Cho một đồ thị hợp âm

Biểu đồ là hợp âm nếu nó không có chu kỳ cảm ứng có độ dài từ 4 trở lên. Một cây bè lũ T của G là một cây trong đó các đỉnh của cây là những bè phái tối đa của G . Một cạnh trong T tương ứng với một dấu phân cách tối thiểu. Số lượng cây phân nhánh có thể theo cấp số nhân về số lượng đỉnh trong biểu đồ hợp âm.$G$$4$$T$$G$$G$$T$

Các giảm bè lũ đồ thị là sự kết hợp của tất cả các cây phe nhóm G . Đó là, nó có tất cả các đỉnh giống nhau, và tất cả các cạnh có thể. Độ phức tạp của tính toán C r ( G ) cho một G cho trước là gì?$C_r(G)$$G$$C_r(G)$$G$

Tôi nghĩ rằng tôi đã từng thấy một bài thuyết trình tuyên bố có thể được tính trong thời gian O ( m + n ) mà không cần bằng chứng. Điều này có nghĩa nó là dễ dàng như việc tính toán một cây phe nhóm G . Có một tài liệu tham khảo xác nhận điều này, hoặc đưa ra một thuật toán chậm hơn để tính toán nó?$C_r(G)$$O(m+n)$$G$

Độ phức tạp là O (nm) ... từ G tính toán các cụm cực đại và biến chúng thành các đỉnh trong đồ thị H của bạn (ban đầu không có cạnh) ... sau đó tính toán tất cả các dấu phân cách tối thiểu và sắp xếp chúng theo kích thước ... chọn dấu tách lớn nhất S và tạo bất kỳ hai cụm C, C 'liền kề trong H (kết nối chúng bằng một cạnh với nhãn S) nếu C, C' đều chứa S và nằm trong các thành phần được kết nối khác nhau của H (ban đầu điều này luôn luôn đúng, nhưng có thể không phải là sau này) ... sau đó chọn dấu tách lớn nhất tiếp theo và thực hiện tương tự ... lặp lại cho đến khi tất cả các dấu tách được xử lý ... đồ thị kết quả H là đồ thị cụm giảm của G ... tính toán các cụm cực đại và các dấu tách tối thiểu mất O (n + m) ... có các phân thân O (n) và phân cách O (n) ... phần còn lại của công trình là O (nm) vì việc xử lý mỗi phân cách có thể mất thời gian O (m) ... .. .điều này không thể được cải thiện dưới O (n ^ 2) trừ khi bạn có thể giải quyết vấn đề sau: đưa ra biểu đồ G tìm hai đỉnh u, v sao cho N (u) chứa N (v) ... cái sau không được biết là có Giải pháp O (n + m) ... ... do đó, không chắc là thuật toán O (n + m) để tính toán các đồ thị clique giảm có thể ...

xem Phần 5 trong M. Habib, J. Stacho: Thuật toán đa thức thời gian cho các biểu đồ hợp âm, Trong: Thuật toán - ESA 2009, Ghi chú bài giảng trong Khoa học máy tính 5757/2009, trang 290-300. ( http://www.cs.toronto.edu/~stacho/public/leafage-esa1.pdf )