Câu hỏi tiệm cận

Là $\frac {n!} {2!\cdot 4!\cdot 8!\dots (n/2)!}=O(4^n)$ ?

Tôi thực sự bế tắc và tôi có xu hướng tin đó là sự thật, nhưng tôi không biết làm thế nào để chứng minh điều đó.

Bất kỳ trợ giúp sẽ được đánh giá cao!

asymptotics factorial big-o-notation

— Dudi Frid
nguồn

Bạn đã cố gắng gì trong việc chứng minh điều đó? Bạn đã thử sử dụng định nghĩa của O lớn hoặc giới hạn?

— ryan

mẫu số không rõ ràng. Là nó

2! * 4! * 6! . . .

$2!*4!*6!...$ ? Là nó

2! * 4! * 8! * 16! . . .

$2!*4!*8!*16!...$ ?

— lox

Tnx, tôi đã chỉnh sửa câu hỏi của mình

— Dudi Frid

Vì vậy, nó xuất hiện sẽ có

n - 2

$n-2$ các điều khoản về mẫu số. Bạn có thể ghép từng thuật ngữ này với một thuật ngữ trong tử số lớn hơn hoặc bằng nó không? Ví dụ, cuối cùng

n / 2

$n/2$ điều khoản trong

(n / 2)!

$(n/2)!$ sẽ kết hợp với cuối cùng

n / 2

$n/2$ điều khoản trong

n!

$n!$ trong tử số và hủy bỏ. Hãy thử điều này với toàn bộ mẫu số.

— ryan

Bạn có thể vui lòng giải thích về câu trả lời của bạn? Và bạn có chứng minh hay bác bỏ nó không?

— Dudi Frid

Chúng tôi có Sử dụng xấp xỉ của Stirling, chúng ta có thể có được sự tiệm cận tinh tế hơn, nhưng chúng ta để điều này cho người đọc quan tâm.

\frac{n!}{(n / 2)! (n / 4)! \dots 2!} = \frac{n!}{(n / 2)! (n / 2)!} \frac{(n / 2)!}{(n / 4)! (n / 4)!} \dots \frac{4!}{2! 2!} \frac{2!}{1! 1!} = (\binom{n}{n / 2}) (\binom{n / 2}{n / 4}) \dots (\binom{4}{2}) (\binom{2}{1}) \leq 2^{n} 2^{n / 2} \dots 2^{4} 2^{2} = 2^{n + n / 2 + \dots + 2 + 1} < 2^{2 n} = 4^{n} .

$\frac{n!}{(n/2)!(n/4)!\cdots 2!} = \frac{n!}{(n/2)!(n/2)!} \frac{(n/2)!}{(n/4)!(n/4)!} \cdots \frac{4!}{2!2!} \frac{2!}{1!1!} = \\ \binom{n}{n/2} \binom{n/2}{n/4} \cdots \binom{4}{2} \binom{2}{1} \leq 2^n 2^{n/2} \cdots 2^4 2^2 = 2^{n+n/2+\cdots+2+1} <2^{2n} = 4^n.$

— Yuval Filmus
nguồn

Làm cách nào để chứng minh ? Và nếu không phải là lũy thừa của thì sao?

\frac{n}{2} + \frac{n}{4} + . . . + 2 + 1 < n

${n\over 2}+{n\over 4}+...+2+1\lt n$

n

$n$

2

$2$

— miniparser

Vậy thì như thế nào?

n + \frac{n}{2} + \frac{n}{4} + . . . + 2 + 1 < n + n = 2 n

$n+{n\over 2}+{n\over 4}+...+2+1\lt n + n=2n$

— miniparser

Nhận xét trước đây của tôi đã bị nhầm. Chúng tôi có .

n + n / 2 + n / 4 + \dots + 1 = n (1 + 1 / 2 + 1 / 4 + \dots + 1 / n) \leq n \sum_{i = 0}^{\infty} 2^{- i} = 2 n

$n + n/2 + n/4 + \cdots + 1 = n(1 + 1/2+1/4 + \cdots + 1/n) \leq n\sum_{i=0}^\infty 2^{-i} = 2n$

— Yuval Filmus

OP mặc nhiên cho rằng là sức mạnh của 2.

n

$n$

— Yuval Filmus