Lấy mẫu hoàn hảo phù hợp thống nhất ngẫu nhiên

Giả sử tôi có một đồ thị với những (không rõ) bộ matchings hoàn hảo của . Giả sử tập hợp này không trống, thì việc lấy mẫu thống nhất ngẫu nhiên từ nào? Điều gì sẽ xảy ra nếu tôi ổn với một phân phối gần với thống nhất, nhưng không hoàn toàn đồng đều, thì có một thuật toán hiệu quả không?M ( G ) G M ( G $G$$M(G)$$G$$M(G)$

Có một bài báo cổ điển của Jerrum và Sinclair (1989) về việc lấy mẫu các kết hợp hoàn hảo từ các biểu đồ dày đặc. Một bài báo cổ điển khác của Jerrum, Sinclair và Vigoda (2004; pdf) thảo luận về việc lấy mẫu các kết hợp hoàn hảo từ các biểu đồ lưỡng cực.

Cả hai loại giấy này đều sử dụng chuỗi Markov trộn nhanh, và do đó các mẫu chỉ gần như đồng nhất. Tôi tưởng tượng rằng lấy mẫu thống nhất là khó khăn.

Nếu bạn cho rằng đồ thị của bạn là phẳng, thì có một quy trình thời gian đa thức cho vấn đề lấy mẫu này.

Đầu tiên, vấn đề đếm số lượng khớp hoàn hảo nằm trong P đối với đồ thị phẳng. ( https://en.wikipedia.org/wiki/FKT_alacticm ) (Có thể tìm thấy một giải thích tốt về thực tế này trong chương đầu tiên của cuốn sách của Jerrum về Đếm, Lấy mẫu và Tích hợp.)

Tiếp theo, với mỗi cạnh $e$ của $G$ , hãy đếm số lượng khớp hoàn hảo của $G \setminus e$ . Điều này có thể được biến thành xác suất mà một kết hợp hoàn hảo thống nhất chứa $e$ - chỉ chia cho số lượng matchings hoàn hảo trong $G$ . Lấy mẫu một cạnh theo xác suất này và tiếp tục quy nạp.

(Điều này lợi dụng thực tế là các kết quả khớp là một cấu trúc "tự giảm", do đó, các vấn đề đếm và lấy mẫu thống nhất về cơ bản là giống nhau. Bạn có thể xem JVV "Tạo cấu trúc kết hợp ngẫu nhiên từ phân phối đồng nhất" để biết thêm về điều này quan điểm.)

Một bằng chứng đơn giản rằng điều này cho phân phối chính xác:

$c(H)$$H$$n!$$n = H/2$

$e_1, \ldots, e_n$

$\frac{ c(G \setminus e_1)}{c(G)} \frac{ c(G \setminus \{e_1, e_2\} )}{c(G \setminus e_1)} \ldots \frac{ c(G \setminus \{e_1, \ldots, e_{n-1} \}) }{c(G \setminus \{ e_1, \ldots, e_{n-2} \} )}$

$c(G \setminus \{e_1, \ldots, e_{n-1} \}) = 1$$G \setminus \{e_1, \ldots, e_{n-1} \}$$e_n$$1 / c(G)$