Sự phức tạp của các vấn đề NP-hard hoặc -complete mạnh có thay đổi khi đầu vào của chúng được mã hóa không chính thức không?

Liệu khó khăn của một vấn đề NP-hard hoặc NP-Complete mạnh mẽ (như được xác định ở đây ) có thay đổi khi đầu vào của nó là đơn nhất thay vì được mã hóa nhị phân không?

Có gì khác biệt nếu đầu vào của một vấn đề NP-hard mạnh được mã hóa đơn phương? Ý tôi là, nếu tôi lấy ví dụ về vấn đề Knapsack NP-perfect yếu, thì nó hoàn thành NP khi được mã hóa nhị phân nhưng có thể được giải quyết trong thời gian đa thức bằng cách lập trình động khi mã hóa đơn nguyên. Có lẽ nó có một số hàm ý cho độ cứng của mức độ cao hơn của thời kỳ gia truyền đa thức?

Có phải khái niệm mạnh mẽ ...- cứng cũng giữ cho các lớp phức tạp khác, ví dụ các lớp cao hơn của hệ thống phân cấp thời gian đa thức?

Trước đây tôi đã hỏi câu hỏi này tại stackoverflow.com nhưng nó đã chỉ ra rằng nó phù hợp hơn ở đây.

$N$$N$$\log N$$F(N)$$F(\text{size})$$F(2^{\text{size}})$

Không.

Nếu bạn thay đổi mã hóa của đầu vào, bạn đã thay đổi định nghĩa chính thức của vấn đề, điều đó có nghĩa đó là một vấn đề khác . Sự phức tạp của vấn đề ban đầu không thay đổi, vì cùng một lý do là chỉ vào một ánh sáng khác trên bầu trời không làm thay đổi khối lượng của mặt trăng.

Câu trả lời ngắn gọn là, nếu đầu vào được mã hóa đơn nguyên thì nó dài hơn . Nó dài hơn theo cấp số nhân . Bây giờ, một thuật toán hoạt động trong thời gian đa thức theo kích thước của đầu vào có "đủ thời gian" để giải quyết vấn đề, chỉ vì bản thân đầu vào dài hơn theo cấp số nhân so với vấn đề ban đầu.

Nhìn thấy vấn đề xây dựng được chỉ ra trong câu trả lời của JeffE, câu trả lời là có.

Hãy xem xét vấn đề Knapsack . Nó có một đa thức giả thuật toán , đó là một thuật toán có thời gian chạy giới hạn bởi một đa thức trong một số được mã hóa trong đầu vào. Bởi vì trong các giá trị mã hóa đơn nguyên tương ứng với độ dài, đây là thuật toán đa thức thời gian cho phiên bản đơn nguyên.

Trong thực tế, mọi vấn đề hoàn thành NP yếu đều thuộc loại này.