Xây dựng hai hàm

Xây dựng hai hàm $f,g: R^+ → R^+$ thỏa mãn:

1. $f, g$ liên tục;
2. $f, g$ đang tăng đơn điệu;
3. $f \ne O(g)$ và$g \ne O(f)$ .

Có rất nhiều ví dụ cho các chức năng như vậy. Có lẽ cách dễ nhất để hiểu làm thế nào để có được một ví dụ như vậy, là bằng cách xây dựng nó bằng tay.

Hãy bắt đầu với chức năng trên các số tự nhiên, vì chúng có thể được hoàn thành liên tục đến thực tế.

Một cách tốt để đảm bảo rằng và g ≠ O ( f ) là xen kẽ giữa các bậc độ lớn của chúng. Ví dụ: chúng ta có thể định nghĩa$f\neq O(g)$$g\neq O(f)$

$f(n)=\begin{cases} n & n \text{ is odd}\\ n^2 & n \text{ is even}\\ \end{cases}$

Sau đó, chúng ta có thể có cư xử ngược lại trên tỷ lệ cược và SỐ CHẴN. Tuy nhiên, điều này không phù hợp với bạn, vì các chức năng này không tăng đơn điệu.$g$

Tuy nhiên, sự lựa chọn của có phần tùy ý và chúng ta có thể chỉ cần tăng cường độ để có sự đơn điệu. Bằng cách này, chúng tôi có thể đưa ra:$n,n^2$

và g ( n ) = { n 2 n - 1 n  là số lẻ n 2 n n $f(n)=\begin{cases} n^{2n} & n \text{ is odd}\\ n^{2n-1} & n \text{ is even}\\ \end{cases}$$g(n)=\begin{cases} n^{2n-1} & n \text{ is odd}\\ n^{2n} & n \text{ is even}\\ \end{cases}$

Rõ ràng đây là những chức năng đơn điệu. Ngoài ra, , vì trên nguyên lẻ, e cư xử như n 2 n khi g cư xử như n 2 n - 1 = n 2 n / n = o ( n 2 n ) , và ngược lại trên evens.$f(n)\neq O(g(n))$$f$$n^{2n}$$g$$n^{2n-1}=n^{2n}/n=o(n^{2n})$

Bây giờ tất cả những gì bạn cần là hoàn thành chúng vào thực tế (ví dụ: bằng cách thêm các phần tuyến tính giữa các số nguyên, nhưng điều này thực sự nằm bên cạnh điểm).

Ngoài ra, bây giờ bạn có ý tưởng này, bạn có thể sử dụng các hàm lượng giác để xây dựng '`công thức đóng' 'cho các hàm như vậy, vì và cos đang dao động và đạt cực đại trên các điểm xen kẽ.$\sin$$\cos$

Minh họa tốt cho tôi là: http://www.wolframalpha.com/input/?i=sin%28x%29%2B2x%2C+cos%28x%29%2B2x

g ( n ) = 2 x + c o s ( x ) f ≠ O ( g ) g ≠ O ( f