Ngôn ngữ liên quan đến số vô tỷ không phải là CFL

Tôi đang làm việc thông qua một bài tập khó trong sách giáo khoa và tôi không thể tìm ra cách tiến hành. Đây là vấn đề. Giả sử chúng ta có ngôn ngữ trong đó là một số vô tỷ. Làm thế nào tôi có thể chứng minh rằng không phải là một ngôn ngữ không ngữ cảnh?$L = \{a^ib^j: i \leq j \gamma, i\geq 0, j\geq 1\}$$\gamma$$L$

Trong trường hợp khi hợp lý, việc xây dựng một ngữ pháp chấp nhận ngôn ngữ là khá dễ dàng. Nhưng vì là không hợp lý, tôi thực sự không biết phải làm gì. Nó không giống như bất kỳ bổ đề bơm nào sẽ hoạt động ở đây. Có lẽ định lý của Parikh sẽ hoạt động ở đây, vì nó có vẻ như ngôn ngữ này không có hình ảnh Parikh bán nguyệt đi kèm.$\gamma$$\gamma$

Bài tập này là từ "Khóa học thứ hai về ngôn ngữ chính thức và lý thuyết tự động" của Jeffrey Shallit, Bài tập 25 của Chương 4.

Tôi thực sự sẽ đánh giá cao bất kỳ sự giúp đỡ, hoặc huých đúng hướng. Cảm ơn bạn!

Theo định lý của Parikh, nếu có ngữ cảnh thì tập sẽ là semilinear, nghĩa là, nó sẽ là tập hợp của nhiều tập hợp chính xác biểu mẫu , đối với một số .$L$$M = \{(a,b) : a \leq \gamma b \}$$S = u_0 + \mathbb{N} u_1 + \cdots + \mathbb{N} u_\ell$$u_i = (a_i,b_i)$

Rõ ràng , và hơn nữa cho mỗi , vì nếu không cho đủ lớn . Do đó (vì là hợp lý). Điều này có nghĩa là mọi thỏa mãn .$u_0 \in M$$u_i \in M$$i > 0$$u_0 + N u_i \notin M$$N$$g(S) := \max(a_0/b_0,\ldots,a_\ell/b_\ell) < \gamma$$g(S)$$(a,b) \in S$$a/b \leq g(S)$

Bây giờ giả sử là liên kết của và xác định . Những điều đã nói ở trên cho thấy rằng mọi trong liên minh đều thỏa mãn và chúng tôi có được một mâu thuẫn, vì .$M$$S^{(1)},\ldots,S^{(m)}$$g = \max(g(S^{(1)}),\ldots,g(S^{(m)})) < \gamma$$(a,b)$$a/b \leq g < \gamma$$\sup \{ a/b : (a,b) \in M \} = \gamma$

Khi là hợp lý, bằng chứng không thành công và thực tế là semilinear: Thật vậy, bằng cách xây dựng, bất kỳ cặp ở phía bên phải đều thỏa mãn (kể từ ). Ngược lại, giả sử rằng . Trong khi và , trừ từ . Cuối cùng, (vì ngụ ý$\gamma$$M$

Mỗi biến ngoại trừ trong câu trả lời này là viết tắt của một số nguyên dương. Người ta biết rằng với một số không hợp lý , có một chuỗi các số hữu tỷ sao cho gần với hơn bất kỳ số hữu tỷ nào khác nhỏ hơn có mẫu số nhỏ hơn .$\gamma$$\gamma>0$$\dfrac{a_1}{b_1}\lt\dfrac{a_2}{b_2}\lt\dfrac{a_3}{b_3}\lt\cdots \lt\gamma$$\dfrac{a_i}{b_i}$$\gamma$$\gamma$$b_i$

Nó chỉ ra rằng bổ đề bơm làm việc!

Vì mâu thuẫn, hãy coi là độ dài bơm của là ngôn ngữ không ngữ cảnh. Đặt , một từ là nhưng "hầu như không". Lưu ý rằng . Hãy xem xét , trong đó và cho tất cả .$p$$L$$s=a^{a_p}b^{b_p}$$L$$|s|>b_p\ge p$$s=uvwxy$$|vx|> 1$$s_n=uv^nwx^ny\in L$$n\ge0$

Gọi và là số s và s trong .$t_a$$t_b$$a$$b$$vx$

• Nếu hoặc , với đủ lớn, tỷ lệ số của s so với s trong sẽ lớn hơn , tức là .$t_b=0$$\dfrac{t_a}{t_b}\gt\gamma$$n$$a$$b$$s_n$$\gamma$$s_n\not\in L$
• khác, . Vì , . Do đó, Kể từ , mà nói rằng .$\dfrac{t_a}{t_b}\lt\gamma$$t_b<b_p$$\dfrac{t_a}{t_b}\lt \dfrac{a_p}{b_p}$$\dfrac{a_p-t_a}{b_p-t_b}>\dfrac{a_p}{b_p}$$b_p-t_b<b_p$$\dfrac{a_p-t_a}{b_p-t_b}>\gamma,$$s_0\not\in L$

Mâu thuẫn ở trên cho thấy không thể không có ngữ cảnh.$L$

Dưới đây là hai bài tập dễ dàng hơn liên quan.

Bài tập 1. Cho thấy không có ngữ cảnh trong đó là một số vô tỷ.$L_\gamma=\{a^{\lfloor i \gamma\rfloor}: i\in\Bbb N\}$$\gamma$

Bài tập 2. Cho thấy có ngữ cảnh trong đó là số hữu tỷ.$L_\gamma=\{a^ib^j: i \leq j \gamma, i \ge0, j\ge 0\}$$\gamma$