Có nhiều -Notations, như hoặc , v.v. Tôi đã tự hỏi, nếu có những biến thể của những cái trong thực tế như hoặc , hoặc nếu những biến thể đó không chính xác về mặt toán học.$O$$O(n)$$O(n^2)$$O(2n^2)$$O(\log n^2)$

Hoặc sẽ là một điều đúng đắn khi nói rằng có thể cải thiện thành ? Tôi không thể và không cần phải tìm ra thời gian chạy và tôi không cần cải thiện bất cứ điều gì, nhưng tôi cần biết nếu đây là cách bạn mô tả các chức năng của bạn trong thực tế.$O(5n^2)$$O(3n^2)$

Tôi đã tự hỏi, nếu có những biến thể của những cái trong thực tế như hoặc , hoặc nếu những biến thể đó không chính xác về mặt toán học.$O(2n^2)$$O(\log (n^2))$

Có, hoặc là các biến thể hợp lệ.$O(2n^2)$$O(\log (n^2))$

Tuy nhiên, bạn sẽ hiếm khi nhìn thấy chúng nếu bạn hoàn toàn nhìn thấy chúng, đặc biệt là trong kết quả cuối cùng. Lý do là là . Tương tự, là . Điều đó có thể gây ngạc nhiên cho người mới bắt đầu. Tuy nhiên, những điểm tương đương đó ít nhiều là lý do tại sao các chú thích lớn được đưa ra, để che giấu một yếu tố hằng số nhân thường khó xác định và tương đối không đáng kể.$O(2n^2)$ O ( n 2 ) O ( log ( n 2 ) ) O ( log n ) O $O(n^2)$$O(\log (n^2))$ $O(\log n)$$O$

Sẽ là một điều đúng đắn khi nói rằng có thể cải thiện thành ?$O(5n^2)$$O(3n^2)$

Hoàn toàn không phải là một sự cải thiện nếu độ phức tạp thời gian của thuật toán được thay đổi từ thành hoặc từ thành , bởi vì là trong khi là . Vì vậy, không đúng khi nói độ phức tạp thời gian được cải thiện từ thành . Tất nhiên, chính xác là độ phức tạp thời gian của thuật toán được cải thiện từ lên , tất nhiên.$O(5n^2)$$O(3n^2)$$\Omega(5n^2)$$\Omega(3n^2)$$O(5n^2)$$O(3n^2)$$\Omega(5n^2)$$\Omega(3n^2)$$O(5n^2)$$O(3n^2)$$5n^2$$3n^2$

Bài tập 1. Cho biết .$O(5n^2)=O(3n^2)=O(n^2)$

Bài tập 2. Cho thấy .$O(\log n)=O(\log (n^2))$

Bài tập 3. Cho thấy .$\Omega(n^2+n)=\Omega(n^2)$

Bạn luôn tự do không sử dụng ký hiệu này. Đó là, bạn có thể xác định một hàm chính xác nhất có thể, và sau đó cố gắng cải thiện điều đó. Ví dụ: bạn có thể có một thuật toán sắp xếp để so sánh , vì vậy bạn có thể thử đưa ra một thuật toán sắp xếp khác chỉ so sánh . Tất nhiên, tất cả các loại hàm tồn tại (trên lý thuyết) và cũng có thể xuất hiện (trong thực tế).$f(n)$$f(n)$$g(n)$$f(n)$

Thay vì coi ký hiệu Big Oh là ma thuật bí ẩn, nơi bạn phải hỏi ý kiến ​​các pháp sư để hỏi liệu bạn có thể làm gì không, bạn nên xem định nghĩa của nó . Tôn trọng định nghĩa, và sau đó làm bất cứ điều gì bạn cần để hoàn thành công việc của bạn.

Mặc dù câu trả lời được chấp nhận là khá tốt, nhưng nó vẫn không chạm vào lý do thực sự tại sao $O(n) = O(2n)$ .

Ký hiệu Big-O mô tả khả năng mở rộng

Về cốt lõi, Ký hiệu Big-O không phải là một mô tả về thời gian chạy thuật toán. Nó cũng không phải là một mô tả về bao nhiêu bước, dòng mã hoặc so sánh một thuật toán tạo ra. Nó hữu ích nhất khi được sử dụng để mô tả cách thuật toán chia tỷ lệ với số lượng đầu vào.

Lấy một tìm kiếm nhị phân, ví dụ. Đưa ra một danh sách được sắp xếp, làm thế nào để bạn tìm thấy một giá trị tùy ý bên trong nó? Vâng, bạn có thể bắt đầu ở giữa. Vì danh sách được sắp xếp, giá trị giữa sẽ cho bạn biết một nửa danh sách mà giá trị mục tiêu của bạn nằm trong. Vì vậy, danh sách bạn phải tìm kiếm hiện được chia làm một nửa. Điều này có thể được áp dụng đệ quy, sau đó đi đến giữa danh sách mới, và cứ thế cho đến khi kích thước danh sách là 1 và bạn đã tìm thấy giá trị của mình (hoặc nó không tồn tại trong danh sách). Nhân đôi kích thước của danh sách chỉ thêm một bước nữa vào thuật toán, đó là mối quan hệ logarit. Do đó, thuật toán này là $O(\log n)$. Logarit là cơ sở 2, nhưng điều đó không thành vấn đề - cốt lõi của mối quan hệ là nhân danh sách với một giá trị không đổi chỉ thêm một giá trị không đổi theo thời gian.

Đối chiếu một tìm kiếm tiêu chuẩn thông qua một danh sách chưa được sắp xếp - cách duy nhất để tìm kiếm một giá trị trong trường hợp này là kiểm tra từng cái. Trường hợp xấu nhất (đó là điều Big-O đặc biệt ngụ ý) là giá trị của bạn ở cuối cùng, có nghĩa là đối với danh sách kích thước $n$ , bạn phải kiểm tra $n$ giá trị. Nhân đôi kích thước của danh sách nhân đôi số lần bạn phải kiểm tra, đó là mối quan hệ tuyến tính. $O(n)$ . Nhưng ngay cả khi bạn phải thực hiện hai thao tác trên mỗi giá trị, một số xử lý, ví dụ, mối quan hệ tuyến tính vẫn giữ. $O(2n)$ đơn giản là không hữu ích như một mô tả, vì nó sẽ mô tả chính xác khả năng mở rộng tương tự như $O(n)$ .

Tôi đánh giá cao rằng rất nhiều câu trả lời về cơ bản là bảo bạn tự đi đến kết luận này bằng cách đọc định nghĩa của Big-O. Nhưng sự hiểu biết trực quan này đã khiến tôi mất khá nhiều thời gian để quấn đầu và vì vậy tôi đưa nó ra cho bạn rõ ràng nhất có thể.

Bạn có thể viết $O(f)$ cho bất kỳ hàm $f$ và nó có ý nghĩa hoàn hảo. Theo định nghĩa, $g(n)=O(f(n))$ nếu có một số hằng số  $c$ mà $g(n)\leq c\,f(n)$ cho tất cả$n$ đủ lớn . Không có gì trong định nghĩa đó nói rằng$f$ phải là một loại hàm "đẹp" nào đó.

Nhưng, như các câu trả lời khác đã chỉ ra, $g(n)=O(f(n))$ và $g(n)=O(2f(n))$ mô tả chính xác tình huống tương tự: if $g(n)\leq c\,f(n)$ cho tất cả mọi đủ lớn $n$ , sau đó chúng tôi cũng có$g(n)\leq \tfrac{c}{2}2f(n)$, vì vậy$g(n)=O(2f(n))$, cũng (lấy hằng số là$c/2$).

Là một vấn đề phụ, đừng viết " $\log n^2$ ", vì nó không rõ ràng 100% nghĩa của nó là gì. Bạn có thể nói rằng nó rõ ràng có nghĩa là $\log(n^2)$ nhưng hầu như mọi người sẽ viết đó là $2\log n$ , vì vậy nó gây nghi ngờ trong tâm trí người đọc.

Ngoài ra, lưu ý rằng ký hiệu big- $O$ không liên quan gì đến thời gian chạy mỗi giây . Nó chỉ là một ký hiệu cho mối quan hệ giữa các chức năng. Các hàm này thường được sử dụng để đo thời gian chạy của thuật toán nhưng đó chỉ là một ứng dụng, giống như đo chiều cao của mọi người chỉ là một ứng dụng của số.

Nhìn vào định nghĩa của O (f (n)) và bạn thấy rằng ví dụ O (2n ^ 2) và O (n ^ 2) hoàn toàn giống nhau. Thay đổi thuật toán từ 5n ^ 2 thành 3n ^ 2 thao tác là một cải tiến 40 phần trăm. Thay đổi từ O (5n ^ 2) thành O (3n ^ 2) thực sự không có bất kỳ thay đổi nào, chúng giống nhau.

Một lần nữa, đọc định nghĩa của O (f (n)).

$O(f(n)) = \lbrace g(n) | \exists n,c>0: \forall m > n: c\times g(m) \le f(m)\rbrace$

$=$$\in$

$O(n) = O(2n)$