho$i\notin S$ . Ngay cả khi$S$  là không thể giải quyết được!

Ngược lại, một ngôn ngữ nằm trong  $\mathrm{P}$ nếu có một máy Turing duy nhất cho bạn biết liệu mọi đầu vào có thể có của mọi độ dài có thể có trong ngôn ngữ đó hay không. Bây giờ, bạn không thể chơi bất kỳ trò chơi vui nhộn nào về các đầu vào có độ dài khác nhau.

Bạn đúng khi cho rằng chúng ta có thể đánh giá bất kỳ mạch cố định trong  $\mathrm{P}$ . Nhưng điều đó không nhất thiết đủ để quyết định một ngôn ngữ trong $\mathrm{P/poly}$ . Để làm điều đó, trước tiên chúng ta cần tính toán độ dài của đầu vào, sau đó sử dụng nó để xác định mạch  $C_i$ chúng ta cần đánh giá, sau đó đánh giá mạch. Như ví dụ trên cho thấy, phần "xác định mạch nào" thậm chí có thể không tính toán được, chứ chưa nói đến tính toán trong thời gian đa thức.