Làm thế nào là một biến thể của câu đố Sudoku?

Sudoku là câu đố nổi tiếng được biết đến là NP-hoàn chỉnh và đây là trường hợp đặc biệt của vấn đề tổng quát hơn được gọi là hình vuông Latin. Một giải pháp đúng đắn về vuông gồm điền mỗi hàng và mỗi cột với các số từ 1 đến N trong điều kiện mà mỗi số xuất hiện đúng một lần trong bất kỳ hàng hoặc bất kỳ cột.$N \times N$$1$$N$

Tôi xác định một vấn đề mới. Đầu vào là một giải pháp đúng đắn về Sudoku câu đố (tổng quát hơn Latin vuông vấn đề). Tôi muốn quyết định xem có hoán vị các hàng và hoán vị của các cột sao cho không có hàng và không có cột nào chứa ba lần liên tiếp.$N \times N$

Một ví dụ cho một hàng không có bộ ba liên tiếp là 9 5 6 2 3 8 4 7 1. Một ví dụ cho một hàng có bộ ba liên tiếp là 8 9 5 2 3 4 7 6 1. Bộ ba là 2 3 4.

Tôi nghi ngờ vấn đề là NP-hard nhưng tôi không thể tìm ra cách giảm.

Làm thế nào khó là giải quyết biến thể của câu đố Sudoku? Là NP-hoàn thành?

EDIT : Để làm rõ, hoán vị tương tự phải được áp dụng cho các cột và các hàng.

Khi hoán vị hàng và cột khác nhau và các bộ ba liên tiếp phải tăng lên: Câu trả lời luôn là CÓ.

Giả sử ma trận có kích thước . Hãy xem xét một hoán vị ngẫu nhiên của các cột. Mỗi hàng (tự nó) là một hoán vị ngẫu nhiên. Xác suất các số i , i + 1 , i $N\times N$ xuất hiện ở các vị trí t , t + 1 , t + 2 là 1 / ( N ( N - 1 ) ( N - 2 ) ) . Có N - 2 sự lựa chọn cho$i,i+1,i+2$$t,t+1,t+2$$1/(N(N-1)(N-2))$$N-2$$t$và , và N hàng khác nhau. Do đó, số lượng bộ ba liên tiếp dự kiến ​​là N ( N - 2 ) 2 / ( N ( N - 1 ) ( N - 2 ) ) < 1 . Chúng tôi kết luận rằng có một số hoán vị của các cột, theo đó không có bộ ba liên tiếp trong bất kỳ hàng nào. Bây giờ lặp lại cùng một đối số cho các cột - lưu ý rằng việc hoán vị các hàng không thể tạo ra một bộ ba liên tiếp trong bất kỳ cột nào.$i$$N$$N(N-2)^2/(N(N-1)(N-2)) < 1$

Khi hoán vị hàng và cột giống nhau và các bộ ba liên tiếp có thể tăng hoặc giảm: Câu trả lời vẫn là CÓ, cho đủ lớn .$N$

Ý tưởng là sử dụng phiên bản rút gọn của bổ đề địa phương Lovász , thông qua bài viết của Lu và Székely Sử dụng bổ đề địa phương Lovász trong không gian tiêm ngẫu nhiên . Trong giấy tờ chứng minh trước đó, chúng tôi xem xét các sự kiện cho σ ∈ { ± 1 } , mà cho một dòng ℓ (hoặc một hàng hoặc một cột), trạng thái đó ℓ ( i + σ delta ) = t + δ cho δ ∈ { 0 , 1 , $X_{\ell,i,t,\sigma}$$\sigma \in \{\pm 1\}$$\ell$$\ell(i+\sigma\delta)=t+\delta$$\delta \in \{0,1,2\}$$\pi$$\pi(t)=j_0,\pi(t+1)=j_1,\pi(t+2)=j_2$$j_\delta = \ell^{-1}(i+\sigma\delta)$+2}∩{ t ' , t ' +1, t ' +2}≠∅hoặc{ j 0 , j 1 , j 2 xung độtnếu{t,t+1,t}∩{ j ' 0 , j ' 1$X_{\ell,i,t,\sigma},X_{\ell',i',t',\sigma'}$ $\{t,t+1,t+2\} \cap \{t',t'+1,t'+2\} \neq \emptyset$$\{j_0,j_1,j_2\} \cap \{j'_0,j'_1,j'_2\} \neq \emptyset$$2N\cdot 2\cdot 2\cdot 5 - 1= 40N-1$$2N$dòng, hai định hướng, hai cách để xung đột, năm vị trí xung đột). Mặc dù các sự kiện không xung đột phụ thuộc chung, sử dụng phiên bản rút gọn của bổ đề cục bộ Lovász, chúng ta có thể bỏ qua điều này và để biểu đồ phụ thuộc của chúng ta chỉ bao gồm các cạnh cho các sự kiện xung đột. Vì xác suất mỗi sự kiện xảy ra là và kích thước của mỗi vùng lân cận là d ≤ 40 N - 1 , bổ đề được áp dụng bất cứ khi nào e p ( d + 1 $p = 1/(N(N-1)(N-2))$$d \leq 40N-1$ , có nghĩa là 40 e N ≤ N ( N - 1 ) ( N - 2 ) . Điều kiện này được thỏa mãn cho N ≥ 12 . Chúng tôi kết luận rằng với N ≥ 12 , hoán vị cần thiết luôn tồn tại. Sử dụng phiên bản xây dựng gần đây của LLL, chúng tôi thậm chí có thể tìm thấy nó một cách hiệu quả.$ep(d+1) \leq 1$