Có phải việc tìm một đường dẫn có nhiều đỉnh màu đỏ hơn đỉnh màu xanh NP-hard?

Cho một đồ thị được kết nối, có hướng , các đỉnh và một màu, st và có màu đen và tất cả các đỉnh khác có màu đỏ hoặc màu xanh , có thể tìm thấy một đường dẫn đơn giản từ đến với nhiều màu đỏ hơn đỉnh màu xanh trong thời gian đa thức?$G=(V,E)$$s,t \in V$$s$$t$$s$$t$

Tôi nghĩ điều đó là có thể nhưng TA của chúng tôi đã nói rằng đây là NP-hard.

Ý tưởng cho một giải pháp:

Từ tạo như sau: $G$$G'=(V',E')$

• Chia tất cả thành hai đỉnh và . được tạo thành từ các cặp đỉnh chia và và . $v \in V\setminus \{s,t\}$$v_{in}$$v_{out}$$V'$$s$$t$

• Với tất cả giới thiệu một cạnh . (Đối với cạnh hoặc trong đó tạo cạnh hoặc resp.). Ngoài ra, giới thiệu một cạnh cho bất kỳ đỉnh chia nào. Vì vậy, chứa hai loại cạnh: những người mà tương ứng với cạnh từ và những người mà tương ứng với đỉnh từ .$e=(u,v) \in E$$(u_{out},v_{in})$$(x,v)$$(u,x)$$x \in \{s,t\}$$(x,v_{in})$$(u_{out},x)$$(v_{in},v_{out})$$E'$$E$$V$

Bây giờ, chúng tôi giới thiệu trọng lượng như sau:

• $w((v_{in},v_{out})) = -1$ nếu đỉnh tương ứng có màu đỏ . $v$
• $w((v_{in},v_{out})) = +1$ nếu đỉnh tương ứng có màu xanh . $v$
• $w(e) = 0$ cho tất cả các cạnh khác, tức là các cạnh tương ứng với các cạnh của chứ không phải các đỉnh.$G$

Bây giờ, tiến hành một thuật toán cho các đường dẫn ngắn nhất mà bạn chọn như Dijkstra, Bellman-Ford, ..., kiểm tra xem độ dài của đường dẫn đã cho có và bạn đã hoàn thành.$<0$

Tại sao cai nay không hoạt động? Có phải vì chúng ta có thể có chu kỳ tiêu cực? Chúng tôi có thể phát hiện những người có Bellman Ford nhưng sau đó chúng tôi phải tìm ra con đường mong muốn với phương tiện không hiệu quả khiến vấn đề quyết định này trở nên khó khăn? Có giảm bớt thanh lịch để hiển thị độ cứng NP?

Giải pháp của bạn không hoạt động vì Dijkstra và Bellman-Ford không thể giải thích tính năng "đường dẫn đơn giản". Và họ thực sự sẽ rơi vào bất kỳ chu kỳ tiêu cực.

Tôi nghĩ cách tốt nhất để thể hiện tính đầy đủ của NP là sử dụng bài toán đường dẫn Hamilton. Hãy lấy một đồ thị của đỉnh đỏ.$G'$$N$

Sau đó, bạn xây dựng một đồ thị , thêm đỉnh màu xanh , và vào . Bạn chuỗi đầu tiên với các cạnh tất cả các đỉnh màu từ nguồn đến màu xanh lam cuối cùng ( -> -> -> ...-> ). Sau đó, bạn đặt các cạnh từ đến mọi đỉnh đỏ và một cạnh từ mọi đỉnh đỏ đến .$G$$s$$t$$N-1$$G'$$s$$b_1$$b_2$$b_{N-1}$$b_{N-1}$$t$

Vì vậy, một đường dẫn duy nhất từ đến đi qua tất cả các nút màu xanh ( ) và sau đó phải chuyển đến tất cả các nút đỏ ( ) để trả lời$s$$t$$N-1$$N$

Có một đường dẫn đơn giản trong từ đến với nhiều màu đỏ hơn các đỉnh màu xanh không?$G$$s$$t$

do đó giống như câu trả lời cho:

Có một con đường Hamilton trong$G'$

Vì vậy, vấn đề của bạn thực sự là NP-đầy đủ.