Là phép tính SK2 là một cơ sở hoàn chỉnh, trong đó K2 là tổ hợp K lật?

Cụ thể, nếu tôi xác định mới là thay vì liệu -calculus có phải là cơ sở cạnh tranh không?$K_2$

Tôi đoán là "không", chỉ vì dường như tôi không thể xây dựng bộ kết hợp K thông thường từ các tổ hợp , và , nhưng tôi không có thuật toán để theo dõi, tôi cũng không có trực giác tốt về việc làm cho mọi thứ ra khỏi các tổ hợp này.$S$$I$$K_2$

Có vẻ như bạn có thể định nghĩa với -calculus thông thường, nhưng tôi thực sự không thể làm việc ngược lại từ đó để lấy đạo hàm về và phần còn lại.

Tôi cố gắng chứng minh rằng nó không hoàn thành về mặt chức năng về cơ bản đã cố gắng xây dựng triệt để mọi chức năng có thể đạt được từ các tổ hợp này để cho thấy rằng bạn đi đến ngõ cụt (một chức năng bạn đã thấy trước đó) bất kể bạn sử dụng tổ hợp nào. Tôi nhận ra rằng điều này không nhất thiết sẽ đúng với các bộ tổ hợp không hoàn chỉnh về mặt chức năng (ví dụ: tổ hợp $K$ tự nó sẽ không bao giờ kết thúc khi áp dụng cho chính nó), nhưng đây là suy nghĩ tốt nhất của tôi. Tôi luôn có thể sử dụng bộ kết hợp $S$ để lẻn ra khỏi những gì tôi nghĩ cuối cùng là một ngõ cụt, vì vậy tôi không còn chắc chắn về tính khả thi của phương pháp này.

Tôi đã hỏi câu hỏi này trên StackOverflow nhưng được khuyến khích đăng nó ở đây. Tôi đã nhận được một vài bình luận về bài đăng đó, nhưng tôi không chắc là tôi hiểu đúng.

Phần thưởng: nếu nó không phải là một cơ sở hoàn chỉnh, liệu ngôn ngữ kết quả có phải là Turing hoàn chỉnh không?

Hãy xem xét các thuật ngữ của $S,K_2,I$ tính là cây (với các nút nhị phân đại diện cho các ứng dụng và lá $S, K_2$ đại diện cho các tổ hợp.

Ví dụ: thuật ngữ $S(SS)K_2$ sẽ được đại diện bởi cây

        @
       / \
      /   \
     @    K2
    / \
   /   \
  S     @
       / \
      /   \
     S     S

Để mỗi cây $T$ liên kết lá ngoài cùng bên phải của nó, cây bạn nhận được bằng cách lấy đúng nhánh ở mỗi cây @. Ví dụ, lá ngoài cùng bên phải của cây ở trên là $K_2$ .

Như có thể thấy từ nghệ thuật ASCII dưới đây, tất cả các quy tắc rút gọn trong $S, K_2, I$ tính toán giữ lá ngoài cùng bên phải.

         @                           @
        / \                         / \
       /   \                       /   \
      @     g    [reduces to]     @     @
     / \                         / \   / \
    /   \                       e   g f   g
   @     f                 
  / \
 /   \
S     e

      @
     / \
    /   \
   @     f    [reduces to]   f
  / \
 /   \
K2    e

$T$$T'$$T$$T'$$T$$S, K_2, I$$TK_2S$$K_2$$KK_2S$$K_2$$K$$S,K_2, I$

$S,K_2,I$

$A,B,C$

• $K: A \rightarrow B \rightarrow A$
• $K_2: A \rightarrow B \rightarrow B$
• $S: (A \rightarrow B \rightarrow C) \rightarrow (A \rightarrow B) \rightarrow (A \rightarrow C)$
• $I: A \rightarrow A$

$K$$I,S,K_2$$A \rightarrow B \rightarrow B, (A \rightarrow B \rightarrow C) \rightarrow (A \rightarrow B) \rightarrow (A \rightarrow C), A \rightarrow A$$A$$A \rightarrow B$$B$$A \rightarrow B \rightarrow A$

t,f,u$\rightarrow$$A \rightarrow B \rightarrow B$$(A \rightarrow B \rightarrow C) \rightarrow (A \rightarrow B) \rightarrow (A \rightarrow C)$$A \rightarrow A$t

A B | A -> B
t t | t
t f | f
f t | t
f f | t
t u | f
f u | t
u t | t
u f | f
u u | t

$K_2, S, I$tt$A \rightarrow B \rightarrow A$fu$A$t$B$$S, K_2, I$