Một thủ tục để sắp xếp Topo, bằng chứng cho sự chính xác của nó

Định nghĩa: Một bất biến được bảo toàn của một máy trạng thái là một vị ngữ,$P$, trên các tiểu bang, như vậy bất cứ khi nào $P(q)$ đúng với một trạng thái $q$và $q \rightarrow r$ đối với một số tiểu bang $r$, sau đó $P(r)$ giữ

Định nghĩa: Biểu đồ đường là một biểu đồ có các cạnh nằm trên một đường dẫn.

Định nghĩa: Chính thức, một máy trạng thái không có gì khác hơn là một quan hệ nhị phân trên một tập hợp, ngoại trừ các phần tử của tập hợp được gọi là các trạng thái, các mối quan hệ được gọi là quan hệ chuyển tiếp và một mũi tên trong biểu đồ của quan hệ chuyển đổi là gọi là quá trình chuyển đổi. Chuyển đổi từ nhà nước$q$ tuyên bố $r$ Sẽ được viết $q \rightarrow r$.

DAG : Đồ thị Acylic được định hướng

Quy trình sau đây có thể được áp dụng cho bất kỳ đồ thị có hướng nào, $G$:

1. Xóa một cạnh trong một chu kỳ.
2. Xóa cạnh $<u \rightarrow v>$ nếu có một đường dẫn từ đỉnh $u$ đến đỉnh $v$ không bao gồm $<u \rightarrow v>$.
3. Thêm cạnh $<u \rightarrow v>$ nếu không có đường đi theo một trong hai hướng giữa đỉnh $u$ và đỉnh $v$.

Lặp lại các thao tác này cho đến khi không có cái nào được áp dụng.

Thủ tục này có thể được mô hình như một máy trạng thái. Trạng thái bắt đầu là$G$và các trạng thái là tất cả các sơ đồ có thể có cùng đỉnh với $G$.

(b) Chứng minh rằng nếu thủ tục kết thúc bằng một bản vẽ,$H$, sau đó $H$ là một biểu đồ đường có các đỉnh giống như $G$.

Gợi ý: Hiển thị rằng nếu $H$ không phải là biểu đồ đường, sau đó một số thao tác phải được áp dụng.

(c) Chứng minh rằng là một DAG là một bất biến được bảo toàn của thủ tục.

(d) Chứng minh rằng nếu$G$ là một DAG và thủ tục chấm dứt, sau đó quan hệ đi bộ của biểu đồ đường cuối cùng là một loại cấu trúc liên kết $G$.

Gợi ý: Xác minh rằng vị ngữ $P(u,v)$:: có một đường dẫn từ $u$ đến $v$ là một bất biến được bảo toàn của thủ tục, đối với hai đỉnh bất kỳ $u, \ v$ của một DAG.

(e) Chứng minh rằng nếu$G$ là hữu hạn, sau đó thủ tục chấm dứt.

Gợi ý: Hãy $s$ là số chu kỳ, $e$ là số cạnh và $p$là số lượng các cặp đỉnh có đường dẫn (theo một trong hai hướng) giữa chúng. Lưu ý rằng$p \leq n^2$ Ở đâu $n$ là số đỉnh của $G$. Tìm hệ số$a,b,c$ sao cho + bp + e + c là số nguyên không có giá trị và giảm ở mỗi lần chuyển đổi.

Vấn đề của tôi:

Tôi bị kẹt với vấn đề $d$ và $e$ nhưng giải pháp cho các vấn đề khác cũng được hoan nghênh.

Có vấn đề $d$, Tôi không thể hiểu được gợi ý và lý do tại sao nó được đưa ra, làm thế nào nó giúp .

Theo cách của tôi để chứng minh $d$, Tôi đang cố gắng chỉ ra rằng quy trình đã cho luôn giữ nguyên thứ tự các đỉnh được liên kết với các cạnh trên biểu đồ bắt đầu $G$. Vì vậy, một biểu đồ đường tự động là một loại cấu trúc liên kết vì "thứ tự ưu tiên" của các đỉnh được bảo toàn.

Nhưng số thủ tục $3$là có vấn đề, làm thế nào để hiển thị nó giữ quyền ưu tiên?

b. Khi hoạt động$1$ không thể được thực hiện, $H$phải là một DAG. Hãy xem xét một loại cấu trúc liên kết$H$. Như$3$ không thể được thực hiện, nếu $u$ đi trước $v$ trong loại cấu trúc liên kết, có một đường dẫn từ $u$ đến $v$. Bắt đầu tại đỉnh ban đầu trong sắp xếp và tiếp tục di chuyển về phía trước cho đến khi chúng ta tìm thấy một đỉnh có nhiều hơn một cạnh đi (nếu mỗi đỉnh chỉ có một đầu ra thì đó là biểu đồ đường). Để cho$u$ có cạnh $v$ và $w$ và để $v$ đứng trước $w$. Sau đó, có con đường từ$v$ đến $w$, đưa ra một con đường từ $u$ đến $w$ không bao gồm $u \rightarrow w$, một mâu thuẫn như hoạt động $2$ có thể được thực hiện ở đây.

c. Vì việc xóa các cạnh sẽ không làm thay đổi thuộc tính DAG, chúng ta chỉ cần kiểm tra$3$. Một chu kỳ chỉ được hình thành khi chúng ta thêm một cạnh$u \rightarrow v$, khi có một con đường từ $v$ đến $u$đã sẵn sàng. Như$3$ không thêm các cạnh như vậy, DAG được duy trì.

d. Để cho$H$ được lấy từ $G$bởi một thao tác duy nhất. Chúng tôi cho thấy rằng bất kỳ loại tôpô$H$ cũng hợp lệ cho $G$(lưu ý rằng điều ngược lại không cần phải đúng). Đối với điều này, chúng ta cần chỉ ra rằng nếu có một đường dẫn từ$u$ đến $v$ trong $G$, sau đó có đường dẫn từ $u$ đến $v$ trong $H$quá. Một số đường dẫn chỉ có thể bị phá vỡ khi chúng ta loại bỏ các cạnh. Vì vậy, rõ ràng hoạt động$3$sẽ không gây ra bất kỳ vấn đề ở đây. Ngoài ra, trong$2$, chúng tôi chỉ loại bỏ các cạnh $u \rightarrow v$ nơi đã có một con đường từ $u$ đến $v$. Vì vậy, cho bất kỳ con đường từ$w$ đến $z$, chứa cạnh đó, chúng ta có thể thay thế cạnh đó bằng đường dẫn từ $u$ đến $v$, duy trì một con đường từ $w$ đến $z$ trong $H$. Và$G$ là DAG, vì vậy $1$ không bao giờ xảy ra

e. Trước tiên hãy quan sát cách mỗi$s$, $e$ và $p$thay đổi theo từng thao tác. Với hoạt động$1$, $s$ giảm ít nhất $1$, $e$ giảm bởi $1$ và $p$ có thể giảm xuống gần $n^2$(hầu hết tất cả các đường dẫn có thể bị phá vỡ). Với$2$, $s$ có thể giảm bởi $1$ (mặc dù không cần thiết), $e$ giảm bởi $1$ và $p$là không thay đổi. Với$3$, $s$ không thay đổi, $e$ tăng bởi $1$ và $p$ tăng ít nhất $1$. Lưu ý rằng khi chúng ta đang tiến tới biểu đồ đường, chúng tôi đang cố gắng giảm số lượng cạnh ($e$), loại bỏ chu kỳ ($s$) trong khi tăng $p$. Vậy trong$as+bp+de+c$, chúng tôi mong đợi $a$ và $d$ tích cực và $b$bị tiêu cực. Trường hợp xấu nhất thay đổi trong$s,e,p$ cho mỗi hoạt động là

$$\begin{array}{cccc} & s & e & p \\ 1. & -1 & -1 & -n^2 \\ 2. & 0 & -1 & 0 \\ 3. & 0 & 1 & 1 \end{array}$$

Như $s$ không bao giờ tăng, chúng ta có thể làm $a$lớn như chúng ta muốn Như chúng ta có thể mở rộng$a,b,d$ bởi một hằng số, hãy giữ $d=1$. Với những quan sát này, chúng ta có thể có được một bộ giá trị có thể cho$a,b,d$ như $2n^2$, $-2$ và $1$tương ứng. Và chọn$c$ là âm của giá trị tại biểu đồ đường.