Lập kế hoạch công việc với một vấn đề tắc nghẽn

Cho công việc , mỗi công việc yêu cầu thời gian để hoàn thành.$n$$J_1,J_2,...,J_n$$T_i > 0, T_i \in N$

Mỗi công việc phải được xử lý trước và xử lý sau bởi một máy M chỉ có thể xử lý 1 công việc tại một thời điểm và cả hai giai đoạn cần 1 đơn vị thời gian. Sau khi được xử lý trước, công việc được gửi đến một máy có sức mạnh vô hạn (có thể xử lý song song số lượng công việc không giới hạn) và nó sẽ sẵn sàng kịp thời , sau đó nó phải được gửi lại ( ngay lập tức ) cho máy M hậu xử lý.$J_i$$T_i$

Vấn đề quyết định liên quan là:

Dữ liệu vào: thời gian xử lý $T_i >0, T_i \in \mathbb{N}$ của $N$ công việc, một số nguyên $K\geq 2N$
Câu hỏi: chúng ta có thể xử lý tất cả các công việc trong thời gian $\leq K$ bằng cách sử dụng mô hình "nút cổ chai" ở trên không?

Có vấn đề này một tên?
Sự phức tạp của nó là gì? (có trong $\sf{P}$ hay là $\sf{NP}$ -complete?)

CẬP NHẬT 29 tháng 3:
Như M.Cafaro đã nhận thấy chính xác trong câu trả lời của mình, vấn đề này tương tự như Vấn đề thời gian kết thúc tối thiểu không bị ràng buộc (UMFT) (xem Chương 17 của Sổ tay thuật toán lập lịch ) được -hard (đã chứng minh trong W. Kern và W. Nawijn, "Lập kế hoạch công việc đa hoạt động với thời gian trễ trên một máy duy nhất", Đại học Twente, 1993). Như tôi có thể thấy, có một số khác biệt bởi vì trong mô hình của tôi:$\sf{NP}$

• thời gian xử lý trước / sau không đổi (1 đơn vị thời gian)
• ngay sau khi công việc hoàn thành, nó phải được xử lý ngay lập tức (mô hình UMFT cho phép trì hoãn)

Tôi đã không tìm thấy bằng chứng Kern & Nawijn trực tuyến, vì vậy tôi vẫn không biết liệu các hạn chế trên có làm thay đổi độ khó của vấn đề hay không.

Cuối cùng, bạn có thể nghĩ toàn bộ quá trình giống như một robot nấu ăn duy nhất với một lò nướng lớn; Robot có thể chuẩn bị nhiều loại thực phẩm khác nhau cùng một lúc (tất cả đều yêu cầu cùng một thời gian chuẩn bị), cho chúng vào lò nướng và ngay khi chúng được nấu chín, phải lấy chúng ra khỏi lò và thêm một số nguyên liệu lạnh ... " vấn đề robot nấu ăn " :-)

Câu hỏi được chứng minh là NP-hard trong "Tối thiểu hóa Makespan trong Cửa hàng hai máy với độ trễ và hoạt động theo thời gian đơn vị là NP-Hard" của W. Yu, H. Hoogeveen và JK Lenstra (2004). Điều này được chứng minh trong phần 9 của bài báo:

Định lý 24. Vấn đề tối thiểu hóa makepan trên một máy đơn lẻ với hai thao tác thời gian đơn vị cho mỗi công việc với độ trễ trung gian tùy ý là NP-hard.

Mô hình chính xác được nghiên cứu ở đây là công việc bao gồm hai thao tác lấy thời gian đơn vị cách nhau bởi một số thời gian trễ . Vấn đề là NP hoàn thành mạnh mẽ cả khi giá trị chính xác của độ trễ được chỉ định cho từng công việc và khi một số thời gian trễ tối thiểu được chỉ định cho từng công việc.T i T $i$$T_i$$T_i$

Điều này trông giống như mô hình lập kế hoạch chủ nô được Sahni giới thiệu . Cụ thể, vấn đề của bạn thuộc Hệ thống Master-Slave Single-Master. Bạn có thể phân biệt một số trường hợp:

1) Nếu bạn không thêm bất kỳ ràng buộc bổ sung nào vào thứ tự thực hiện công việc (như trong trường hợp của bạn), vấn đề được gọi là vấn đề thời gian kết thúc tối thiểu không bị ràng buộc (UMFT) và đã được chứng minh là NP-hard;

2) Các đơn đặt hàng trước và sau xử lý giống nhau: có thể thiết kế thuật toán để xây dựng lịch trình duy trì thời gian kết thúc tối thiểu (OPMFT);$O(n \log n)$

Do đó, trong trường hợp 1, vấn đề của bạn là -hard, trong khi đó là ở trong trường hợp 2.$NP$$P$

Các vấn đề liên quan khác là:

3) Quá trình hậu xử lý thứ tự ngược: Đối với bất kỳ hoán vị tiền xử lý nào, , có thể xây dựng một lịch trình thứ tự ngược, được gọi là lịch trình đảo ngược chính tắc (CROS). Với một tiền xử lý hoán vị , các Cros tương ứng là duy nhất. Thật dễ dàng để thiết lập rằng mọi lịch trình đảo ngược thời gian hoàn thành tối thiểu (ROMFT) là một CROS.$σ$$σ$

4) ràng buộc không chờ đợi trong quá trình:

a) [MFTNW] Giảm thiểu thời gian hoàn thành theo ràng buộc không chờ đợi trong quá trình; b) [OP-MFTNW] Đây là phiên bản duy trì trật tự của MFTNW. Đó là, giảm thiểu thời gian hoàn thành tùy thuộc vào các ràng buộc không chờ đợi trong quá trình và giữ trật tự; c) [RO-MFTNW] Giảm thiểu thời gian hoàn thành theo các ràng buộc không chờ đợi trong quá trình và thứ tự ngược lại.

Các bài toán và là NP-hard, trong khi thừa nhận một giải pháp thời gian đa thức.$a$$b$$c$

Chi tiết bổ sung trong Sổ tay lập kế hoạch , chương 17.