Bằng chứng mâu thuẫn cho bất bình đẳng của P và NP?

Tôi đang cố gắng tranh luận rằng N không bằng NP bằng các định lý phân cấp. Đây là lý lẽ của tôi, nhưng khi tôi đưa nó cho giáo viên của chúng tôi và sau khi suy luận, anh ấy nói rằng đây là vấn đề mà tôi không thể tìm thấy một lý do thuyết phục để chấp nhận.

Chúng tôi bắt đầu bằng cách giả sử rằng . Sau đó, nó mang lại mà sau đó chính nó sẽ theo . Như thường lệ, chúng tôi có thể giảm mọi ngôn ngữ trong thành . Do đó, . Ngược lại, định lý phân cấp thời gian nói rằng nên có một ngôn ngữ , đó không phải là . Điều này sẽ khiến chúng ta kết luận rằng ở , trong khi không ở , đó là một mâu thuẫn với giả định đầu tiên của chúng ta. Vì vậy, chúng tôi đã đi đến kết luận rằng .$P=NP$$\mathit{SAT} \in P$$\mathit{SAT} \in TIME(n^k)$$NP$$\mathit{SAT}$$NP \subseteq TIME(n^k)$$A \in TIME(n^{k+1})$$TIME(n^k)$$A$$P$$NP$$P \neq NP$

Có điều gì sai với bằng chứng của tôi?

Sau đó, nó mang lại $SAT \in P$ mà sau đó $SAT \in TIME(n^k)$ .

Chắc chắn rồi.

Như là viết tắt, chúng tôi có thể làm giảm mọi ngôn ngữ trong $NP$ đến $SAT$ . Do đó, $NP \subseteq TIME(n^k)$ .

Không. Giảm thời gian đa thức không miễn phí. Chúng ta có thể nói phải mất thời gian $O(n^{r(L)})$ để giảm ngôn ngữ $L$ thành $SAT$ , trong đó $r(L)$ là số mũ trong việc giảm thời gian đa thức được sử dụng. Đây là nơi tranh luận của bạn sụp đổ. Không có $k$ hữu hạn sao cho với tất cả $L \in NP$ ta có $r(L) < k$ . Ít nhất điều này không tuân theo $P = NP$ và sẽ là một tuyên bố mạnh mẽ hơn nhiều.

Và tuyên bố mạnh này không thực sự mâu thuẫn với định lý cấp bậc thời gian, mà cho chúng ta biết rằng $P$ không thể sụp đổ vào $TIME(n^k)$ , chứ chưa nói đến tất cả các $NP$ .

Giả sử rằng $\mathrm{3SAT}\in\mathrm{NTIME}[n^k]$ . Theo phiên bản không xác định của định lý phân cấp thời gian, đối với bất kỳ  $r$ , có một vấn đề $X_r\in\mathrm{NTIME}[n^r]$ không có trong $\mathrm{NTIME}[n^{r-1}]$ . Đây là một kết quả vô điều kiện mà không phụ thuộc vào bất kỳ loại giả định như $\mathrm{P}\neq\mathrm{NP}$

Chọn bất kỳ $r>k$ . Giả sử chúng ta có một mức giảm xác định từ $X_r$ xuống $\mathrm{3SAT}$ chạy trong thời gian  $n^t$ . Nó tạo ra một thể hiện $\mathrm{3SAT}$ có kích thước tối đa  $n^t$ , có thể được giải quyết kịp thời tối đa $(n^t)^k=n^{tk}$ . Theo lựa chọn  $X_r$ , chúng ta phải có $tk>r-1$ , vì vậy $t>(r+1)/k$ . Hàm này phát triển mà không bị ràng buộc với $r$ .

Điều này có nghĩa rằng không có ràng buộc về bao lâu nó có thể làm để giảm bớt một tùy $\mathrm{NP}$ vấn đề để $\mathrm{3SAT}$ . Ngay cả khi $\mathrm{3SAT}\in \mathrm{P}$ , vẫn không có ràng buộc nào về việc giảm thời gian đó. Vì vậy, đặc biệt, ngay cả khi $\mathrm{3SAT}\in\mathrm{DTIME}[n^{k'}]$ đối với một số  $k'$ , chúng ta không thể kết luận rằng $\mathrm{NP}\subseteq\mathrm{DTIME}[n^{k'}]$, hoặc thậm chí$\mathrm{NP}\subseteq\mathrm{DTIME}[n^{k''}]$đối với một số$k''>k'$.